Derivadas usando la definición | Introducción
Summary
TLDREn este video, el instructor ofrece una introducción a las derivadas utilizando la definición de la derivada, aclarando conceptos que a veces generan confusión entre los estudiantes, como la diferencia entre 'h' y 'delta x'. Seguidamente, se presentan ejemplos prácticos para calcular f(x+h) y cómo factorizar la 'h' en diferentes términos para simplificar el proceso de derivación. El video también incluye ejercicios para que los estudiantes puedan practicar y aplicar lo aprendido. El instructor finaliza animando a los espectadores a suscribirse y explorar el curso completo de derivadas disponibles en su canal o a través del enlace proporcionado.
Takeaways
- 📚 La derivada es una herramienta matemática fundamental para estudiar la tasa de cambio de una función.
- 🔍 La definición de la derivada utiliza el límite cuando h tiende a cero de (f(x + h) - f(x))/h.
- 📌 Algunos libros utilizan el símbolo delta x en lugar de h, pero son equivalentes.
- 💡 Para calcular f(x + h), reemplaza x por (x + h) en la función original.
- 📈 Para encontrar la derivada, se factoriza la h en la expresión f(x + h) - f(x).
- 🌟 Es común factorizar la h en expresiones para simplificar el cálculo de la derivada.
- ✅ Al factorizar la h, se divide cada término de la expresión por h, lo que permite eliminar la h en muchos casos.
- 📘 Ejemplos prácticos son proporcionados para ilustrar cómo calcular f(x + h) y cómo factorizar la h.
- 📝 Se recomienda cambiar x por (x + h) en la función original para facilitar el proceso de factorización.
- 📌 Al dividir términos con h, se elimina una h de cada término, dejando el resultado sin la h.
- 📌 Cuando se divide h por h, el resultado es 1, lo cual se debe tener en cuenta al simplificar expresiones.
- 🎓 Se ofrecen ejercicios para practicar el cálculo de f(x + h) y la factorización de la h en derivadas.
- 📺 El curso completo de derivadas está disponible en el canal del instructor o a través del enlace proporcionado.
Q & A
¿Qué es la derivada y cómo se define?
-La derivada es una operación matemática que permite encontrar la tasa a la que cambia una función en un punto específico. La definición de la derivada es el límite cuando 'h' tiende a cero de (f(x + h) - f(x)) / h.
¿Por qué a veces en algunos libros la 'h' se escribe como 'delta x'?
-La 'h' y 'delta x' son términos equivalentes utilizados para representar una pequeña cantidad en la definición de la derivada. Algunos autores prefieren 'h' por su facilidad de visualización y notación.
¿Cómo se calcula la derivada de la función f(x) = 3x + 2?
-Para calcular la derivada, primero se calcula f(x + h), que sería 3(x + h) + 2. Luego, se aplica la definición de la derivada, factorizando 'h' y tomando el límite cuando 'h' tiende a cero.
¿Cómo se factoriza 'h' en la expresión de la derivada?
-Para factorizar 'h', se asegura que 'h' esté presente en cada término de la expresión. Luego, se divide cada término por 'h', lo que permite eliminar 'h' en la expresión final.
¿Cuál es la ventaja de factorizar 'h' en la expresión de la derivada?
-Factorizar 'h' simplifica la expresión y permite eliminar 'h' al dividir cada término por 'h', lo que se utiliza para encontrar la derivada de una función de manera más eficiente.
¿Cómo se calcula la derivada de la función f(x) = 2x^2 - 3x + 5?
-Se calcula f(x + h) reemplazando 'x' por '(x + h)' en la función, lo que resulta en 2(x + h)^2 - 3(x + h) + 5. Luego, se factoriza 'h' y se toma el límite cuando 'h' tiende a cero.
¿Qué es el resultado de dividir 'h' entre 'h'?
-Al dividir 'h' entre 'h', se eliminan ambos factores, dejando como resultado 1, ya que cualquier número dividido por sí mismo es igual a 1.
¿Por qué es importante recordar cómo factorizar en las derivadas?
-El factorizado es una técnica comúnmente utilizada en las derivadas que permite simplificar cálculos y hacerlos más eficientes. También es crucial para evitar errores al manipular expresiones algebraicas.
¿Cómo se resuelve el ejercicio de encontrar f(x + h) para la función f(x) = x^2?
-Para encontrar f(x + h), se reemplaza 'x' por '(x + h)' en la función, lo que resulta en (x + h)^2. Luego, se expande y se simplifica la expresión antes de aplicar la definición de la derivada.
¿Cuál es la importancia de entender la diferencia entre 'fx' y 'fx + h'?
-La diferencia entre 'fx' y 'fx + h' es fundamental para entender la definición de la derivada. 'fx' representa el valor de la función en el punto 'x', mientras que 'fx + h' representa el valor de la función en el punto 'x + h', lo que se utiliza para calcular la tasa de cambio de la función.
¿Cómo se pueden practicar más衍生 (derivadas)?
