🟦 Máximos y Mínimos de una Función (Criterio de la Primer Derivada) | Video 1

Vitual

19 May 201604:46

Summary

TLDREn este video educativo, se explica el proceso de encontrar el mínimo de una función 'f(x)'. Primero, se calcula la derivada de 'f(x)', obteniendo 'f''(x) = 2x - 3'. Luego, se establece 'f''(x) = 0' para localizar los puntos críticos, resultando en x = 3/2. Se evalúa 'f''(x)' en puntos alrededor de x = 3/2, mostrando un cambio de signo que indica un mínimo. Finalmente, al sustituir x = 3/2 en 'f(x)', se determina que el mínimo está en el punto (3/2, -1/4). El video invita a suscriptores y compartiendo, promoviendo más aprendizaje en el tema.

Takeaways

📘 Calcular la derivada de una función polinomial implica derivar cada término individualmente.
✏️ La derivada de x^2 es 2x, la derivada de -3x es -3, y la derivada de una constante es 0.
🔍 Para encontrar puntos críticos, igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación resultante.
📌 Al igualar la derivada 2x - 3 a cero, encontramos que x = 1.5 es el único punto crítico.
👀 Seleccionar valores de x menores y mayores al punto crítico para evaluar el signo de la derivada.
📉 Evaluar la derivada en x = 1 y x = 2 para determinar el cambio de signo y aplicar el criterio de la primera derivada.
📈 Un cambio de signo de la derivada de - a + indica la presencia de un mínimo en el punto crítico x = 1.5.
📍 Calcular las coordenadas del mínimo sustituyendo el valor crítico en la función original.
🧮 Al sustituir x = 1.5 en la función, se obtiene que el mínimo está en el punto (1.5, -0.25).
🎓 El vídeo ofrece una guía paso a paso para encontrar el mínimo de una función usando el análisis de derivadas.

Q & A

¿Qué representa f' (prima) de x en el contexto del ejercicio?
-f' (prima) de x representa la derivada de la función f(x), que indica la tasa de cambio de la función en relación con x.
¿Cuál es la derivada de f(x) = x^2 - 3x + 2?
-La derivada de f(x) = x^2 - 3x + 2 es f'(x) = 2x - 3.
¿Por qué se iguala la derivada a cero en el paso número 2?
-Se iguala la derivada a cero para encontrar los puntos críticos de la función, que son los candidatos a ser máximos o mínimos.
¿Cuál es el valor crítico de x encontrado en el ejercicio?
-El valor crítico de x encontrado es 3/2.
¿Qué significa que el signo de la derivada cambie de negativo a positivo?
-El cambio de signo de negativo a positivo en la derivada indica que en ese punto la función tiene un mínimo.
¿Qué criterio se utiliza para determinar si el punto crítico es un máximo o un mínimo?
-Se utiliza el criterio de la primera derivada, que analiza el cambio de signo de la derivada en torno al punto crítico.
¿Qué se hace en el paso número 6 del ejercicio?
-En el paso número 6, se encuentra la coordenada del mínimo sustituyendo el valor crítico de x en la función original f(x).
¿Cuál es la coordenada del mínimo de la función?
-La coordenada del mínimo de la función es (3/2, -1/4).
¿Cómo se realiza la suma y resta de fracciones en el ejercicio?
-Se encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores, se ajustan las fracciones para que tengan el mismo denominador, y luego se suman o restan los numeradores.
¿Cuál es la conclusión final del ejercicio?
-La función f(x) tiene un mínimo en el punto (3/2, -1/4).

Outlines

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📘 Cálculo de la derivada y puntos críticos

En el primer párrafo, se describe un ejercicio de cálculo de la derivada de una función \( f(x) \) que es un polinomio. La derivada de cada término se calcula individualmente: la derivada de \( x^2 \) es \( 2x \), la derivada de \( -3x \) es \( -3 \), y la derivada de \( 2 \) es \( 0 \). La derivada resultante es \( 2x - 3 \). Se establece la derivada a cero para encontrar los puntos críticos, lo que resulta en una ecuación \( 2x - 3 = 0 \), la cual se resuelve para encontrar \( x = 1.5 \) como el único punto crítico. Se eligen valores cercanos a este punto crítico para evaluar la derivada en dichos puntos.

