Coordenadas Polares ¿Qué son? EXPLICACIÓN COMPLETA

Summary

Este video de 'Mate Fácil' introduce el concepto de coordenadas polares, explica cómo se grafican y cómo convertirlas entre el sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas). Se describe el sistema polar, compuesto por un polo y un eje radial, y cómo se usan dos cantidades (la distancia 'r' al origen y el ángulo 'θ' con el eje polar) para localizar puntos. Se ilustra con ejemplos y se mencionan las diferencias con el sistema rectangular, como la posibilidad de tener múltiples coordenadas para un mismo punto en el sistema polar. Finalmente, se muestra cómo relacionar ambas sistemas utilizando trigonometría y se invita a los espectadores a resolver ejercicios prácticos en futuros videos.

Takeaways

• 😀 Este video explica el concepto de coordenadas polares desde el principio.
• 📚 Se invita a los espectadores a descargar la aplicación 'Mate Fácil' para práctica adicional en temas matemáticos.
• 📈 El sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas) utiliza dos ejes, X e Y, para localizar puntos en el plano.
• 📐 Las coordenadas polares usan un 'polo' y un 'eje polar', y dos cantidades: la distancia 'r' al origen y el ángulo 'θ' con el eje polar.
• 📊 Se puede medir el ángulo 'θ' en sentido contrario o en el mismo sentido de las manecillas del reloj, resultando en ángulos positivos o negativos.
• 🔄 Un mismo punto puede tener infinitas coordenadas polares, cambiando el ángulo medido o sumando giros completos (360 grados).
• 📉 El valor de 'r', que representa la distancia, generalmente es positivo, pero también puede ser negativo si se mide en sentido opuesto al rayo del ángulo.
• 📈️ La aplicación 'Mate Fácil' ofrece cursos y ejercicios tipo examen para practicar temas desde aritmética hasta cálculo.
• 📝 Se pueden graficar puntos en el sistema polar utilizando círculos para distancias y rayos para ángulos, comúnmente en incrementos de 30 grados.
• 🔢 Para transformar coordenadas rectangulares a polares se usan las fórmulas de trigonometría: r = √(x² + y²), θ = arctan(y/x).
• 🔄 Para transformar coordenadas polares a rectangulares se utilizan las funciones seno y coseno: x = r * cos(θ), y = r * sin(θ).

Q & A

¿Qué es el sistema de coordenadas polares?

El sistema de coordenadas polares es un sistema de referencia para localizar puntos en el plano que utiliza dos números: la distancia desde el origen (que se llama polo) hasta el punto, representada por 'r', y el ángulo 'θ' que forma la línea que une el punto con el polo con el eje polar, que generalmente es el eje x positivo en el sistema de coordenadas rectangulares.

¿Cómo se relacionan las coordenadas rectangulares con las polares?

Las coordenadas rectangulares (x, y) se pueden transformar en polares (r, θ) utilizando trigonometría. La relación es dada por las fórmulas r = √(x² + y²), θ = arctan(y/x), considerando el cuadrante correcto para el ángulo θ. Recíprocamente, para obtener las coordenadas rectangulares a partir de polares, se usan las fórmulas x = r * cos(θ) y y = r * sin(θ).

¿Por qué es posible tener infinitas coordenadas polares para un mismo punto?

Un mismo punto puede tener infinitas coordenadas polares porque el ángulo θ puede ser medido en sentidos opuestos y se pueden sumar giros completos de 360 grados o radianes (2π). Por ejemplo, si el ángulo original es de 30 grados, el punto también podría tener coordenadas polares de 390 grados (360 + 30) o de 30 + n*360, donde n es un número entero.

¿Qué es el 'polo' en el sistema de coordenadas polares?

El 'polo' o 'origen' en el sistema de coordenadas polares es el punto de referencia desde el cual se mide la distancia 'r' hasta cualquier otro punto en el plano. Es similar al origen en el sistema de coordenadas rectangulares.

