110. Limit by L'Hopital Rule, FULL EXPLANATION AND EXAMPLES

Summary

Este vídeo explica cómo calcular límites utilizando la regla de L'Hôpital para resolver formas indeterminadas como 0/0 o ∞/∞. Se presenta un ejemplo detallado de cómo evaluar el límite
lim_{x → 2}
frac{x^4 - 16}{x^3 - 8}, mostrando el proceso de sustitución, derivación y simplificación para obtener el resultado de
8/3. Los espectadores son animados a practicar con un ejercicio similar y se les invita a ver el próximo vídeo para el procedimiento completo. El contenido es claro y didáctico, ideal para quienes buscan entender y aplicar la regla de L'Hôpital en problemas de límites.

Takeaways

• 😀 La regla de L'Hôpital se aplica en límites que resultan en formas indeterminadas, como 0/0 o ∞/∞.
• 😀 Primero, se debe verificar que el límite conduce a una de las formas indeterminadas antes de aplicar la regla.
• 😀 En el ejemplo, el límite (x⁴ - 16) / (x³ - 8) cuando x tiende a 2 da como resultado 0/0, una forma indeterminada.
• 😀 La regla de L'Hôpital consiste en derivar tanto el numerador como el denominador de la fracción.
• 😀 La derivada de x⁴ - 16 es 4x³ y la derivada de x³ - 8 es 3x².
• 😀 Después de derivar, sustituimos el valor de x = 2 en las derivadas obteniendo 32/12.
• 😀 Al simplificar 32/12, el resultado final es 8/3, que es el valor del límite.
• 😀 Es importante recordar que L'Hôpital solo se aplica después de verificar que el límite es una forma indeterminada.
• 😀 El video invita a los estudiantes a practicar con ejercicios similares antes de ver la solución completa en el siguiente video.
• 😀 Al final, se anima a los espectadores a dar un 'like', suscribirse al canal y dejar comentarios con preguntas o sugerencias.

Q & A

¿Qué es la regla de L'Hopital y cuándo se puede utilizar?

La regla de L'Hopital se puede utilizar para calcular límites cuando se llega a una forma indeterminada, como 0/0 o infinito/infinito. Consiste en derivar tanto el numerador como el denominador de la fracción y luego recalcular el límite con estas derivadas.

¿Cuáles son las formas indeterminadas que permiten aplicar la regla de L'Hopital?

Las formas indeterminadas que permiten aplicar la regla de L'Hopital son 0/0 e infinito/infinito. Esto se verifica sustituyendo el valor de la variable en el límite original.

En el ejemplo dado, ¿cómo se verificó que la forma era indeterminada 0/0?

Se sustituyó el valor de x = 2 en la expresión del límite. Al hacerlo, se obtuvo 2^4 - 16 en el numerador, que da 0, y 2^3 - 8 en el denominador, que también da 0, lo que resulta en una forma indeterminada 0/0.

¿Cómo se aplica la regla de L'Hopital en el ejemplo?

Primero, se deriva el numerador (x^4 - 16) y el denominador (x^3 - 8). Luego, se recalcula el límite con las derivadas: 4x^3 para el numerador y 3x^2 para el denominador. Después, se vuelve a sustituir el valor x = 2 en las nuevas expresiones.

¿Qué se obtiene después de derivar el numerador y el denominador?

La derivada del numerador (x^4 - 16) es 4x^3, y la derivada del denominador (x^3 - 8) es 3x^2. Después de derivar, se sustituye x = 2 en estas expresiones.

Al sustituir x = 2 en las derivadas, ¿qué resultado se obtiene?

Sustituyendo x = 2 en las derivadas, se obtiene 4 * 2^3 = 32 en el numerador y 3 * 2^2 = 12 en el denominador. El límite es 32/12, lo que simplificado da 8/3.

¿Por qué se puede simplificar el resultado 32/12 en 8/3?

Se puede simplificar el resultado porque ambos números, 32 y 12, tienen un factor común de 4. Al dividir ambos entre 4, obtenemos 8/3.

¿Qué se debe hacer si el límite no da una forma indeterminada al sustituir x?

Si al sustituir el valor de x no se obtiene una forma indeterminada (0/0 o infinito/infinito), entonces no se puede aplicar la regla de L'Hopital. En ese caso, se deben usar otros métodos para calcular el límite.

¿Qué ejercicio se deja al final del video para que los espectadores lo resuelvan?

Al final del video se deja el ejercicio de calcular el límite de (x^5 - 5x^2 - 12) / (x^10 - 500x - 24) cuando x tiende a 2. Los espectadores deben verificar si la expresión da una forma indeterminada antes de aplicar la regla de L'Hopital.

¿Qué se debe hacer si se obtiene una forma indeterminada en el ejercicio dejado en el video?

Si se obtiene una forma indeterminada (0/0 o infinito/infinito) al sustituir x = 2 en el ejercicio, entonces se puede aplicar la regla de L'Hopital, derivando tanto el numerador como el denominador y recalculando el límite.