Derivada de una función usando la definición | Ejemplo 2

Matemáticas profe Alex

14 Mar 201807:56

Summary

TLDREl video ofrece una introducción a la derivación de funciones utilizando la definición de derivada. El ejemplo central es la función f(x) = x^2, y se utiliza la definición de derivada como el límite cuando h tiende a cero. El presentador sugiere escribir f(x+h) en lugar de f(x) para facilitar el proceso. Seguidamente, se resuelve el límite pasando por los pasos de la expansión del cuadrado de un binomio, factorización y simplificación hasta llegar a la eliminación de términos y finalmente a la derivada de la función. El video incluye una recomendación de escribir siempre f(x+h) y de factorizar para facilitar la eliminación de h. El presentador concluye con un ejercicio para que los espectadores practiquen y les invita a suscribirse y a seguir el curso completo de derivadas en su canal o a través del enlace proporcionado.

Takeaways

📚 Aprender a calcular derivadas utilizando la definición de límite.
🔢 Familiarizarse con la notación de delta x o h en la definición de derivada.
📈 Comprender que f(x + h) es la función evaluada en x más h.
💡 Utilizar paréntesis alrededor de la variable para facilitar la manipulación algebraica.
🧮 Realizar operaciones algebraicas y factorizar para eliminar el término h.
📐 Recordar la fórmula del cuadrado de un binomio: (a + b)² = a² + 2ab + b².
📉 Identificar y eliminar términos que se cancelan mutuamente en la expresión.
🔑 Factorizar h en los términos restantes para su posterior eliminación al tomar el límite.
➗ Resolver el límite reemplazando h por cero para encontrar la derivada.
📝 Practicar con ejercicios similares para consolidar el aprendizaje.
📚 Acceder al curso completo de derivadas en el canal o a través del link proporcionado.

Q & A

¿Qué función se utiliza como ejemplo para encontrar la derivada en este curso?
-Se utiliza la función f(x) = x al cuadrado como ejemplo para encontrar la derivada en este curso.
¿Cuál es la definición de derivada que se utiliza en el curso?
-La definición de derivada utilizada en el curso es el límite cuando h tiende a cero de (f(x+h) - f(x))/h.
¿Por qué se recomienda utilizar paréntesis alrededor de 'x' en 'f(x+h)'?
-Se recomienda utilizar paréntesis alrededor de 'x' en 'f(x+h)' para evitar confusiones y para que sea más claro que se está tomando el valor de la función en el punto 'x+h'.
¿Qué es el binomio y cómo se utiliza en la derivación de 'f(x+h)'?
-El binomio es un polinomio de grado dos, que en este caso es (x+h). Se utiliza en la derivación de 'f(x+h)' para expandir y simplificar la expresión al cuadrado de 'x+h'.
¿Cómo se resuelve el cuadrado de un binomio?
-El cuadrado de un binomio se resuelve usando la fórmula (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, donde 'a' es el primer término y 'b' es el segundo término.
¿Qué pasos se siguen para eliminar 'h' en la expresión de la derivada?
-Primero se factoriza 'h' en la expresión, luego se simplifica la expresión y finalmente, al reemplazar 'h' con cero, se obtiene la derivada.
¿Por qué es importante factorizar 'h' en la expresión?
-Es importante factorizar 'h' para poder eliminarlo en la expresión, ya que esto permite simplificar la expresión y encontrar la derivada de la función.
¿Cómo se resuelve el límite cuando 'h' tiende a cero?
-Se resuelve el límite reemplazando 'h' con cero en la expresión, lo que permite obtener la derivada de la función.
¿Qué es el resultado de la derivada de la función f(x) = x al cuadrado?
-El resultado de la derivada de la función f(x) = x al cuadrado es 2x.
¿Qué se recomienda hacer después de encontrar la derivada de una función?
-Se recomienda practicar con más ejercicios para fortalecer la comprensión y la habilidad en la derivación de funciones.
¿Dónde se puede encontrar el curso completo de derivadas mencionado en el video?
-El curso completo de derivadas se puede encontrar en el canal del instructor o en el enlace proporcionado en la descripción del video o en la tarjeta que se muestra en la parte superior del video.

Outlines

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📚 Introducción al cálculo de derivadas usando la definición

Este primer párrafo presenta el tema del curso, que es el cálculo de derivadas. Se menciona que se utilizará la definición de derivada a través del límite, y se hace referencia a un video anterior donde se explicó la fórmula de la derivada. Además, se aborda la elección de usar 'h' o 'delta x' en la definición, y se ofrece una recomendación para escribir de manera más clara la función f(x) + h. Seguidamente, se comienza a aplicar la definición de derivada al ejemplo de la función f(x) = x^2, explicando el proceso paso a paso y destacando la importancia de factorizar para eliminar el término 'h'.