¿Cómo se grafican las coordenadas polares en el plano?

Para graficar coordenadas polares, primero se marca el polo y se dibuja el eje polar. Luego, se mide la distancia 'r' desde el polo en la dirección del ángulo 'θ', y se coloca un punto en esa posición. Se pueden usar círculos concéntricos para marcar las distancias y rayos que indican los ángulos.

¿Por qué la distancia 'r' en las coordenadas polares puede ser negativa?

La distancia 'r' en las coordenadas polares puede ser negativa si se mide en el sentido opuesto al rayo formado por el ángulo 'θ'. Esto significa que se mide la distancia desde el polo hacia el lado opuesto al que indica el ángulo.

¿Cómo se relaciona la tangente con las coordenadas polares?

La tangente del ángulo 'θ' en un sistema de coordenadas polares es igual a la coordenada y (el cateto opuesto al ángulo 'θ') dividida por la coordenada x (el cateto adyacente al ángulo 'θ'). Es decir, tangente(θ) = y/x.

¿Cuál es la aplicación 'Mate Fácil' y cómo se relaciona con el contenido del video?

La aplicación 'Mate Fácil' es una herramienta que ofrece cursos y ejercicios de matemáticas, organizados por secciones y disponibles para práctica. Se relaciona con el contenido del video en que el creador del video invita a los espectadores a descargarla para practicar temas vistos en el canal, incluyendo aritmética, álgebra, derivadas, integrales y límites.

¿Cómo se pueden medir los ángulos en el sistema de coordenadas polares?

Los ángulos en el sistema de coordenadas polares se pueden medir en grados o en radianes. Generalmente, se miden en el sentido contrario a las manecillas del reloj y son positivos. También se pueden medir en el sentido de las manecillas, en cuyo caso los ángulos son negativos.

¿Cómo se relaciona el ángulo 'θ' con las funciones trigonométricas seno y coseno?

En el sistema de coordenadas polares, el seno del ángulo 'θ' es igual al cateto opuesto al 'θ' dividido por la hipotenusa (r), es decir, sen(θ) = y/r. El coseno del ángulo 'θ' es igual al cateto adyacente al 'θ' dividido por la hipotenusa (r), es decir, cos(θ) = x/r.

Outlines

00:00

📚 Introducción a las Coordenadas Polares

El primer párrafo presenta el tema central del video, que es el estudio de las coordenadas polares. Se menciona que se explicará desde lo básico, incluyendo cómo se grafican y cómo se transforman las coordenadas rectangulares a polares y viceversa. Antes de profundizar en el tema, el presentador invita a los espectadores a descargar su aplicación 'Mate Fácil', disponible para Android e iOS, que contiene cursos y ejercicios de various temas matemáticos, desde aritmética hasta cálculo. El objetivo es que los usuarios puedan practicar los conceptos aprendidos.

05:03

📐 Sistema de Coordenadas Rectangulares vs Polares

En el segundo párrafo, se contrasta el sistema de coordenadas rectangulares, que todos conocemos, con el sistema de coordenadas polares. Se describe cómo localizar puntos en el plano utilizando dos números en cada sistema. Mientras que en el sistema rectangular se usan las coordenadas x (abscisa) e y (ordenada), en el polar se utiliza una distancia al origen (r) y un ángulo (theta). Se ilustra cómo se grafican estas coordenadas polares mediante círculos concéntricos y rayos a partir del polo, y cómo se pueden medir ángulos en grados o radiales.

10:04

📘 Ejemplos de Uso de las Coordenadas Polares

Este tercer párrafo ofrece ejemplos prácticos de cómo localizar puntos en el plano utilizando coordenadas polares. Se muestra cómo se determinan las coordenadas polares de un punto dada su distancia al origen y el ángulo que forma con el eje polar. Se discuten casos como ángulos positivos, negativos y la posibilidad de tener múltiples conjuntos de coordenadas para un mismo punto, destacando la diferencia entre ángulos medidos en sentido contrario a las manecillas o en el mismo sentido.

