Criterio de la segunda derivada | Concavidad y puntos de inflexión | Ejemplo 5

Summary

En este video, se explica cómo encontrar los puntos de inflexión y las concavidades de la función f(x) = 2 / (x² + 4) utilizando el criterio de la segunda derivada. Se detallan los pasos para calcular las derivadas de la función, aplicar la regla del producto, y resolver la ecuación resultante para obtener los puntos de inflexión. Luego, se analiza la concavidad de la función en diferentes intervalos, concluyendo que la función es cóncava hacia arriba fuera de los puntos de inflexión y cóncava hacia abajo entre ellos.

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Q & A

¿Cuál es la forma reordenada de la función f(x) = 2 / (x^2 + 4) para facilitar la derivación?

La función se reordena como f(x) = 2 * (x^2 + 4)^(-1), donde se cambia el denominador al numerador con un exponente negativo.

¿Qué regla se usa para derivar la función f(x) = 2 * (x^2 + 4)^(-1)?

Se utiliza la regla de la cadena para derivar la función, considerando el término dentro del paréntesis como una sola variable.

¿Cómo se obtiene la primera derivada de la función?

La primera derivada se obtiene aplicando la regla de la cadena: f'(x) = -4x * (x^2 + 4)^(-2).

¿Qué se hace después de obtener la primera derivada para calcular la segunda derivada?

Se aplica la regla del producto para derivar el término de la primera derivada y obtener la segunda derivada.

¿Cuál es la segunda derivada de la función f(x) = 2 / (x^2 + 4)?

La segunda derivada es f''(x) = (12x^2 - 16) / (x^2 + 4)^3.

¿Cómo se encuentran los puntos de inflexión de la función?

Se encuentran igualando la segunda derivada a cero y resolviendo para x. Esto da los puntos de inflexión en x = ±1.15.

¿Cómo se despeja x al igualar la segunda derivada a cero?

Al igualar 12x^2 - 16 = 0, se resuelve para x obteniendo x = ±sqrt(4/3) ≈ ±1.15.

¿Qué prueba de signo se utiliza para determinar la concavidad de la función?

Se prueban diferentes valores de x en los intervalos definidos por los puntos de inflexión. Si la segunda derivada es positiva, la función es cóncava hacia arriba; si es negativa, la función es cóncava hacia abajo.

¿Cuál es la concavidad de la función cuando x < -1.15?

La función es cóncava hacia arriba cuando x < -1.15, ya que la segunda derivada es positiva en este intervalo.

¿Qué sucede con la concavidad de la función entre los puntos de inflexión, es decir, en el intervalo -1.15 < x < 1.15?

En este intervalo, la función es cóncava hacia abajo, ya que la segunda derivada es negativa.