-Se pueden practicar las derivadas resolviendo ejercicios similares a los proporcionados en el script, donde se calcula f(x + h) para diferentes funciones y se factoriza 'h' para encontrar la derivada.
¿Dónde puedo encontrar el curso completo de derivadas mencionado en el script?
-El curso completo de derivadas puede encontrarse en el canal del creador o en el enlace proporcionado en la descripción del vídeo o en la tarjeta que aparece en la parte superior de la pantalla.
Outlines
📘 Introducción a las derivadas
El primer párrafo comienza con una introducción al curso de derivadas, destacando la importancia de la definición de la derivada y cómo se presenta en algunos libros. Se aclara la confusión entre el uso de 'h' y 'delta x', y se ofrece una técnica para simplificar el proceso de encontrar la derivada de una función. Se presentan ejemplos para ilustrar cómo calcular f(x+h) y cómo factorizar en la derivación, lo cual es un concepto común en el cálculo de derivadas.
📚 Ejercicios prácticos de derivadas
El segundo párrafo se enfoca en proporcionar ejercicios prácticos para que los estudiantes puedan ejercitar sus habilidades en la derivación. Se les instruye a los estudiantes sobre cómo encontrar f(x+h) y cómo factorizar la 'h' en diferentes términos para simplificar la expresión. Se resuelven ejemplos específicos y se discute cómo manejar casos en los que la 'h' se elimina por completo en la expresión, lo que resulta en un valor de 1. El párrafo concluye con un mensaje de motivación y un recordatorio sobre el curso completo de derivadas disponible en el canal del instructor.
Mindmap
Keywords
💡Derivadas
💡Definición
💡Factorizar
💡Límite
💡Función
💡f(x) + h
💡h
💡Ejercicios
💡
💡Cálculo
💡Curso
💡Canal
Highlights
El curso de derivadas comienza con una introducción a las derivadas usando la definición.
Se aclara la confusión entre el uso de 'h' y 'delta x' en la definición de derivada.
Se proporciona una técnica para simplificar la expresión de f(x) + h mediante el uso de paréntesis.
Se muestra un ejemplo práctico de cómo encontrar f(x) + h para la función f(x) = 3x + 2.
Se destaca la importancia de factorizar en las derivadas y cómo aplicarlo en diferentes funciones.
Se aclaran las dudas comunes sobre el proceso de factorización de h en términos.
Se ofrece un segundo ejemplo de factorización en una función más compleja, f(x) = 2x^2 - 3x + 5.
Se detalla el proceso de factorización de h y cómo manejar términos con múltiples factores de h.
Se proporciona una técnica para manejar términos en los que h se elimina completamente al dividir por h.
Se aporta una explicación sobre la apariencia de '1' como resultado de la división de términos iguales.
Se presentan ejercicios prácticos para que los estudiantes practiquen el cálculo de f(x) + h y la factorización de h.
Se sugiere pausar el video para realizar los ejercicios propuestos.
Se ofrece orientación para resolver ejercicios donde se debe factorizar h y simplificar las expresiones resultantes.
Se alentan a los estudiantes a suscribirse, comentar y likear el video para recibir más contenido similar.
Se invita a los estudiantes a acceder al curso completo de derivadas en el canal o a través del link proporcionado.
Se destaca que el cálculo de derivadas, aunque a menudo es visto como difícil, es en realidad sencillo de entender y aplicar.
Se cierra la sesión con un mensaje de despedida animado, alentando a los estudiantes a continuar aprendiendo.
Transcripts
[Música]
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de derivadas y
ahora veremos una pequeña introducción a
las derivadas usando la definición y
para esto pues tenemos que hablar de la
definición de la derivada de la que ya
hablamos en el vídeo anterior ya les
aclare por qué la derivada es esto no
les aclaro algo aquí en algunos libros
como lo vimos en el vídeo anterior en
algunos libros no dice h
si no dice delta equis pero esto es lo
mismo no a mí me gusta más utilizar la h
porque pues es como más fácil de ver no
es tan complicado como dicta x
simplemente sí entonces la definición es
límite cuando h tiende a cero de fx más
h como les digo en algunos libros diría
f x + delta x - efe x sobre h en algunos
libros diría aquí delta x pero bueno de
que es de los que lo que les quiero
hablar en esta en esta introducción yo
he visto que a los estudiantes se les
dificulta o de pronto no saben qué es
efe xh o no saben qué s fx aquí lo vamos
a aclarar y lo segundo que vamos a
aclarar en este vídeo es recordar cómo
se factorizar
común que es algo muy usado en las
derivadas entonces primero que todo les
voy a poner unos ejemplos obviamente
cuando a uno le dicen saque la derivada
pues le dan a uno una función el primer
ejemplo pues va a hacer este supongamos
que la función que nos dan es f x igual
a 3 x + 2 para eso tendríamos que y nos
dicen xa que la derivada entonces para