15:06

🔍 Relación Entre Coordenadas Rectangulares y Polares

El cuarto y último párrafo del script se enfoca en la relación entre las coordenadas rectangulares y polares. Se utiliza la trigonometría para establecer fórmulas que permiten convertir de un sistema a otro. Se introducen las fórmulas de Pitágoras para encontrar la distancia r, y las funciones trigonométricas seno y coseno para determinar las coordenadas x e y a partir de r y theta. Además, se presentan ejercicios para que el espectador practique la conversión entre ambos sistemas de coordenadas.

Keywords

💡Coordenadas polares

Coordenadas polares son un sistema de referencia para localizar puntos en un plano a través de dos valores: la distancia al origen, llamada r, y el ángulo que forma una línea desde el origen hasta el punto, representado por theta. En el video, se explica cómo utilizar estas coordenadas para graficar figuras y cómo se relacionan con las coordenadas rectangulares, demostrando su utilidad en matemáticas y física.

💡Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas

Este sistema de coordenadas se refiere a la forma tradicional de localizar puntos en un plano mediante dos ejes perpendiculares, el eje x (horizontal) y el eje y (vertical). En el video, se contrasta con el sistema polar para introducir y comparar conceptos fundamentales de localización de puntos.

💡Aplicación 'Mate, fácil'

La aplicación 'Mate, fácil' mencionada en el video es una herramienta que reúne cursos y ejercicios para practicar temas matemáticos. Se presenta como una forma de apoyo y práctica adicional para los espectadores, enfatizando su utilidad para mejorar el aprendizaje.

💡Polo o origen

En el contexto de coordenadas polares, el polo o origen es el punto de referencia central desde donde se miden las distancias y ángulos. En el video, el polo es el punto de partida para definir las coordenadas de cualquier punto en el plano.

💡Eje polar

El eje polar es el equivalente en el sistema polar del eje x en el sistema rectangular. Generalmente, se representa como una recta que se extiende hacia la derecha desde el polo. El video utiliza el eje polar para explicar cómo se grafican las coordenadas polares.

💡Ángulo theta (θ)

Theta representa el ángulo en el sistema de coordenadas polares, medido desde el eje polar en sentido contrario a las manecillas del reloj. En el video, se muestra cómo el ángulo theta se relaciona con la ubicación de los puntos en el plano.

💡Teorema de Ptolomeo

Aunque no se menciona explícitamente por este nombre en el video, se refiere a la relación entre las coordenadas rectangulares y polares, donde r^2 = x^2 + y^2, y se utiliza para encontrar la distancia r a partir de las coordenadas x e y.

💡Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas, como el seno y el coseno, se mencionan en el video para relacionar las coordenadas rectangulares con las polares. Se usan para calcular la posición y en qué cuadrante se encuentra un punto dado.

💡Conversión de coordenadas

El video detalla cómo convertir coordenadas rectangulares en polares y viceversa, utilizando fórmulas trigonométricas. Esta conversión es fundamental para entender la relación entre ambos sistemas de coordenadas.

💡Ángulo negativo

Se discute en el video cómo los ángulos negativos se miden en el sentido de las manecillas del reloj y cómo esto afecta la localización de puntos en el sistema polar, proporcionando ejemplos de puntos con ángulos negativos.

💡Valores de r negativos

El video explica que, aunque no es común, los valores de r también pueden ser negativos, dependiendo de la dirección en la que se mide la distancia desde el polo, lo cual es un concepto clave para entender completamente el sistema polar.

Highlights

El video comienza con una introducción al tema de las coordenadas polares, explicando qué son y cómo se grafican.

Se invita a los espectadores a descargar la aplicación 'Mate Fácil' para práctica adicional en temas matemáticos.

Se describe el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, con ejes x e y para localizar puntos en el plano.

