LA DERIVADA Y LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE

LUCIA MATH TERUEL

21 Oct 202018:48

Summary

TLDREn este video se aborda la aplicación de la derivada para encontrar la pendiente de una recta tangente a una curva, destacando su interpretación geométrica. A través de un ejemplo práctico, se enseña cómo calcular la ecuación de la recta tangente utilizando la derivada por incrementos, también conocida como derivada de los cuatro pasos. El proceso se explica paso a paso, resolviendo dos casos: para los puntos (-2,1) y (0,0), y mostrando cómo sustituir los valores en la fórmula para obtener la pendiente de la tangente en ambos puntos.

Takeaways

📐 La derivada tiene una interpretación geométrica como la pendiente de la recta tangente a la curva de una función.
🔢 Para encontrar la pendiente en un punto específico, se deriva la función y se sustituye el valor de x.
✏️ Con la pendiente y el punto conocido, se puede determinar la ecuación de la recta tangente.
📊 Ejemplo: Dada la función f(x) = x³ - 3x, se pide encontrar la tangente en los puntos (-2,1) y (0,0).
📖 La derivada puede obtenerse utilizando la fórmula general por incrementos, también conocida como derivada de los cuatro pasos.
📉 En el proceso de derivada por incrementos, se encuentra f(x+h), se resta f(x), se divide entre h, y se aplica el límite cuando h tiende a cero.
🧮 La pendiente de la tangente para el punto (-2,1) es 9, y la ecuación de la tangente es 9x - y + 19 = 0.
📐 Para el punto (0,0), la pendiente de la tangente es -3, y la ecuación resultante es 3x + y = 0.
🔄 El método alternativo usa directamente el valor del punto en la fórmula de la derivada por incrementos desde el inicio.
✔️ Ambos métodos son válidos, pero el primero permite mayor flexibilidad para utilizar diferentes puntos en la curva.

Q & A

¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada?
-La derivada se interpreta geométricamente como la pendiente de una recta tangente a la curva de una función en un punto determinado.
¿Qué se necesita para encontrar la pendiente de la tangente en un punto específico?
-Se necesita la derivada de la función y el valor de la coordenada x del punto en el que se desea encontrar la pendiente.
¿Cómo se calcula la derivada de una función utilizando la fórmula de incrementos?
-La derivada utilizando incrementos se calcula con la fórmula del límite cuando h tiende a cero de [f(x+h) - f(x)] / h, lo que representa la razón de cambio promedio entre dos puntos que se van acercando.
¿Cuáles son los pasos para calcular la derivada por incrementos?
-Los pasos son: 1) Encontrar f(x+h), 2) Restar f(x), 3) Dividir el resultado entre h, y 4) Aplicar el límite cuando h tiende a cero.
¿Cómo se obtiene f(x+h) en este ejemplo?
-Se sustituye x por (x+h) en la función original, es decir, f(x) = x³ - 3x, y se desarrolla el binomio para obtener f(x+h).
¿Qué sucede al aplicar el límite cuando h tiende a cero?
-Al aplicar el límite, los términos que contienen h se eliminan, quedando solo los términos en función de x, lo que da como resultado la derivada final.
¿Cómo se encuentra la ecuación de la recta tangente en un punto dado?
-Una vez obtenida la pendiente de la tangente, se usa la fórmula punto-pendiente: y - y1 = m(x - x1), donde m es la pendiente y (x1, y1) es el punto dado.
¿Qué pendiente tiene la tangente en el punto (-2, 1)?
-La pendiente de la tangente en el punto (-2, 1) es 9, obtenida al sustituir x = -2 en la derivada 3x² - 3.
¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en el punto (-2, 1)?
-La ecuación de la recta tangente en el punto (-2, 1) es 9x - y + 19 = 0.
¿Cuál es la pendiente de la tangente en el punto (0, 0)?
-La pendiente de la tangente en el punto (0, 0) es -3, obtenida al sustituir x = 0 en la derivada 3x² - 3.

