72. Ecuación vectorial, paramétricas y simétricas de una recta en el espacio R^3
Summary
TLDREn este vídeo educativo, se explica cómo calcular la ecuación vectorial de una línea tridimensional que pasa por un punto específico y tiene una dirección dada. Seguidamente, se exploran las ecuaciones paramétricas y simétricas de la línea. Además, se muestra cómo obtener puntos adicionales sobre la línea y vectores paralelos utilizando la ecuación vectorial. El vídeo concluye con un desafío para los espectadores de resolver un ejercicio relacionado con la recta en el plano cartesiano, utilizando los conceptos aprendidos.
Takeaways
- 📘 En el vídeo se explica cómo calcular la ecuación vectorial de una línea en tres dimensiones.
- 🔢 Se utiliza la fórmula \( \vec{R} = \vec{P} + t\vec{U} \), donde \( \vec{P} \) es el vector de posición de un punto en la línea y \( \vec{U} \) es el vector director.
- 📍 Se ejemplifica con un punto específico (2, 2, -1) y un vector director (2, -1, -4) para encontrar la ecuación vectorial.
- 📐 Se discuten las ecuaciones paramétricas de la línea, que son útiles para representar los puntos en la línea en función de una variable t.
- 🔄 Se menciona la posibilidad de obtener múltiples ecuaciones vectoriales equivalentes cambiando el punto y/o el vector director.
- 📏 Se introducen las ecuaciones simétricas de la línea, que relacionan las coordenadas de un punto con las componentes del vector director.
- 🔍 Se explica cómo obtener puntos adicionales en la línea cambiando el valor de la variable t en la ecuación vectorial.
- 🔄 Se demuestra que cualquier escalar múltiplo del vector director da como resultado otro vector paralelo y, por ende, en la misma línea.
- 📝 Se invita a los espectadores a resolver un ejercicio práctico para aplicar los conceptos aprendidos sobre líneas en el plano cartesiano.
- 👍 Se anima a la participación activa de los espectadores con el canal, incluyendo dar like, suscribirse y compartir los videos.
Q & A
¿Cuál es la ecuación vectorial de una recta en el espacio tridimensional?
-La ecuación vectorial de una recta en el espacio tridimensional se puede expresar como P = P0 + tv, donde P es el vector de posición de un punto en la recta, P0 es el punto a través del cual pasa la recta, v es el vector director de la recta, y t es un parámetro real.
¿Cómo se calcula el vector director de una recta si se conoce un punto y la dirección del vector?
-El vector director de una recta se calcula a partir de la dirección que se le asigna. Si se conoce un punto de la recta y la dirección del vector, el vector director se obtiene directamente de la información proporcionada sin necesidad de un cálculo adicional.
¿Qué son las ecuaciones paramétricas de una recta?
-Las ecuaciones paramétricas de una recta son un conjunto de tres ecuaciones que relacionan las coordenadas x, y, z de un punto en la recta con un parámetro t común, expresado como x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, donde (x0, y0, z0) son las coordenadas de un punto en la recta y (a, b, c) son las componentes del vector director.
¿Cómo se obtienen las ecuaciones simétricas de una recta a partir de las paramétricas?
-Las ecuaciones simétricas se obtienen despejando el parámetro t de las ecuaciones paramétricas. Se establecen relaciones entre las fracciones formadas por las coordenadas del punto menos las coordenadas del punto a través del cual pasa la recta, dividido por las componentes del vector director.
¿Qué es el parámetro en las ecuaciones paramétricas y qué representa?
-El parámetro en las ecuaciones paramétricas es una variable, generalmente denotada por t, que toma valores reales y que se utiliza para expresar las coordenadas de los puntos en la recta. Representa el desplazamiento a lo largo de la recta desde un punto fijo.
¿Cómo se utiliza la ecuación vectorial para obtener puntos en la recta?
-Para obtener puntos en la recta utilizando la ecuación vectorial, se asigna un valor a la variable t y se calcula el vector de posición resultante. Cada valor de t proporciona las coordenadas de un punto único en la recta.
¿Qué es un vector paralelo y cómo se relaciona con la recta?
-Un vector paralelo es un vector que tiene la misma dirección que otra recta o vector. En el contexto de una recta, cualquier vector que sea múltiplo escalar del vector director de la recta es paralelo a ella y describe la misma dirección.
¿Cómo se determina si dos ecuaciones vectoriales de rectas son equivalentes?