Se ilustra cómo asignar coordenadas rectangulares a un punto dado en el plano.

Se presenta el sistema de coordenadas polares, con el polo y el eje polar como referencias.

Se explica cómo localizar puntos en el plano utilizando la distancia al polo (r) y el ángulo (theta).

Se menciona la convención de medir ángulos en sentido contrario a las manecillas para obtener ángulos positivos.

Se sugiere la utilización de círculos y rayos para facilitar la localización de puntos en el sistema polar.

Se da un ejemplo de cómo determinar las coordenadas polares de un punto dado su posición en el plano.

Se aclara la diferencia entre medir ángulos en grados y radiales, mencionando la relación 180 grados = pi radiales.

Se muestra cómo un mismo punto puede tener múltiples representaciones en coordenadas polares, incluyendo ángulos negativos.

Se discute la posibilidad de tener valores negativos para la distancia r en el sistema polar.

Se relacionan las coordenadas rectangulares y polares a través de trigonometría, utilizando el teorema de Pitágoras.

Se presentan fórmulas para transformar coordenadas rectangulares a polares utilizando funciones trigonométricas.

Se proporcionan ecuaciones para transformar coordenadas polares a rectangulares, utilizando seno y coseno.

Se invita a los espectadores a resolver ejercicios prácticos sobre la transformación entre sistemas de coordenadas.

Se agradece a los miembros y patrones por su apoyo al proyecto 'Mate Fácil'.