Outlines

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📐 Explicación de la derivada y su interpretación geométrica

En este párrafo se introduce la aplicación de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva de una función. Se explica cómo al derivar una función se obtiene su pendiente para cualquier valor de x. También se menciona que, si conocemos un punto específico, podemos sustituir el valor de x en la derivada para hallar la pendiente de la recta tangente en ese punto. Finalmente, se presenta un ejemplo en el que se pide encontrar la tangente a la curva de una función cúbica, con dos incisos que solicitan la ecuación de la recta tangente en dos puntos diferentes.

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🧮 Desarrollo de la derivada por el método de incrementos

Este párrafo detalla el proceso de cálculo de la derivada por el método de incrementos o derivada de los cuatro pasos. El primer paso consiste en encontrar f(x+h) utilizando la estructura de la función original. El autor reemplaza x por (x+h) en todos los términos de la función cúbica. Luego, se desarrolla el binomio y se simplifican las expresiones utilizando la propiedad distributiva.

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➗ Continuación del proceso de derivada: Resta y división

Aquí se realiza el segundo paso, que es restar la función original de f(x+h) y simplificar. Se menciona que hay dos maneras de representar la resta: en una sola línea o de manera vertical. Después de realizar la resta, se pasa al tercer paso, que consiste en dividir el resultado entre h. El autor recomienda factorizar h para simplificar la división, lo que resulta en una expresión simplificada que se utilizará en los siguientes pasos.

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🧑‍🏫 Aplicación del límite y cálculo de la pendiente de la tangente

En este párrafo se realiza el cuarto paso, que es aplicar el límite cuando h tiende a cero para simplificar la expresión obtenida en el tercer paso. El resultado final es la pendiente de la tangente en cualquier punto de la curva. Luego, se procede a sustituir el valor de x del punto dado (en este caso, x = -2) en la fórmula para obtener la pendiente específica en ese punto, que resulta ser 9. A partir de esta pendiente, se utiliza la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta tangente.

📊 Ejemplo de sustitución en la fórmula punto-pendiente

Se sustituye el valor de la pendiente obtenida (9) y las coordenadas del punto (-2, 1) en la fórmula punto-pendiente para obtener la ecuación de la recta tangente. Tras resolver las operaciones, se llega a la ecuación final: 9x - y + 19 = 0. Esta es la ecuación de la recta tangente en el punto (-2, 1) y se menciona cómo se graficaría esta tangente. Luego, se introduce el inciso b, que pide la tangente en el punto (0, 0), y se repite el proceso para este nuevo punto.

📉 Cálculo de la tangente en el punto (0, 0)

Para resolver el inciso b, se sustituye x = 0 en la derivada obtenida previamente, resultando en una pendiente de -3. Se utiliza nuevamente la fórmula punto-pendiente para hallar la ecuación de la tangente en el punto (0, 0), que es 3x + y = 0. Finalmente, se menciona que una pendiente negativa inclina la recta hacia los cuadrantes 2 o 3, mientras que una pendiente positiva la inclina hacia los cuadrantes 1 o 4.

🔀 Método alternativo para derivar directamente en un punto

Se describe un método alternativo para derivar, que consiste en sustituir el valor de x desde el principio en la fórmula de la derivada de los cuatro pasos. Este método es más directo, pero requiere rehacer todo el proceso si se desea calcular la tangente en un nuevo punto. Aunque no se desarrolla completamente el ejemplo, se menciona que el resultado final es el mismo que con el método explicado anteriormente. Este enfoque puede ser más eficiente si solo se necesita calcular la tangente en un punto específico.

Mindmap

Keywords

💡Derivada

La derivada es una herramienta matemática que mide la tasa de cambio instantánea de una función en un punto específico. En el video, se destaca su uso para encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva, lo que es clave para comprender cómo cambia una función en un punto dado. En el ejemplo, se deriva la función cúbica para hallar la pendiente en los puntos dados.

💡Pendiente

La pendiente es la inclinación de una recta. En este caso, la pendiente de una recta tangente a una curva se obtiene mediante la derivada. Es un concepto central porque la pendiente indica cómo cambia la función en un punto específico, como se muestra en los ejemplos con las coordenadas (-2,1) y (0,0).

