Ecuaciones exponenciales usando cambio de variable | Ejemplo 4
Summary
TLDREste video aborda la resolución de ecuaciones exponenciales mediante el método de cambio de variable. El profesor explica cómo identificar cuándo aplicar este método, usando ejemplos con exponentes comunes, como 2 elevado a x y su cuadrado. A lo largo del video, se desarrolla un ejercicio paso a paso, desde el reconocimiento de la estructura de la ecuación hasta su factorización. Además, se explica cómo determinar las soluciones y se verifica el resultado obtenido. Al final, el instructor invita a los espectadores a practicar con un ejercicio similar y a seguir el curso completo.
Takeaways
- 😀 El vídeo trata sobre cómo resolver ecuaciones exponenciales utilizando el método de cambio de variable.
- 🎓 Se destaca que el cambio de variable es recomendado cuando se identifican exponentes iguales en términos de la base elevada a la potencia.
- 🔍 Se enseña a reconocer patrones en ecuaciones donde se utilizan potencias de la misma base para aplicar el cambio de variable.
- 📝 Se explica que si se tiene una suma o resta de potencias iguales, se debe usar el cambio de variable.
- 📚 Se resuelve un ejemplo paso a paso, cambiando 4 elevado a la 'x' por (2 elevado a la 'x') al cuadrado.
- 🧮 Se aclara que la propiedad de la potenciación indica que los exponentes se multiplican cuando una base es potencia de otra potencia.
- 📐 Se resalta la importancia de resolver la ecuación resultante, que generalmente se convierte en una ecuación cuadrática.
- 🔄 Se hace un cambio de variable donde '2 elevado a la 'x'' se reemplaza por una letra, 'm', para simplificar la ecuación.
- 📉 Se resuelve la ecuación cuadrática resultante mediante factorización, buscando dos números que satisfagan las condiciones de la ecuación.
- 🔍 Se recomienda verificar las soluciones obtenidas para asegurar que son correctas, incluso cuando la ecuación es simple.
Q & A
¿Cuál es el método recomendado para resolver la ecuación en el video?
-El método recomendado es el cambio de variable.
¿Qué debes reconocer en una ecuación para saber que se puede resolver con cambio de variable?
-Debes identificar que los exponentes de las expresiones son cuadrados de otros números, como por ejemplo 2^x y 4^x, ya que 4 es 2 al cuadrado.
¿Cuál es el primer paso al aplicar el método de cambio de variable en el ejemplo dado?
-El primer paso es reemplazar 4^x por (2^2)^x, lo que simplifica la expresión a (2^x)^2 utilizando las propiedades de los exponentes.
¿Qué ocurre cuando aplicas el cambio de variable en esta ecuación?
-La ecuación se convierte en una cuadrática, lo que facilita su resolución usando métodos de factorización o la fórmula general.
¿Qué se debe hacer una vez que se obtiene la ecuación cuadrática tras el cambio de variable?
-Se deben mover todos los términos de la ecuación a un solo lado para igualar a cero y luego factorizar o aplicar la fórmula general.
¿Cómo se elige la variable de cambio en este método?
-Se puede usar cualquier letra como variable de cambio. En este video se usa 'm' para reemplazar 2^x.
¿Cómo se factoriza la ecuación cuadrática resultante?
-Se busca la raíz cuadrada de m^2 y se colocan dos paréntesis con los factores correspondientes, prestando atención a los signos y encontrando números que multiplicados den el último término y que sumados o restados den el coeficiente del término intermedio.
¿Cuáles son las soluciones para la variable 'm' en el ejemplo resuelto?
-Las soluciones son m = 8 y m = -4, pero solo m = 8 es válida ya que 2^x no puede ser negativo.
¿Cómo se verifica que la solución obtenida para 'x' es correcta?
-Se sustituye x = 3 en la ecuación original y se verifica que ambos lados de la ecuación sean iguales. En este caso, la verificación muestra que la solución es correcta.
¿Qué observaciones finales hace el profesor sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas?
-El profesor recomienda utilizar la factorización cuando el coeficiente de la variable cuadrática es 1, ya que suele ser más sencillo que aplicar la fórmula general.
Outlines
📘 Introducción al Método de Cambio de Variable
El vídeo comienza con una introducción al curso de ecuaciones exponenciales, enfocándose en cómo resolver una ecuación utilizando el método de cambio de variable. Se explica que este método es adecuado cuando se identifica un patrón específico en la ecuación, como dos números elevados a la misma potencia 'x'. Se da un ejemplo de cómo reconocer cuándo aplicar este método, mencionando que suele ser indicativo cuando se tienen términos como 2^x y 4^x, que son perfectos cuadrados. El presentador propone realizar un cambio de variable donde 4^x se reemplaza por (2^x)^2, destacando la importancia de recordar las propiedades de las potencias al realizar este tipo de cambios.