-Dos ecuaciones vectoriales de rectas son equivalentes si describen la misma recta en el espacio tridimensional. Esto se puede verificar si tienen el mismo punto a través del cual pasa la recta y un vector director paralelo.
¿Qué utilidad tienen las ecuaciones simétricas en el estudio de rectas?
-Las ecuaciones simétricas son útiles para encontrar la intersección de una recta con un plano, para resolver problemas de incidencia de rectas y para simplificar cálculos en problemas geométricos en el espacio tridimensional.
Si se dan dos puntos en el plano cartesiano, ¿cómo se determina la recta que los une?
-Para determinar la recta que une dos puntos en el plano cartesiano, se calcula el vector que une los puntos y se utiliza como vector director. Luego, se utiliza uno de los puntos como punto a través del cual pasa la recta y se aplica la fórmula de la ecuación vectorial de la recta.
Outlines
📘 Introducción a las ecuaciones vectoriales de rectas
Este primer párrafo presenta el objetivo del vídeo, que es calcular la ecuación vectorial de una recta en el espacio tridimensional. Se menciona que la recta pasa por el punto (2, 2, -1) y tiene dirección dada por el vector (2, -1, 4). Además, se anticipa que se explorarán las ecuaciones paramétricas y simétricas de una recta. Se utiliza una fórmula previamente explicada en otro vídeo para encontrar la ecuación vectorial, donde se introducen los conceptos de vector de posición (P) y vector director (V). Se resalta la importancia de la variable t, que toma valores reales y define los puntos sobre la recta.
📐 Explorando las ecuaciones paramétricas y simétricas
En el segundo párrafo, se explica cómo se derivan las ecuaciones paramétricas de la recta a partir de la ecuación vectorial. Se describe el proceso de descomponer la ecuación vectorial en sus componentes x, y, z, y cómo se relacionan con el parámetro t. Se introducen las ecuaciones paramétricas como un conjunto de tres ecuaciones con una variable común (t). Posteriormente, se despejan las ecuaciones para obtener la variable t en términos de x, y, z, lo que lleva a las ecuaciones simétricas de la recta. Estas últimas son útiles para expresar la recta en un formato que relaciona directamente las coordenadas del punto con las componentes del vector director.
🔍 Utilidad de las ecuaciones vectoriales y paramétricas
El tercer párrafo se centra en la aplicación práctica de las ecuaciones vectoriales y paramétricas. Se muestra cómo, al sustituir diferentes valores en el parámetro t, se pueden obtener puntos adicionales sobre la recta, lo que es útil para comprender mejor la trayectoria de la recta en el espacio. Además, se discute cómo se pueden encontrar vectores paralelos a través de la multiplicación escalar del vector director, lo que demuestra la infinitud de vectores que pueden representar la dirección de una misma recta. Se sugiere que estas herramientas matemáticas son esenciales para resolver problemas más complejos relacionados con rectas en el futuro.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación vectorial
💡Punto
💡Vector de dirección
💡Ecuaciones paramétricas
💡Parámetro
💡Ecuaciones simétricas
💡Vector de posición
💡Recta en el espacio tridimensional
💡Vector paralelo
💡Ecuación ordinaria
Highlights
Se calcula la ecuación vectorial de una recta en tres dimensiones.
Se utiliza la fórmula del vector de posición P y el vector de dirección U para encontrar la ecuación vectorial.
Se explica cómo interpretar el punto dado como un vector para la ecuación.
Se describe el proceso de encontrar la ecuación vectorial a partir de la fórmula y los valores dados.
Se introducen las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio tridimensional.
Se multiplica el vector de dirección por una variable escalar para obtener las componentes paramétricas.
Se suman vectores componentes a componentes para obtener la ecuación paramétrica completa.
Se establece la relación entre las componentes de los vectores y la variable paramétrica.
Se despejan las ecuaciones paramétricas para encontrar las ecuaciones simétricas de la recta.
Se explica cómo las ecuaciones simétricas se relacionan con las componentes del vector de dirección y el punto sobre la recta.
Se discuten las utilidades de las ecuaciones paramétricas y simétricas en problemas más complejos.
Se muestra cómo obtener puntos sobre la recta utilizando la ecuación vectorial y valores específicos de la variable paramétrica.
Se calculan vectores paralelos a través de la multiplicación escalar del vector de dirección.
Se demuestra que diferentes vectores de dirección pueden dar lugar a ecuaciones vectoriales equivalentes de la recta.