💡Recta tangente

La recta tangente es una línea que toca una curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. En el video, se utiliza la derivada para calcular la pendiente de esta recta y luego encontrar su ecuación, aplicando fórmulas como la de punto-pendiente.

💡Límite

El límite es un concepto clave en cálculo, utilizado para definir la derivada. En el video, se menciona que la derivada es el límite de la razón de cambio promedio cuando la distancia entre dos puntos tiende a cero. Este proceso es fundamental para calcular la pendiente de la tangente.

💡Función cúbica

Una función cúbica es una función polinómica de tercer grado, cuyo término principal es x^3. En el video, la función cúbica f(x) = x^3 - 3x es utilizada como ejemplo para ilustrar cómo se aplica la derivada para encontrar la pendiente de la tangente en puntos específicos.

💡Derivada por incrementos

La derivada por incrementos, también conocida como derivada de los cuatro pasos, es un método para encontrar la derivada utilizando la fórmula del límite. En el video, se utiliza este método para derivar la función cúbica, detallando cada uno de los cuatro pasos que llevan al cálculo de la pendiente de la recta tangente.

💡Ecuación de la recta

La ecuación de la recta describe una línea en el plano cartesiano. En el video, una vez que se obtiene la pendiente de la recta tangente, se utiliza la fórmula de punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta tangente en los puntos dados. Este proceso muestra cómo pasar de la derivada a la ecuación de una recta concreta.

💡Fórmula punto-pendiente

La fórmula punto-pendiente se utiliza para encontrar la ecuación de una recta cuando se conoce un punto de la recta y su pendiente. En el video, se aplica esta fórmula una vez que se ha calculado la pendiente mediante la derivada para obtener la ecuación de la recta tangente en los puntos (-2,1) y (0,0).

💡Razón de cambio promedio

La razón de cambio promedio mide cómo cambia una función entre dos puntos. Es un concepto preliminar para entender la derivada, que mide el cambio instantáneo. En el video, la razón de cambio promedio se usa para explicar cómo se aproxima la pendiente de la recta tangente conforme los puntos se acercan entre sí.

💡Punto de tangencia

El punto de tangencia es el punto en el cual una recta toca una curva y ambas comparten la misma pendiente. En el video, se calcula la pendiente en los puntos específicos (-2,1) y (0,0), que son los puntos de tangencia donde se encuentran las rectas tangentes a la curva de la función cúbica.

Highlights

La derivada se interpreta geométricamente como la pendiente de una recta tangente a la curva de una función.

Al derivar una función, obtenemos su pendiente para cualquier valor de x.

Para obtener la pendiente de la recta tangente en un punto específico, es necesario sustituir el valor de x en la derivada.

La fórmula de la derivada por incrementos utiliza el límite cuando h tiende a cero para obtener la pendiente.

En el ejercicio se pide encontrar la recta tangente a la curva de una función cúbica, f(x) = x³ - 3x, en dos puntos: (-2,1) y (0,0).

La derivada por incrementos también se conoce como la derivada de los cuatro pasos.

El primer paso consiste en encontrar f(x+h) sustituyendo x por (x+h) en la función original.

El segundo paso es restar la función original de f(x+h).

El tercer paso es dividir el resultado del segundo paso entre h, lo cual puede simplificarse mediante factorización.

El cuarto paso es aplicar el límite cuando h tiende a cero para obtener la pendiente de la tangente.

En el punto (-2,1), la pendiente de la tangente es 9, obtenida al sustituir x=-2 en la derivada.

La ecuación de la recta tangente se obtiene usando la fórmula punto-pendiente, y para el punto (-2,1) es: 9x - y + 19 = 0.

En el punto (0,0), la pendiente de la tangente es -3, obtenida al sustituir x=0 en la derivada.

La ecuación de la recta tangente para el punto (0,0) es: 3x + y = 0.

Existen dos métodos para resolver este tipo de problemas: la derivada por incrementos y otro método más directo que utiliza la derivada desde el inicio, sustituyendo los valores del punto en cuestión.