Mindmap

Keywords

💡derivada

La derivada es una herramienta fundamental del cálculo diferencial que indica cómo cambia una función en un punto específico. En el guion, la derivada se utiliza para encontrar los puntos críticos de la función f(x), que son puntos donde la función podría tener un máximo o un mínimo. Por ejemplo, se calcula la derivada de la función f(x) = x^2 - 3x + 2 y se establece a cero para encontrar los puntos críticos.

💡polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica que consta de términos que son potencias de una variable con coeficientes. En el vídeo, se menciona que la derivada de un polinomio se calcula derivando cada uno de sus términos individualmente, como se ve en la función f(x) = x^2 - 3x + 2.

💡puntos críticos

Los puntos críticos son valores en los que la derivada de una función es cero o no está definida. Son importantes porque pueden indicar extremos de la función. En el guion, se establece la derivada de f(x) a cero para encontrar estos puntos, y se encuentra que x = 3/2 es un punto crítico.

💡primera derivada

La primera derivada de una función es la derivada que se calcula directamente de la función. Se utiliza para determinar la tendencia de crecimiento o decrecimiento de una función. En el vídeo, la primera derivada de f(x) se evalúa en puntos alrededor del punto crítico para aplicar el criterio de la primera derivada.

💡criterio de la primera derivada

Este criterio se utiliza para determinar si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Se basa en el cambio de signo de la derivada en los puntos alrededor del punto crítico. En el guion, se observa que la derivada cambia de negativa a positiva alrededor de x = 3/2, lo que indica un mínimo.

💡mínimo

Un mínimo de una función es un punto donde la función alcanza un valor más bajo que en los puntos cercanos. En el vídeo, se determina que en x = 3/2, la función f(x) tiene un mínimo, lo que se confirma mediante el criterio de la primera derivada.

💡coordenadas del mínimo

Las coordenadas del mínimo son los valores de x e y que definen el punto donde la función alcanza su mínimo. En el guion, se calculan las coordenadas del mínimo sustituyendo x = 3/2 en la función f(x), lo que resulta en un valor de y = -1/4, y por lo tanto, el mínimo está en el punto (3/2, -1/4).

💡ecuación

Una ecuación es una igualdad que relaciona dos expresiones matemáticas. En el vídeo, se establece una ecuación al igualar la derivada de la función a cero para encontrar los puntos críticos, como en la ecuación 2x - 3 = 0.

💡operaciones algebraicas

Las operaciones algebraicas son los procesos matemáticos básicos que incluyen sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas. En el guion, se realizan operaciones algebraicas para simplificar la función y encontrar los puntos críticos y el mínimo, como en la evaluación de f'(x) en x = 1 y x = 2.

💡signo

El signo de una función o expresión algebraica indica si es positiva, negativa o cero. En el vídeo, se analiza el signo de la primera derivada en puntos alrededor del punto crítico para aplicar el criterio de la primera derivada y determinar si es un mínimo o un máximo.

Highlights

Calculan la derivada de una función f(x).

Derivada de x^2 es 2x, de -3x es -3 y de 2 es 0.

La derivada resultante es 2x - 3.

Establecen la derivada a cero para encontrar puntos críticos.

Resuelven la ecuación 2x - 3 = 0 para encontrar x = 3/2.

Determinan que x = 3/2 es el único valor crítico.

Elegir valores de x menores y mayores que el punto crítico para evaluar la derivada.

Evalúan la derivada en x = 1 y x = 2.

La derivada en x = 1 es -1 y en x = 2 es 1.

Aplican el criterio de la primera derivada para determinar un mínimo.

En x = 3/2, la función tiene un mínimo.

Calculan las coordenadas del mínimo sustituyendo x = 3/2 en f(x).

El mínimo se encuentra en el punto (3/2, -1/4).

Conclusión de que la función f(x) tiene un mínimo en (3/2, -1/4).

Invitan a suscriptores y a compartir el contenido.

Transcripts

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y realizamos el siguiente ejercicio paso

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número 1 vamos a calcular la derivada de

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