▶️ Derivada de un Producto o Multiplicación | Video 6

Summary

En este video, se explica cómo derivar una función que involucra una multiplicación entre un término lineal y una raíz cuadrada. Primero, se reescribe la raíz cuadrada como una potencia utilizando la propiedad de las raíces y exponentes. Luego, se aplica la regla del producto y la regla de la cadena para derivar cada término. A lo largo del proceso, se simplifican las expresiones y se usan las reglas de diferenciación de potencias y sumas. Finalmente, se presenta la derivada de la función en su forma simplificada. Este video ofrece una explicación detallada paso a paso para derivar funciones con raíces cuadradas.

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Q & A

¿Cómo se reescribe la raíz cuadrada de 3x + 2 en términos de potencias?

La raíz cuadrada de 3x + 2 se reescribe como (3x + 2) elevado a la 1/2, utilizando la propiedad de los exponentes que dice que la raíz cuadrada es equivalente a un exponente fraccionario de 1/2.

¿Qué fórmula se utiliza para derivar una función producto?

La fórmula para derivar una función producto es la regla del producto, que establece que la derivada de un producto de dos funciones u(x) y v(x) es u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

¿Cómo se aplica la regla del producto en la función dada?

En la función f(x) = 6x^3 * (3x + 2)^(1/2), aplicamos la regla del producto donde u(x) = 6x^3 y v(x) = (3x + 2)^(1/2). Derivamos cada función por separado y luego aplicamos la fórmula del producto.

¿Cómo se aplica la regla de la cadena al término (3x + 2)^(1/2)?

Para derivar el término (3x + 2)^(1/2), se usa la regla de la cadena, ya que es una función compuesta. Se deriva el exponente 1/2 y luego se multiplica por la derivada interna de (3x + 2), que es 3.

¿Qué sucede cuando se deriva una constante como el número 2?

Cuando se deriva una constante, como el número 2, el resultado es cero. Esto se debe a que la derivada de cualquier constante es siempre cero.

¿Cómo se simplifican los términos con exponentes negativos en el resultado de la derivada?

Los términos con exponentes negativos se simplifican utilizando la propiedad de los exponentes negativos, que dice que x^(-n) = 1/x^n. En este caso, (3x + 2)^(-1/2) se convierte en 1/√(3x + 2).

¿Qué se hace cuando el exponente es fraccionario, como 1/2?

Cuando el exponente es fraccionario, como 1/2, se usa la equivalencia con la raíz cuadrada, es decir, x^(1/2) es igual a √x. Este concepto se utiliza para simplificar y entender mejor las derivadas de expresiones con fracciones como exponentes.

¿Por qué se usa la fórmula de la derivada de una función con exponente n?

La fórmula de la derivada de una función con exponente n, que es n * x^(n-1), se utiliza porque permite derivar cualquier función que tenga un exponente, ya sea entero o fraccionario. Esta regla es fundamental para trabajar con polinomios o expresiones con raíces.

¿Cómo se derivan los términos en la función 6x^3 + 3?

Para derivar los términos 6x^3 y 3, se usa la regla básica de derivación: la derivada de 6x^3 es 18x^2, y la derivada de 3 (que es una constante) es 0.

¿Cómo se obtiene la derivada final de la función f(x) = 6x^3 * √(3x + 2)?

La derivada final de la función se obtiene combinando todos los términos derivados utilizando la regla del producto y la regla de la cadena. El resultado es: f'(x) = (18x^3)/(2√(3x + 2)) + 18x^2√(3x + 2).