🔍 Procedimiento para Resolver la Ec. Cuadrática
El vídeo continúa explicando el proceso de resolución de una ecuación cuadrática después de aplicar el cambio de variable. Se menciona que, tras el cambio, la ecuación resultante es más manejable y se puede resolver fácilmente. Se sugiere que, con práctica, los estudiantes deberían ser capaces de realizar rápidamente el cambio de variable y proceder a la resolución de la ecuación. Se aborda la elección del método de resolución de ecuaciones cuadráticas, optando por la factorización en lugar de la fórmula general, debido a la simplicidad de la ecuación presentada. Se detalla el proceso de factorización y cómo encontrar los números que satisfacen la ecuación, llegando a dos posibles soluciones para 'm'. Posteriormente, se indica que se deben reemplazar estos valores de 'm' para encontrar los correspondientes valores de 'x', concluyendo con una solución única para 'x' y explicando por qué la otra no es válida en los números reales.
📝 Verificación y Ejercicio de Práctica
El vídeo concluye con la verificación de la solución obtenida para la ecuación exponencial. Se demuestra que la solución es correcta al sustituir el valor de 'x' de vuelta en la ecuación original y verificar que se cumple la igualdad. Además, se ofrece un ejercicio similar para que los estudiantes practiquen el método de cambio de variable que acaban de aprender. Se alienta a los estudiantes a suscribirse al canal y a dar 'like' al vídeo si les resultó útil, y se les invita a comentar y compartir el contenido. Finalmente, se ofrece un enlace a más contenido del curso para profundizar en el tema y se cierra el vídeo con un despedida cordial.
Mindmap
Keywords
💡ecuaciones
💡cambio de variable
💡exponentes
💡propiedades de la potenciación
💡ecuación cuadrática
💡factorización
💡base igual
💡solución de ecuaciones
💡verificación
💡ejercicio
Highlights
El vídeo comienza con una introducción al curso de ecuaciones exponenciales.
Se enfoca en resolver una ecuación utilizando el método de cambio de variable.
Destaca la importancia de reconocer cuándo aplicar el cambio de variable en una ecuación.
Explica cómo identificar una ecuación que requiere cambio de variable por la presencia de exponentes específicos.
Proporciona ejemplos de exponentes que sugieren el uso del cambio de variable.
Detalla el proceso de reconocer la relación entre los exponentes para aplicar el cambio de variable.
Muestra cómo simplificar la ecuación cambiando 4 elevado a la x por (2 elevado a la x) al cuadrado.
Aclara la propiedad de potenciación y cómo se aplican los exponentes.
Recomienda acostumbrarse a realizar el cambio de variable para simplificar ecuaciones.
Propone la resolución de ecuaciones cuadráticas resultantes del cambio de variable.
Describe el proceso de hacer el cambio de variable y reemplazar 2 elevado a la x por una letra.
Detalla cómo resolver la ecuación cuadrática resultante por factorización.
Ofrece tips para decidir entre factorización y fórmula general en ecuaciones cuadráticas.
Explica el proceso de encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática y cómo reemplazar la variable.
Destaca la importancia de verificar las soluciones en el contexto original de la ecuación.
Proporciona un ejercicio para practicar el método de cambio de variable.
Recomienda suscribirse y dar like al vídeo si fue útil.
Finaliza con un desafío para que el espectador practique el método enseñado.