Transcripts

hola y bienvenidos a otro vídeo de mate

fácil en este vídeo vamos a ver el tema

de coordenadas polares voy a explicar

desde el principio qué son estas

coordenadas cómo se grafican y cómo

podemos transformar las coordenadas

rectangulares que nosotros conocemos en

coordenadas polares y viceversa pero

antes de empezar con el tema los invito

a que descarguen mi aplicación mate

fácil la cual se encuentra disponible en

android y ios en esta aplicación pueden

ustedes encontrar los principales cursos

de mi canal todos ordenados y divididos

por secciones y en cada una de las

secciones pueden encontrar ejercicios

tipo examen de opción múltiple con los

cuales ustedes pueden practicar los

temas que hayan visto en la sección

entonces es una aplicación bastante

buena para que ustedes practiquen

diversos temas desde aritmética álgebra

hasta derivadas integrales límites

etcétera entonces los invito a que

descarguen la aplicación de esa forma me

apoyan bastante bueno vamos a empezar

entonces con el tema y para esto vamos a

recordar un poco el sistema que nosotros

ya conocemos que es el sistema de

coordenadas rectangulares o también

coordenadas cartesianas es lo mismo en

este sistema nosotros tenemos dos ejes

el eje horizontal que llamamos eje x que

también se le llama eje de las abscisas

y el eje vertical que es el eje o el eje

de las ordenadas

nosotros podemos localizar puntos en el

plano mediante dos coordenadas que son

la coordenada xy la coordenada ye o sea

la abscisa y la ordenada por ejemplo si

queremos localizar el punto cuyas

coordenadas son 2,3 esto significa el

primer número va a ser la coordenada xy

entonces en x nos movemos hasta el 2 y

luego el segundo número es el elche

entonces en el que nos movemos hasta el

3 así que aquí justamente donde la

coordenada x estos y la coordenada y

estrés ahí va a estar el punto con

coordenadas 2 3 y si nosotros tenemos

cualquier punto en el plano por ejemplo

este punto de aquí nosotros le podemos

asignar unas coordenadas mediante dos

números que son sus coordenadas x y

coordenadas de la siguiente manera a

este punto nosotros le dibujamos una

línea vertical y nos fijamos cuál es la

intersección con el eje x y una línea

horizonte

y nos fijamos cuál es la intersección

con el eje y esas son sus coordenadas

entonces este punto tiene coordenada x

menos 3 y coordenada 74 por lo cual sus

coordenadas son menos 3,4 este es el

sistema que nosotros ya conocemos

bastante bien coordenadas rectangulares

o cartesianas ahora vamos a ver el

sistema de coordenadas polares en este

sistema también vamos a localizar puntos

en el plano mediante dos números pero

ahora estos números representan

geométricamente diferentes cosas ya no

son proyecciones este sobre el eje xy

sobre el eje y sino que ahora vamos a

tener un punto el cual se denomina polo

o también origen así como en el origen

del sistema anterior bueno ese va a ser

el punto de partida del polo o el origen

y tenemos un eje que es un rayo o sea

una recta que generalmente se dibuja

hacia la derecha

y que representaría al eje x positivo en

el sistema de coordenadas rectangulares

pero bueno en el de coordenadas polares

a este eje se le denomina eje polar esto

es lo que tenemos en el sistema de

coordenadas polares un punto y un eje

que apunta hacia la derecha y para

localizar puntos en el plano nosotros

vamos a dar dos cantidades esto vamos a

verlo de la siguiente manera si tenemos

un punto por ejemplo este punto de aquí

nosotros vamos a medir la distancia que

hay desde este punto hasta el polo o el

origen o sea esta distancia de aquí a

esta distancia vamos a llamarle r esa va

a ser una de las coordenadas la

distancia que hay desde el origen hasta

el punto y la otra de las coordenadas va

a ser el ángulo que forma esta línea la

línea que une el origen con el polo y el

eje polar este ángulo que vamos a

representar como theta es la segunda

coordenada de esa manera las coordenadas

de un punto en el sistema de coordenadas

polares son r teta o sea la distancia al

origen y el ángulo que se forma desde el

eje polar

generalmente los ángulos los medimos en

el sentido contrario de las manecillas y

son positivos pero también podemos medir

los en el mismo sentido de las

manecillas y en ese caso los ángulos

serán negativos vamos a ver algunos

ejemplos para que todo esto quede

bastante más claro pero antes de ver los

