0625 Técnicas de conteo: ordenaciones sin repetición
Summary
TLDREl guion trata sobre el cálculo de permutaciones sin repetición de objetos en una muestra. Se explica que en la primera extracción hay 'n' posibilidades y disminuyen en 'n-1' para la siguiente, hasta llegar a 'n-k+1' para la última. La fórmula para calcular el número de muestras distintas es n factorial dividido por (n-k) factorial, donde 'k' es el número de extracciones y 'n' el total de objetos. Se ilustra con ejemplos de carreras, donde se calculan las formas de asignar los tres primeros lugares y todas las formas posibles de que los corredores lleguen a la meta.
Takeaways
- 🎱 Se describe un problema donde se tienen n objetos distinguibles en una urna y se realizan k extracciones sin reemplazo.
- 🔢 La cantidad de muestras distintas que se pueden obtener se calcula como n factorial dividido por (n - k) factorial.
- 📐 Se menciona que k debe ser menor o igual a n, lo que indica el número de extracciones es menor o igual al total de objetos.
- 📝 La fórmula para calcular el número de muestras sin repetición es: n! / (n - k)!
- 🏅 Se destaca un caso particular cuando k es igual a n, donde se obtienen todas las permutaciones posibles, que se denotan como n!.
- 👥 Se da un ejemplo práctico con una carrera de cinco corredores y se pregunta por las formas de obtener los tres primeros lugares.
- 🏁 Se calcula que para los tres primeros lugares, hay 60 formas distintas de clasificación.
- 🏃♂️ Se plantea otra pregunta sobre las formas en que los cinco corredores pueden llegar a la meta, resultando en 120 formas distintas.
- 🌐 Se explica que las ordenaciones sin repetición toman en cuenta el orden en que se seleccionan los objetos.
- 🔄 La palabra 'ordenación' hace referencia a que la selección de los objetos se realiza de manera secuencial y ordenada.
Q & A
¿Qué es una urna con bolas distinguibles?
-Una urna con bolas distinguibles es una urna que contiene un número de objetos identificables, como por ejemplo, bolas numeradas o de colores diferentes.
¿Qué sucede cuando se extrae una bola de la urna y no se devuelve?
-Cuando se extrae una bola de la urna y no se devuelve, se está realizando una extracción sin reemplazo, lo que significa que cada bola solo puede ser elegida una vez.
¿Cuál es la fórmula para calcular el número de muestras distintas que se pueden obtener al extraer k veces de una urna con n bolas?
-La fórmula para calcular el número de muestras distintas es el cociente entre n factorial y (n - k) factorial, que se denota como el número de ordenaciones sin repetición de n objetos en muestras de tamaño k.
¿Qué es un factorial?
-Un factorial de un número n, denotado como n!, es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n.
¿Cuál es la diferencia entre ordenaciones y permutaciones?
-Las ordenaciones son una secuencia de selección de objetos donde el orden importa, mientras que las permutaciones son una安排 de objetos donde el orden es importante y no se pueden repetir los elementos.
¿Cuántas formas distintas se pueden obtener al ordenar n objetos sin repetición?
-Se pueden obtener n factorial formas distintas al ordenar n objetos sin repetición.
¿Qué sucede si k es igual a n en el proceso de extracción de la urna?
-Si k es igual a n, se están realizando n extracciones y se seleccionan todas las bolas de la urna, lo que se conoce como una muestra exhaustiva.
¿Cuál es la relación entre el número de corredores en una carrera y el número de formas en que pueden clasificarse?
-Si hay cinco corredores en una carrera y se quieren clasificar los tres primeros lugares, la relación se basa en el número de permutaciones de 5 objetos tomados 3 a la vez, que es 5! / (5 - 3)!.
¿Cómo se calcula el número de formas en que los corredores pueden llegar a la meta si todos son distintos?
-Para calcular el número de formas en que los corredores pueden llegar a la meta de forma distinta, se utiliza la fórmula de permutaciones de n objetos, que es n factorial.
¿Cuál es el resultado de calcular 5 factorial?
-El resultado de calcular 5 factorial (5!) es 5 * 4 * 3 * 2 * 1, que es igual a 120.
Outlines
🎱 Ordenaciones sin repetición
El primer párrafo aborda el concepto de ordenaciones sin repetición de objetos en una muestra. Se describe un escenario donde se extraen objetos de una urna sin reemplazarlos, y se pregunta cuántas muestras distintas se pueden obtener. Se explica que la cantidad de muestras distintas que se pueden obtener es igual a la combinación de n objetos tomados k a la vez, que se denota como n! / (n - k)!, donde n es el total de objetos y k es el número de extracciones. Además, se menciona que cuando k es igual a n, se habla de una permutación de n objetos, que es el número total de formas en que se pueden ordenar los objetos.