Transcripts
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de ecuaciones
exponenciales y en este vídeo vamos a
resolver una ecuación utilizando el
método de cambio de variable
[Música]
a
[Música]
y en este vídeo vamos a resolver esta
ecuación que obviamente el método
recomendado es utilizar el cambio de
variable primero que todo la idea es que
ustedes reconozcan que cuando ustedes
vean una ecuación de una vez sepan jacek
y ésta toca resolverla por cambio de
variables entonces les voy a explicar
qué es lo que tiene que ver y observar
uno en una ecuación para saber que hay
que utilizar este método no vamos a ver
en este curso varios vídeos de cambio de
variable con varios métodos diferentes o
varias situaciones diferentes no en este
caso como reconozco yo que esta ecuación
se resuelve por cambio de variable pues
muy sencillo porque miren que hay
solamente dos números que tienen el
exponente x c
puede tener equis o x1 x2 como reconozco
yo que este es por cambio de variable
porque miren que este exponente es el
cuadrado de este sí entonces muchas
veces vamos a encontrar estos 2 elevado
la equis y el cuadrado de 2 que es 4
elevado de la equis o por ejemplo
podemos encontrar 3 elevado a la equis y
por otra parte 9 elevado a la equis sí
que es el cuadrado o 4 elevado a la
equis y 16 elevado a la equis o así
sucesivamente lo último ejemplo 5
elevado a la equis y 25 elevado a la
equis si ustedes encuentran una suma o
resta entre expresiones que tengan estas
dos ya mejor dicho ya es casi infalible
que ya se sabe que toca utilizar el
cambio de variable bueno ya habiendo
aclarado esto que era una de las cosas
más importantes del vídeo ahora sí vamos
a resolverla no entonces miren que estas
dos expresiones ya se sabe que 4 es 2 al
cuadrado entonces lo primero que hay que
hacer es ese cambio christos entonces
aquí voy a hacer ese cambio aparte por
explicarles todos detenidamente sí pero
uno ya después se acostumbrará a saltar
esto que voy a hacer aquí no voy a
copiar aquí 4 elevado a la x simplemente
para explicarles que hay que hacer ya
sabemos que 4 es igual a 2 elevado al
cuadrado entonces voy a hacer este
cambio en lugar de 4 voy a escribir 2 al
cuadrado pero ese 4 estaba elevado a la
equis o sea este 2 al cuadrado va a
quedar elevado también a la equis si
acordémonos de las propiedades de la
potenciación acordémonos que cuando un
exponente tiene el perdón cuando una
base tiene dos exponentes pues esos
exponentes se multiplica sí o sea va a
quedar 2 por equis pero también les
quiero aclarar algo como estos dos
exponentes se van a multiplicar pues es
lo mismo si está así o si está con los
exponentes cambiados o sea primero el
exponente equis y luego el exponente 2
estas dos expresiones son exactamente la
misma así por qué pues porque
simplemente aquí si resolvemos voy a
hacerlo con azul si resolvemos esto pues
aquí nos quedaría 2 elevado y se
multiplican los exponentes 2 por equis
eso es 2x o si lo tenemos así pues
tendríamos el 2 y se multiplican los
exponentes x por 2 pues generalmente no
se escribe x por 2 si no se escribe 2x
también se puede escribir x por 2 pero
pues es lo mismo entonces miren que esto
es exactamente lo mismo que esto y esto
es lo que vamos a copiar porque porque
lo que nos interesa es que diga 2
elevado a la equis así como lo dice acá
entonces eso es lo primero que voy a
hacer lo 4 elevado a la equis ya ustedes
vuelvo a decirles ya con la práctica
tienen que acostumbrarse que pues esto
se puede escribir como 2 elevado a la
equis al cuadrado porque pues por todo
esto que dice aquí no sí quieren pues
ustedes al comienzo pues hacen todos los
pasos pero aquí les recomiendo que
solamente escriban ya al final no
entonces 4 elevado a la equis eso es 2
elevado a la equis y eso elevado al
cuadrado si esto lo dejo exactamente
igual otra cosita siempre que suceda
esto ya se sabe que al final nos va a
quedar una ecuación cuadrática y
acordémonos que para resolver una
ecuación cuadrática pues toca dejar todo
a un lado de la igualdad y al otro lado
igualado hacer
entonces puede hacer esos dos pasos de
una vez espero no confundirlos aquí nos
quedaría menos todo lo demás igual 4 por
2 elevado a la equis y este 32 lo
pasamos para el otro lado estaba sumando
o positivo pasa a restar menos 32 y eso
queda igualado a cero ahora sí vamos a
hacer el cambio de variable porque pues
porque tenemos lo que vimos en el vídeo
anterior si que es 2 elevado a la equis
y 12 elevado a la xxi solamente tenemos