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🔍 Proceso detallado para calcular la derivada de f(x) = x^2

En este segundo párrafo se profundiza en el cálculo de la derivada de la función f(x) = x^2. Seguidamente, se resuelve el límite cuando h tiende a cero, aplicando la definición de derivada y el concepto de cuadrado de un binomio. Se destaca la importancia de factorizar para eliminar el término 'h' y se resalta que los estudiantes a menudo encuentran difícil este paso, pero se aclara que no es tan complicado. Finalmente, se resuelve el límite reemplazando 'h' por cero, encontrando así la derivada de la función y se invita a los estudiantes a practicar con un ejercicio similar.

Mindmap

Keywords

💡Derivadas

Derivadas son una de las operaciones fundamentales en el cálculo matemático que representan la tasa de cambio instantáneo de una función con respecto a una variable. En el video, el tema central es el cálculo de derivadas usando la definición tradicional y el ejemplo de la función f(x) = x^2.

💡Definición de derivada

La definición de derivada se refiere a la forma en que se calcula la derivada de una función. Se define como el límite cuando 'h' tiende a cero de [f(x+h) - f(x)]/h. En el video, se utiliza esta definición para encontrar la derivada de la función dada.

💡Límite

Un límite es un concepto fundamental en el cálculo que se refiere a la forma en que una función se comporta cerca de un punto específico. En el contexto del video, el límite se utiliza para calcular la derivada cuando h se acerca a cero.

💡Función f(x) = x^2

La función f(x) = x^2 es el ejemplo que se utiliza para demostrar cómo calcular la derivada en el video. Se trata de una función polinomial de segundo grado y su derivada es un concepto clave en la lección.

💡Delta x o h

Delta x (∆x) o h se refiere a una pequeña cantidad que se utiliza en la definición de la derivada para representar el cambio en la variable x. En el video, se menciona que algunos libros y profesores utilizan delta x y otros h, pero son equivalentes.

💡

💡Factorización

La factorización es el proceso de romper una expresión en productos de sus factores. En la derivada, se factoriza para aislar el término con 'h' y eliminarlo al tomar el límite. En el video, se factoriza 'h' en la expresión para poder eliminarlo al resolver el límite.

💡Binomio

Un binomio es una expresión algebraica que contiene dos términos, generalmente separados por un signo sumando o restando. En el video, se utiliza la expansión del cuadrado de un binomio para calcular la derivada de la función f(x) = x^2.

💡Expansión del cuadrado de un binomio

La expansión del cuadrado de un binomio es un método para calcular el resultado de (a + b)^2, que se expande como a^2 + 2ab + b^2. En el video, esta expansión se utiliza para simplificar la expresión antes de tomar el límite y encontrar la derivada.

💡Ejercicio de derivadas

El video incluye un ejercicio para que los espectadores practiquen el cálculo de derivadas. Este ejercicio es una oportunidad para que los estudiantes apliquen lo que han aprendido sobre la definición de derivada y el proceso de factorización.

💡Curso de derivadas

El video es parte de un curso más amplio sobre derivadas. Este curso proporciona una base sólida en el cálculo de derivadas, que es esencial para el estudio de la matemática avanzada y las ciencias exactas.

💡Canal y enlace

El video finaliza con una invitación para que los espectadores se suscriban y visiten el canal o el enlace proporcionado para obtener más información sobre el curso de derivadas. Esto indica que hay más contenido educativo disponible para aquellos interesados en profundizar en el tema.

Highlights

El curso de derivadas comienza con un ejemplo práctico de cómo encontrar la derivada de una función utilizando la definición de derivada.

Se utiliza la fórmula de la derivada que fue explicada en un video anterior.

Se recomienda escribir f(x + h) en lugar de f(x + Δx) para facilitar el cálculo.

Se sugiere siempre hacer f(x + h) y no solo f(x) al aplicar la definición de derivada.

Se proporciona una técnica para escribir paréntesis alrededor de términos complejos como x^2 + 5x para facilitar su manipulación en derivadas.

Se destaca la importancia de factorizar la variable h para eliminarla en la expresión de la derivada.

Se resalta que los estudiantes a menudo encuentran difícil el proceso de factorización y eliminación de h, pero se aclara que es fundamental para resolver el límite.

Se aplica el concepto del cuadrado de un binomio, que es crucial en el cálculo de derivadas.

Se resalta que el cuadrado de un binomio se resuelve como (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2.

Se muestra cómo se eliminan términos opuestos en la expresión de la derivada, como x^2 - x^2.

Se factoriza la h en la expresión para poder reemplazarla por cero al final del cálculo.

Se aclara que la h se elimina solo después de la factorización, no antes.

Se resuelve el límite cuando h tiende a cero, lo que resulta en la derivada final de la función.

Se proporciona un ejercicio para que los estudiantes practiquen el proceso aprendido, con la respuesta revelada en tres, dos, uno.

Se recomienda pausar el video para que los estudiantes puedan practicar el ejercicio por su cuenta.

Se ofrece un enlace al curso completo de derivadas en el canal del instructor o en la descripción del video.

Se invita a los estudiantes a suscribirse, comentar, compartir y dar like al video para recibir más contenido similar.

Se cierra el video con un mensaje de despedida amigable.