Calculo Integral 04: La integral definida. The definite integral.

Summary

En esta clase de cálculo integral, se exploran los orígenes y las ideas fundamentales del cálculo diferencial e integral, creados por Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Se aborda el problema histórico de calcular áreas bajo curvas, introduciendo el concepto de sumas de Riemann para aproximar el área bajo una función. A través de un proceso de subdivisión en rectángulos, se llega a la definición formal de la integral definida como el límite de estas sumas. La clase también establece la diferencia entre la integral y la derivada, profundizando en la notación y los procedimientos básicos para realizar integrales.

Takeaways

• 😀 Newton y Leibniz fueron los creadores del cálculo diferencial e integral, transformando la ciencia y la tecnología desde el siglo XVII.
• 😀 El problema de calcular áreas de figuras regulares e irregulares ya existía desde la época de los griegos, pero se resolvió recién en el siglo XVII.
• 😀 Para calcular el área bajo una curva, se divide la región en subintervalos y se utiliza la suma de rectángulos con base en el valor de la función en puntos específicos.
• 😀 El proceso de aproximación se puede hacer evaluando la función en el extremo derecho, izquierdo o en cualquier punto dentro del intervalo del rectángulo.
• 😀 Las sumas de Riemann son la clave para calcular el área bajo una curva, representando una aproximación que se perfecciona al aumentar el número de rectángulos.
• 😀 El área exacta bajo la curva se obtiene como el límite de las sumas de Riemann cuando el número de rectángulos tiende a infinito.
• 😀 La integral definida es, en términos simples, el área bajo la curva de una función continua.
• 😀 El cálculo de integrales implica calcular sumas de Riemann y luego tomar el límite cuando el número de rectángulos tiende a infinito.
• 😀 La notación de integral se introdujo por Leibniz y está relacionada con la suma infinita de áreas de los rectángulos de aproximación.
• 😀 El concepto de integral involucra la noción de límite, similar a la derivada, pero con un límite al infinito en lugar de uno a cero.
• 😀 En el cálculo integral, las integrales generalmente se realizan sobre una sola variable, pero en cursos posteriores se tratarán integrales de varias variables.

Q & A

¿Quiénes son los creadores del cálculo diferencial e integral mencionados en la clase?

Los creadores del cálculo diferencial e integral mencionados en la clase son Isaac Newton, un inglés, y Gottfried Leibniz, un alemán.

¿Cuál es la importancia de los descubrimientos de Newton y Leibniz para la ciencia y la tecnología?

Los descubrimientos de Newton y Leibniz transformaron la ciencia y la tecnología desde el siglo XVII hasta la actualidad, siendo considerados fundamentales para el desarrollo del cálculo y de diversas áreas científicas.

¿Qué problema matemático se trataba de resolver desde la época de los griegos?

Desde la época de los griegos, el problema que se trataba de resolver era calcular el área de figuras regulares e irregulares.

¿Cómo se define la región de interés para calcular el área bajo una curva en el cálculo integral?

La región de interés para calcular el área bajo una curva se define por una función f(x), el eje x, y las rectas en x = a y x = b, donde se divide el intervalo original en n subintervalos.

¿Qué representa la fórmula utilizada para calcular el área de los rectángulos en la suma de Riemann?

La fórmula para calcular el área de los rectángulos en la suma de Riemann es la suma de los productos de las alturas (evaluadas en un punto específico) y los anchos de los rectángulos, donde el ancho es delta x y la altura es f(xi).

¿Qué es una suma de Riemann y cómo se usa en el cálculo integral?

Una suma de Riemann es una aproximación al cálculo del área bajo una curva, sumando las áreas de rectángulos cuyo ancho es delta x y cuya altura se obtiene evaluando la función en puntos dentro de cada subintervalo.

¿Cómo se determina el área bajo la curva de una función continua?

El área bajo la curva de una función continua se determina tomando el límite de las sumas de Riemann cuando el número de subintervalos n tiende a infinito.

¿Qué es la integral definida y cómo se relaciona con el área bajo la curva?

La integral definida es el símbolo que representa el cálculo del área bajo la curva de una función continua. Se calcula tomando el límite de las sumas de Riemann.

¿Cuál es la diferencia entre el concepto de integral y derivada en términos de límites?

La diferencia principal es que la integral involucra un límite cuando n tiende a infinito, mientras que la derivada implica un límite cuando delta x tiende a cero.

¿Qué representa la notación de la integral definida?

La notación de la integral definida incluye el símbolo de integración (∫), el límite inferior y superior de integración, la función a integrar (el integrando), y la diferencial de la variable (dx).