la equis como exponente del 2 entonces
hacemos ese cambio que ya ustedes saben
no tenemos que al final volver a revisar
el cambio que hicimos voy a copiar aquí
ese cambio simplemente voy a cambiar 2
elevado a la equis lo voy a cambiar por
una letra la que quiera yo voy a
utilizar la m por ejemplo ya saben que
puede ser cualquier letra y realizamos
ese cambio entonces aquí dice 12 elevado
a la equis eso es
pero ese 12 elevado a la x está elevado
al cuadrado menos 4 x
2 elevado a la equis pero 2 elevado a la
equis es
- 32 igual a 0
miren que aquí ya solamente tengo la
letra m aquí ya no puede quedar la letra
x y si no fue porque hicimos mal el
cambio de variable para que se hizo todo
esto pues para encontrar esta ecuación
cuadrática que bueno ya espero que
ustedes la sepan resolver no en el vídeo
anterior la resolvimos por factorización
a mí me parece muy fácil ese método si
ustedes quieren la resuelven por la
fórmula general no esa que es menos b
más o menos raíz cuadrada debe al
cuadrado menos 4 ac y todo dividido
entre 2 a esto no me gusta utilizarlo a
mí en estas ecuaciones porque son muy
sencillas otra cosita pues en mis viejos
me gusta es simplemente darles
recomendaciones porque pues obviamente
ustedes no van a tener esta ecuación
sino van a tener otra similar entonces
como saben ustedes o sea como saben
ustedes que es mejor factorizar porque
la letra que está al cuadrado está
solita miren que no tienen ningún número
en este caso pues es más fácil la
factorización cuando la letra que tenga
al cuadrado esté acompañada de algún
número pues es más fácil
la fórmula general entonces en este caso
yo lo voy a resolver factor izando
también se puede por la fórmula general
pero yo lo voy a resolver factorizar
entonces factor hizo rápidamente pues
por eso utilizo la factorización porque
en este caso es muy sencillo dos
paréntesis aquí de una vez escribe igual
a 20 la raíz cuadrada de mí al cuadrado
es m eso en los dos paréntesis este
signo va en el primer paréntesis y la
multiplicación de los dos signos en el
segundo menos x menos eso es más y que
buscamos dos números que multiplicados
en este número de aquí y como los signos
son diferentes que resta 2 en el número
de acá cuáles son esos dos números en
este caso sería el 8 y el 4 8 por 4 32 5
8 y 4 siempre en el primer paréntesis 6
coloca el número mayor y en el segundo
el menor si colocamos el 8 y el 4 el 8
en el primero el 4 en el segundo
revisamos miramos a ver si sí menos 8
por 4 menos por mazda menos y 8 por 4 32
y menos 84 eso es menos 4 entonces esto
está correcto ahora tenemos las dos
soluciones 1
sería el primer paréntesis y otra que
sería el segundo paréntesis entonces voy
a colocar aquí solución número uno
entonces primer paréntesis
y lo copiamos exactamente igual m 8 y
eso lo tenemos que igualar a 0 aquí
despejamos entonces nos queda que la m
es igual el 8 que está restando pasa a
sumar 0 más 8 que eso es 8 esta es la
primera respuesta segunda respuesta el
segundo paréntesis m 4 eso también queda
igualado a 0 el 4 que está sumando pasa
al otro lado a restar 0 menos cuatro que
eso es menos 4 entonces aquí tenemos
nuestras dos respuestas pero cuidado no
acordémonos que al final aquí dice es la
m es igual acordémonos que para resolver
esta ecuación
hay que encontrar es el valor de la x
entonces qué es lo que tenemos que hacer
volver al reemplazo que hicimos no esto
tenemos un acordes que aquí es donde
termina el ejercicio entonces voy a
escribir el resumen entonces voy a hacer
el reemplazo para encontrar el valor de
la equis en donde se hace pues acá no
aquí es donde tenemos que terminar lo
reemplazamos que los dos valores de line
entonces primer respuesta
reemplazando la m con el primer valor
con el número 8 entonces copio todo
igual 2 elevado a la equis es igual a la
m que vale 8 ya de aquí para abajo ya
espero que lo sepan resolver rápidamente
aquí 2 elevado a la equis es igual a 2
elevado al cubo si ya como tenemos bases
iguales entonces podemos igualar los
exponentes el primer exponente que es la
equis es igual al segundo exponente que
es el 3 y aquí ya tenemos ahora si
nuestra primera solución ya sabemos el
valor de la equis que era lo que
teníamos que encontrar segunda respuesta
pues con la segunda m
entonces copio todo igual no aquí
nuevamente 2 elevado a la equis es igual
a la m que vale menos 4 y en este caso
simplemente aquí podemos escribir que no
hay solución
entonces no hay solución en los números