ejemplos observen que en el sistema de

coordenadas rectangulares nosotros

solemos escribir aquí números para irnos

guiando más fácil y poder localizar

puntos fácilmente en el plano e incluso

dibujamos cuadrículas como estas de aquí

las cuales son de bastante ayuda al

momento de localizar puntos algo similar

podemos hacer en el sistema de

coordenadas polares aunque en este caso

no vamos a hacer una cuadrícula porque

no nos serviría de mucho en este caso lo

que sirve es dibujar círculos y dibujar

rayos de esta manera cada uno de los

círculos nos dice las diferentes

distancias que hay hacia el polo y cada

uno de los rayos nos dice los diversos

ángulos en este caso son ángulos medidos

de 30 en 30 aunque se podría hacer de

otras maneras podría ser de 45 en 45 o

de 15 en 15 pero lo usual es hacerlo

de 30 grados en 30 grados entonces por

ejemplo si nosotros tenemos un punto

digamos este punto de aquí será

suficiente con contar el ángulo que se

forma que son 30 más 30 60 grados y con

contar la distancia desde el polo hasta

el punto fijándonos en estas

circunstancias la primera es la

distancia 1 luego 2 3 y 4 eso significa

que el punto se encuentra una distancia

de 4 unidades desde el origen y forma un

ángulo de 60 grados por lo cual sus

coordenadas polares son 4,60 grados

también es muy usual utilizar en lugar

de grados radiales y es algo a lo que se

deben acostumbrar porque se utiliza

bastante en cálculo entonces en lugar de

60 grados podemos escribirlo como pi

sobre 3 radiales aquí simplemente

recuerden que pi son 180 grados entonces

si nosotros dividimos 180 entre 3

obtenemos 60 por eso aquí es pi entre

tengo videos en los cuales muestro como

transformar grados en radiales y

radiales en grados les voy a dejar en la

descripción el enlace a la lista de

geometría elemental que es donde explico

esas transformaciones de grados a

radiales y viceversa bueno entonces de

esa manera nosotros podemos localizar

puntos fácilmente en el plano con ayuda

de bueno pues esta retícula en la cual

tenemos aquí pues círculos y rayos bueno

vamos a ver entonces algunos otros

ejemplos vamos a localizar este punto el

punto que tiene coordenadas polares

5,150 grados bueno sabemos que se debe

encontrar en el círculo que se encuentra

a cinco unidades del polo es decir en

este círculo de aquí que está en el 5

todo este círculo de en alguna parte de

este círculo va a estar el punto

pero debe formar 150 grados así que lo

más recomendable es primero localizar el

ángulo primero vamos a localizar el

ángulo entonces son 30 60 90 120 y 150

recordemos que va de 30 en 30 entonces

va a estar en este rayo de aquí

aquí va a estar el punto y va a estar en

el círculo que

tiene radio 5 entonces va a ser 1 2 3 4

5 aquí va a estar el punto y ahí lo

tenemos localizado ese es el punto con

coordenadas polares 5,150 grados otro

ejemplo

ahora con un ángulo negativo para que

vean la diferencia entre tener ángulo

negativo y positivo en los ángulos

positivos observen que siempre estuvimos

midiendo en el sentido contrario de las

manecillas es decir hacia arriba del eje

polar cuando medimos hacia arriba del

eje polar es positivo y cuando medimos

hacia abajo del eje polar es negativo

pueden recordarlo por ejemplo con con el

eje y recuerden que el eje hacia arriba

es positivo hacia abajo es negativo

bueno pueden así utilizarlo para

recordar estos ángulos hacia arriba son

positivos hacia abajo son negativos

entonces en este caso son menos 30

grados significa medir 30 grados hacia

abajo entonces como cada una de estas

divisiones son 30 grados significa que

va a estar aquí luego luego en esta

primera división allí va a estar el

punto y debe encontrarse a una distancia

4 desde el origen entonces contamos 1234

aquí va a estar el punto ahí lo tenemos

localizado ahora aquí algo muy

importante es que en el sistema de

coordenadas polares podemos tener

diferentes coordenadas para representar

un mismo punto

hay infinitas coordenadas que

representan un mismo punto eso no ocurre

con las coordenadas rectangulares pero

sí en las polares por ejemplo este mismo

punto que yo acabo de dibujar aquí

podemos también darle otras coordenadas

si en lugar de medir el ángulo hacia

abajo lo hubiéramos medido hacia arriba

observen que si medimos el ángulo hacia

arriba tendríamos que medir todo este

ángulo de aquí todo este entonces