eso tendríamos que saber cuánto vale f x
+ h
fx más h no es más sino bueno les voy a
dar un tipo simplemente es copiar esto
pero en lugar de la equis escribir x + h
una fórmula que yo a un método que yo
utilizo para que esto sea muy sencillo
es copiar esto pero en lugar de la equis
hacer un paréntesis y entonces cómo
quedaría simplemente sería 3 x + 2 o sea
3 x + 2
dentro del paréntesis que copiamos esto
que está dentro del paréntesis x + h
y listos esto que está con rojo es f x +
hd esta función
entonces si nos dijeran allí la derivada
de esta función escribiríamos límite
cuando h tiende a 0 y esto en lugar de
esto escribiríamos 3 factor de x + h + 2
luego seguiría fx que sf x pues
simplemente es la función que nos dieron
en este caso esto como lo dice aquí es
fx si vamos a hacer otro ejemplo de cómo
hallar fx + h ya vamos a hacer un
ejemplo supuestamente más difícil
tenemos la función si y nos dicen que la
derivada para esto tenemos que saber
pues que s fx más h entonces aquí voy a
aclararles nuevamente fx + h teniendo en
cuenta esta función
la recomendación cambiamos la x por
paréntesis entonces copiamos 2 x al
cuadrado o sea 2 x al cuadrado luego
siguen menos 3 x o sea menos 3x y más 5
y dentro del paréntesis que lo que
colocamos x + h
y listos entonces como se dan cuenta es
muy sencillo esto sería fx + h ahora
vamos a pasar a la segunda parte del
vídeo que es cómo factorizar entonces en
las derivadas muchas veces nos vamos a
encontrar con expresiones como ésta en
la que siempre hay que factorizar la h
entonces simplemente vamos a factorizar
la h aquí obviamente para poder
factorizar la h en cada uno de los
términos pues debe estar la h no como
acá y por eso es que se puede factorizar
no entonces aquí diríamos la h es el
factor de y aquí adentro que colocamos
el resultado de dividir esto entre la h
entonces 3x h dividido en h lo voy a
hacer por acá 3x h
dividido en h simplemente se elimina la
h con la h y que nos queda 3
más aquí sería lo mismo h al cuadrado
dividido en h voy a copiar ese h al
cuadrado así h al cuadrado recuerden que
es h por h y aquí eliminamos una h con
una h en los vídeos les voy a decir
eliminamos una hd acuérdense que es esto
entonces se elimina una h con una h y me
queda solamente la h
vamos a hacer un segundo ejemplo
nuevamente vamos a factorizar la h
obviamente debe estar en cada uno de los
términos aquí en el primer término está
en el segundo también y en el tercero
también entonces escribiríamos h es
factor de y aquí si le quitamos la h si
porque es dividir por h entonces
eliminaríamos la h con la h y nos queda
2x menos y aquí pues ustedes ya utilizan
su imaginación no aquí dice 3
hh y al dividirla entre h se quita una
de esas dos h si me quedaría
h más aquí diría h al cubo o sea h
no sé si lo voy a hacer h h h que es h
al cubo y si lo dividimos entre una h
entonces se eliminan y me quedan 2 h o
sea h al cuadrado como siempre por
último les voy a dejar unos ejercicios
para que ustedes practiquen ya saben que
pueden pausar el vídeo lo que ustedes
van a hacer es lo siguiente en estos dos
primeros ejercicios aquí tenemos fx van
a encontrar a fx más h lo mismo esto es
fx van a encontrar
fx más h y en estas dos expresiones van
a factorizar la h y la respuesta va a
aparecer en 321 para que en el primero
pues simplemente en lugar de la xv al
paréntesis no o sea x al cuadrado sea
paréntesis al cuadrado y dentro del
paréntesis x más h lo mismo aquí sería x
+ 3 o sea paréntesis más 3 y dentro del
paréntesis x más h espero que les haya
parecido fácil esto porque generalmente
a los estudiantes esto es lo que les
parece difícil pero en se cuenta que no
es nada complicado ahora en la parte de
abajo simplemente factor izamos la h
y si dividimos esto
h se quita esta h queda 5 x aquí se
quita la h queda 3x y aquí quitamos una
de las dos nos queda solamente 2 h lo
mismo aquí si factor izamos la h pilas
porque voy a hacer las operaciones aquí
miren el primero sería x h
dividido en h en este caso pues creo que
no tuvieron problemas no se elimina la h
con la h queda la equis pero para el
segundo es en el que yo he visto que los
estudiantes tienen problemas si está h
la dividimos entre el factor nos queda
aquí se eliminaría todo y los
estudiantes generalmente tienden a decir
ah no como se eliminó todo entonces no
escribo nada pilas que cuando se elimina
todo el resultado es 1 por eso este más
uno un ejemplo es cuando ustedes hacen 5
sobre 5 eso cuánto es uno o 10 sobre 10
1 sobre h también es 1 pilas con esto
bueno amigos espero que les haya gustado
la clase recuerden que pueden ver el
curso completo de derivadas disponibles
en mi canal o en el link que está en la
descripción del vídeo o en la tarjeta
que les dejo aquí en la parte superior
los invito a que se suscriban comenten
como
like an vídeo y no siendo más bye bye
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