reales porque pues porque simplemente
cuando elevemos 2 elevado a cualquier
número nunca me va a dar negativo si
siempre que aquiles que de este número
negativo ya saben ustedes que en este
caso aquí no hay solución que quiere
decir esto que esta ecuación no tiene
dos respuestas sino solamente una
entonces la respuesta es que la equis
vale 3 y ahora ya como sabemos que la
equis vale 3 pues entonces vamos a
comprobar sí sí está correcta esta
solución ya de aquí para adelante no es
obligatorio hacerlo sí pero pues es
mejor no es una recomendación que
hagamos la verificación para ver si nos
quedó bien ya sabemos que la única
respuesta era que la equis valía 3
entonces la cambiamos y esto se hace
rápidamente no aquí sería 4 al cubo
menos 4 por 2 al cubo eso nos tiene que
dar igual a 32 resolvemos este 4 al cubo
siempre primero se resuelven las
potencias no 4 al cubo 4 por 4 16 y por
4 64 menos 4
primero la potencia 2 al cubo 2 por 2 4
por 2 8 y eso es igual a 32 luego
seguimos haciendo las multiplicaciones
entonces primero la multiplicación 64 es
menos 8 por 4 32 tiene que ser igual a
32 64 menos 32 efectivamente es 32 igual
a 32 con esto ya queda verificado que la
solución si es que la equis debe valer 3
ya con esto termino mi explicación como
siempre por último les voy a dejar un
ejercicio para que ustedes practiquen ya
saben que pueden pausar el vídeo ustedes
van a resolver esta ecuación que como
les dije al comienzo del vídeo miren que
ya se sabe viéndola nada más ya se sabe
que se resuelve por cambio de variable
por lo que les dije al comienzo del
vídeo pero bueno ustedes van a resolver
esta ecuación y la respuesta va a
aparecer en 32 espera un momento si
llegaste hasta esta parte del vídeo
supongo que fue porque te gustó te
sirvió porque aprendiste algo nuevo
porque el profesor explica muy bien
bueno por alguna de estas razón
y si es así te invito a que apoyes mi
canal suscribiéndote y dándole like al
vídeo
hallaba agua like
bueno ahora sí te dejo para que observes
la respuesta aquí ya lo resolví un poco
más organizado como para que vean cómo
deben resolver ustedes no por este lado
la solución de la ecuación
entonces ya saben ustedes no 9 estrés al
cuadrado entonces aquí nos quedaría 3 al
cuadrado eso elevado a la equis pero
pues simplemente intercambiamos estos
dos dedos menos queda 3 elevado a la
equis al cuadrado menos y esto queda
igual el cambio cuál fue pues cambiar
ese 13 elevado a la de x que está en los
23 elevado a la de x lo cambie en este
caso por la letra o ya saben ustedes que
pues la letra no importa no lo
importante es que la cambiamos pues por
una letra entonces queda el cambio y al
cuadrado menos 10 y más 9 igual a 0
factor izamos como la 1 tiene
coeficientes pues es mejor factor izando
entonces aquí quedaría la raíz cuadrada
de eeuu que es igual al cuadrado que es
u este signo en el primer paréntesis y
la multiplicación de los dos signos en
el segundo menos por más es
qué buscamos dos números que
multiplicados de 9 y como los signos son
iguales entonces que sumados den 10 en
este caso es el 9 y el 1 porque menos 9
por menos 1 eso es 9 positivo menos por
menos da más y 9 por 19 y menos 9 menos
1 eso es menos 10 las dos respuestas
primer paréntesis menos 9 igual a 0 el 9
pasa a sumar y nos queda igual a 9
segunda respuesta el segundo paréntesis
menos 1 igual a 0 el 1 que está restando
pasada sumar y ya que tenemos los dos
valores de la uv entonces ahora si
volvemos aquí al comienzo y al reemplazo
porque tenemos que encontrar el valor de
la equis no no de la uv cuidado con eso
el primer valor de la u9 reemplazamos
primer valor 3 elevado a la equis es
igual a 99 estrés al cuadrado y como ya
tenemos bases iguales entonces los
exponentes son iguales x igualados
primera respuesta segunda respuesta con
el número 13 elevado a la equis es igual
a 1 el 1 que es clave ya les dije en uno
de los vídeos anteriores el 1 se puede
escribir como cualquier número elevado
3 a la x es igual a 3 a la 0 como las
bases son iguales entonces los
exponentes son iguales y ya tenemos
nuestra segunda respuesta
bueno amigos espero que les haya gustado
la clase si les gusto los invito a que
vean el curso completo para que
profundicen un poco más sobre este tema
o algunos vídeos recomendados y si están
aquí por alguna tarea o evaluación
espero que les vaya muy bien los invito
a que se suscriban comenten compartan y
le den laical vídeo y no siendo más bye
bye
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