contando pero pues sería 36 9 12 15 18

21 24 27 30 33 osea 330 grados o también

podríamos haberlo hecho más fácil si

tomamos en cuenta que todo el giro

completo son 360 y si le quitamos estos

30 pues nos quedan 330 grados

entonces serían 330 grados positivo

porque empezamos midiendo hacia arriba

y la distancia sigue siendo 4 por lo

cual otras coordenadas polares para este

mismo punto son 4 330 grados positivos

pero igual podemos incluso dar giros

completos y sumarle 360 grados cada vez

que hacemos un giro completo

por ejemplo en este mismo caso si

primero hacemos todo un giro de 360

grados y luego otro ángulo de 330

terminamos justamente aquí simplemente

estamos añadiéndole otros 360 con lo

cual a estos 330 les sumamos 360 y nos

queda entonces 690 grados o sea que este

punto también tiene como coordenadas 4

690 y podríamos sumarle otros 360 y

otros 360 y así infinitas veces por eso

vemos que un mismo punto puede tener

infinitas coordenadas polares

ahora también eso aplica para ángulos

negativos ya habíamos visto que en el

ángulo negativo eran menos 30 hacia acá

pero si a esos menos 30 les sumamos

otros menos 360 grados significaría que

primero hacemos un giro completo en el

sentido de las manecillas o sea hacia

abajo todo un giro completo y luego

otros 30 grados entonces nos quedaría un

ángulo de menos 390 que es a 360 sumarle

los 30 son 390 negativos porque

estaríamos midiendo hacia abajo

bueno en todos estos ejemplos hemos

visto que la coordenada r o sea la

distancia desde él desde el polo

es positiva vean que en todos los casos

tenemos un 4 positivo ahora una pregunta

que surge podríamos tener un valor de r

negativo y bueno la respuesta es que sí

pero para entender esto vamos a hacerlo

con este mismo punto para ver cómo sería

un r negativo bueno ahí lo que hay que

tomar en cuenta es que cuando nosotros

medimos un ángulo nos estamos quedando

con un rayo que es justo donde termina

el ángulo el rayo que une el polo hacia

bueno pues en el lado del ángulo no

desde el polo hacia el lado del ángulo

si nosotros en lugar de medir el la

distancia en ese mismo rayo lo medimos

hacia el sentido opuesto al rayo

estaremos teniendo un valor de rd

negativo por ejemplo para este punto

tendríamos que medir no este rayo este

rayo de aquí sino el que está de este

otro lado osea tendríamos que medir esto

de aquí este rayo de acá

el ángulo que se forma aquí son 30 60 90

120 150 150 grados hasta llegar a este

rayo pero nosotros no estamos ubicando

el punto directamente sobre este rayo

sino en el sentido opuesto al rayo de

este lado entonces cuando es en el

sentido opuesto al rayo es que tenemos

un valor de r negativo o sea que en este

caso son menos 4

para un ángulo de 150 grados así que

otras coordenadas polares para este

mismo punto son menos 4 150 grados casi

siempre vamos a utilizar valores de r

positivos pero en algunos casos resulta

útil también tomar esto en cuenta que r

puede ser negativo siempre y cuando

estemos midiendo pues el punto en el

sentido opuesto al rayo en el cual

termina el ángulo

bueno entonces así ya queda un poquito

más claro vamos a ver más ejemplos en

próximos vídeos pero antes de terminar

con este vídeo vamos a ver de qué manera

se relacionan las coordenadas

rectangulares y las polares o sea cómo

podemos transformar coordenadas

rectangulares en polares y viceversa

para esto vamos a empezar con nuestro

sistema de coordenadas rectangulares

ubicamos un punto cualquiera en este

este plano este punto tiene unas

coordenadas x en el sistema de

coordenadas rectangulares esto significa

que si nosotros dibujamos una línea

vertical y una línea horizontal la

distancia desde el origen hacia aquí va

a ser x esta distancia mide x y esta

distancia mide y eso es lo que sabemos

de las coordenadas rectangulares ahora

este mismo punto tiene unas coordenadas

polares que son rt está aquí vamos a

suponer que el origen sigue siendo este

mismo de aquí y que el eje polar es el

eje x positivo entonces eso significa

que la distancia desde el origen al

punto es r

y que el ángulo que se forma con el eje

polar este está este ángulo de aquí

queremos ver de qué manera se relacionan

estas cuatro cantidades entre sí

observen que aquí se forman un triángulo

rectángulo que tiene un ángulo de 90

aquí justamente y podemos utilizar

trigonometría para ver de qué manera se