🏁 Aplicación de ordenaciones sin repetición en una carrera
El segundo párrafo utiliza un ejemplo práctico para ilustrar el concepto de ordenaciones sin repetición. Se plantea una situación en la que hay cinco corredores en una carrera y se pregunta cuántas formas distintas pueden ser los tres primeros lugares. Se calcula que hay 5! / (5 - 3)! formas distintas para los tres primeros lugares. También se plantea la pregunta de cuántas formas distintas pueden terminar la carrera los cinco corredores, y se explica que esto sería una permutación de 5 objetos, es decir, 5!, lo que resulta en 120 formas distintas.
Mindmap
Keywords
💡urna
💡bolas distinguibles
💡extracción al azar
💡k extracciones
💡posibilidades
💡factorial
💡ordenaciones sin repetición
💡permutaciones
💡muestras de tamaño k
💡correlación
💡ejemplo práctico
Highlights
Se describe un experimento de selección de objetos de una urna sin reemplazo.
Los objetos de la urna son distinguibles, como estar numerados o de colores diferentes.
Se realiza un proceso de extracción de k veces, donde k es menor o igual a n (número total de objetos).
La cantidad de muestras distintas que se pueden obtener es un tema central de la explicación.
Para la primera extracción, hay n posibilidades; para la segunda, n-1, y así sucesivamente.
La fórmula para calcular el número de muestras distintas es n factorial dividido por (n - k) factorial.
Esta cantidad se denomina 'ordenaciones sin repetición de n objetos en muestras de tamaño k'.
Las ordenaciones sin repetición se representan con el símbolo 'P(n, k)'.
La palabra 'ordenación' implica que la muestra se realiza con un orden específico.
Cuando k es igual a n, las ordenaciones son exhaustives y se llaman permutaciones.
Las permutaciones de n objetos se denotan como 'n factorial'.
Se da un ejemplo de ordenaciones en una carrera de cinco corredores.
Se calcula el número de formas en que se pueden registrar los tres primeros lugares de la carrera.
Se explica que el número de formas en que los cinco corredores pueden llegar a la meta es 5 factorial.
Se concluye que el concepto de ordenaciones sin repetición es fundamental en la combinatoria.
Transcripts
consideremos nuevamente que tenemos la
siguiente situación tenemos una urna con
n bolas o objetos distinguibles esto
quiere decir por ejemplo que las bolas
están numeradas o que son de colores
diferentes supongamos que se extrae o
Escoge una bola al azar se registra su
número y ya no se regresa a la urna
supongamos que se repite este
procedimiento k k veces en donde K es
menor o igual a
n tenemos entonces aquí las k
extracciones y la pregunta que nos
hacemos aquí es la
siguiente Cuántas muestras distintas
de estas
características se pueden obtener
La respuesta es entonces la
siguiente para la primera extracción
tenemos n posibilidades cualquiera de
las n bolas puede aparecer para la
segunda extracción únicamente tenemos n
- 1
posibilidades para la tercera extracción
n -2
etcétera hasta la cima
extracción para la cual
tenemos n - k + 1 posibilidades de tal
forma que aquí
hay K
factores esto se puede expresar como el
cociente entre n
factorial y n - k factorial
a esta cantidad se le llama
ordenaciones sin
repetición de n objetos
en muestras de tamaño
k en donde K es un valor entero entre 1
y n
y a estas ordenaciones sin repetición se
le denota a veces por este símbolo o de
ordenaciones de n objetos tomados de K
en K entonces hemos visto que esto es
igual
a n
factorial entre n - k
factorial en donde nuevamente observamos
que la palabra ordenación
hace referencia a que la muestra de
tamaño K se efectúa con orden es decir
un objeto se Escoge seguido de otro
hasta obtener K
objetos tenemos un caso interesante aquí
que es
cuando K es igual a
n Entonces tenemos que las ordenaciones
de n en
N es igual entonces a n por n - 1
etcétera por 2 *
1 en este caso la muestra es exhaustiva
Es decir se seleccionan todas las bolas
de tal forma que la respuesta a la
pregunta planteada es en este caso n
factorial estos son los distintos
órdenes en que se pueden colocar n
objetos y se le llama entonces así
permutación Dn
objetos vamos a ver un ejemplo de este
tipo de ordenaciones
tenemos entonces que en una carrera
participan cinco corredores y nos
preguntamos de Cuántas formas distintas
pueden registrarse los tres primeros
lugares de la
carrera y La respuesta es la
siguiente para el primer lugar
tenemos cco posibilidades cualquiera de
los cinco
corredores para el segundo lugar ahora
tenemos cuatro
posibilidades y para el tercer lugar
tres posibilidades de tal forma que esto
es 5
factorial entre 2
factorial y esto es igual a
60 también podemos preguntarnos lo
siguiente
de Cuántas formas distintas pueden
llegar los cinco corredores a la
meta La respuesta es
entonces la
siguiente se trata entonces de encontrar
todos los posibles órdenes en que pueden
llegar los corredores La respuesta es
entonces 5 factorial
esto es 5 * 4 * 3 * 2 * 1 y esto Resulta
ser igual a
120 con esto concluimos Esta pequeña
sección sobre ordenaciones sin
repetición
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