relacionan las cantidades para eso voy a

dibujar este mismo triángulo pero por

acá más grande para que se vea más claro

aquí tenemos nuestro ángulo de 90 este

ángulo de aquí es el que estamos

diciendo que éste está sabemos que este

lado de aquí es r siguiente este de aquí

sabemos que este lado de aquí abajo mide

x y este lado de aquí me deje por que

observen que esto de aquí es y esto de

aquí es un rectángulo entonces los lados

opuestos miden lo mismo este lado de

aquí mide lo mismo que éste de acá y

este de acá es este de aquí entonces

miren

entonces aplicando trigonometría podemos

pues encontrar relaciones entre estas

cantidades lo primero que podemos

utilizar aquí de hecho es el teorema de

pitágoras el cual nos dice que la

hipotenusa al cuadrado es igual a la

suma de los cuadrados de los catetos

en este caso vean que la hipotenusa es r

que es la que está frente al ángulo de

90 y los catetos son xy entonces r al

cuadrado es igual a x al cuadrado más y

al cuadrado ahí tenemos ya una relación

entre x y r si nosotros conocemos las

coordenadas x podemos conocer la

coordenada r simplemente sustituyendo

aquí los valores xy y luego tomando la

raíz cuadrada en este caso podemos tomar

la raíz cuadrada positiva o negativa

dependiendo si queremos un valor de r

positivo o negativo y también podemos

utilizar aquí la función trigonométricas

tangente que recordemos que es el cateto

opuesto entre el cateto adyacente

en este caso es tangente de teta

entonces el cateto opuesto es el que

está frente al ángulo teta ósea y el

cateto adyacente es el que está junto al

ángulo teta que es x así que tangente de

teta es de entre x entonces observen que

si conocemos las coordenadas x osea las

coordenadas rectangulares podemos

conocer el ángulo a partir de esta

expresión solamente hay que tener un

poco de cuidado porque hay que localizar

bien ese ángulo en el cuadrante que

corresponda y también dependiendo si

elegimos el valor de reposición negativo

porque ya vimos que dependiendo de eso

el ángulo puede cambiar bueno esto lo

iremos viendo con más claridad en

próximos ejemplos bueno de esta manera

si nosotros conocemos las coordenadas

rectangulares podemos obtener las

coordenadas polares entonces estas

ecuaciones transforman de rectangulares

en polares

pero como podemos transformar de polares

a rectangulares bueno pues para eso

ahora vamos a utilizar las funciones

senos y cosenos en este triángulo el

seno recordemos que es cateto opuesto

entre hipotenusa

entonces el cateto opuesto a teta ya

habíamos dicho que era el que está

frente al ángulo teta y la hipotenusa

ese ere como dijimos así que el seno de

teta va a ser entre r de aquí podemos

despejar esta r que está dividiendo pasa

multiplicando nos queda que r por el

seno de teta es igual a ye lo cual

podemos escribir al revés que es igual a

r por el seno de teta entonces ya

tenemos la coordenada y si conocemos r y

te estás simplemente sustituimos aquí

sus valores y ya tenemos el valor de ch

y para obtener el valor de x

vamos a utilizar el coche no el coseno

del ángulo es cateto adyacente entre

hipotenusa el cateto adyacente es este

de aquí que está junto al ángulo teta

que tiene valor x así que nos va a

quedar x entre la hipotenusa que ese ere

de nuevo despejamos la repasa

multiplicando queda que r por coseno

beteta es x o lo que es lo mismo x es r

poco seno de teta entonces si conocemos

las coordenadas polares ere y te está

sustituyendo aquí obtenemos las

coordenadas rectangulares xy así que

estas ecuaciones transforman de dólares

en rectangulares

bueno ahora unos ejercicios para ustedes

que resolver en los próximos vídeos

graficar los siguientes puntos en

coordenadas polares estos 10 puntos el

siguiente ejercicio es transformar las

coordenadas polares a coordenadas

rectangulares y de nuevo son los mismos

10 puntos estos 10 puntos hay que

transformarlos aquí están en coordenadas

polares hay que escribirlos en sus

coordenadas rectangulares y finalmente

transformar de las coordenadas

rectangulares a polares para éstas

tendrán que utilizar las fórmulas que

vimos al final todos estos ejercicios 2

y 3 resolviendo en los próximos vídeos

así que los invito a que los vean quiero

agradecer infinitamente a todos los

miembros y patrones de este mes que con

su apoyo hacen posible que el proyecto

mate fácil siga adelante muchas gracias

a todos ustedes