Se sugiere cómo resolver ejercicios donde se pide encontrar ecuaciones de rectas a partir de puntos dados.
Se invita a los espectadores a intentar resolver un ejercicio práctico sobre rectas en el plano cartesiano.
Se ofrece una sugerencia para encontrar la dirección de una recta dada dos puntos sobre ella.
Se anima a los espectadores a dejar comentarios con preguntas o sugerencias.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a calcular la
ecuación vectorial de la recta que pasa
por el punto 2,2 coma menos uno y que
tiene la dirección del vector dos coma
menos 1,4 además de esto vamos a hablar
también acerca de las ecuaciones
paramétricas y simétricas de una recta
en el espacio tridimensional
vamos a empezar encontrando la ecuación
vectorial que nos pide aquí el problema
y para eso vamos a utilizar la fórmula
que dedujimos en un vídeo anterior ya en
un vídeo anterior explique cómo es que
se calcula la ecuación vectorial de una
recta en el espacio de tres dimensiones
si no han visto ese vídeo los invito a
que lo vean
básicamente está de aquí es la fórmula
dónde P es el vector de posición de un
punto que se encuentre sobre la recta en
este caso el punto que se encuentra
sobre la recta es este de aquí 2,2 menos
1 que vamos a interpretar como un vector
así que vamos a llamarle Víctor P
y
UBS un vector que se encuentre en la
dirección de la recta en este caso nos
dice que la recta tiene la dirección del
vector dos coma menos 1,4 así que este
va a ser V
entonces simplemente usamos esta fórmula
sustituimos PIB y obtenemos entonces la
ecuación vectorial de la recta que es
estaré aquí en esta ecuación de la recta
late es simplemente una variable es la
que va adquiriendo diferentes valores y
para cada número real que adquiere nos
da las coordenadas de un punto sobre la
recta y ese punto bueno pues en general
lo llamamos R entonces está de aquí es
la ecuación vectorial de la recta hay
otras ecuaciones de la recta en el
espacio tridimensional que son muy
interesantes y que vamos a ver a
continuación vamos a calcular primero
las que se llaman ecuaciones
paramétricas de la recta para esto en
lugar de escribir R vamos a escribir sus
componentes que van a ser pues variables
x
ahí vender aquí que la R es el vector de
posición de un punto cualquiera sobre la
recta la recta tiene una infinidad de
puntos así que si tomamos un punto
cualquiera sus componentes las tenemos
que representar como variables por eso
ponemos aquí xy&z entonces ahora vamos a
hacer las operaciones que aparecen aquí
del lado derecho late es un escalar es
un número real entonces empezamos
multiplicando este vector de aquí porte
recordemos que para multiplicar un
vector por un escalar simplemente cada
componente del vector se multiplica por
el escalar así que multiplicamos y queda
2 por 12 menos 1 por ti menos CI4 por
T4T ahora tenemos aquí una suma de
vectores la suma de vectores se realiza
componente a componente así que sumamos
2 + 12 y esa es la primer componente del
vector luego
1:47 es la segunda componente del vector
y luego menos 1 + 4 t es la tercer
componente del vector ahora tenemos aquí
una igualdad entre vectores tenemos el
vector XTZ qué es igual a este vector de
aquí entonces una igualdad entre
vectores se cumple solamente si las
componentes correspondientes son iguales
así que la X tiene que ser igual a 2 más
12 g tiene que ser igual a 2 menos C y Z
tiene que ser igual a menos 1 + 4 t
entonces ahora tenemos aquí un conjunto
de tres ecuaciones con las variables X Y
Z y fíjense que estas tres variables
dependen de una variable en común qué es
la T
a esa variable en común se le llama
parámetro y a este conjunto de
ecuaciones se le conoce como ecuaciones
paramétricas de la recta bueno hay otras
ecuaciones de la recta que podemos
obtener a partir de estas tres si
nosotros despejamos te dé la primera
ecuación bueno primero este dos que está
sumando lo pasamos restando nos queda x
menos 2 igual a 12 ahora el 2 que está
multiplicando pasa dividiendo nos queda
que X menos 2 sobre 2 = CTE si volteamos
la ecuación lo escribimos como t = x
menos 2 sobre 2 ahora despejamos de de
la segunda ecuación y obtenemos que te
es igual ayer menos 2 sobre menos 1
bueno aquí podríamos hacer esta división
pero voy a dejar la de esta forma en un
momento voy a explicar por qué bueno y
ahora despejamos te dé la tercera
ecuación y entonces tenemos que te cuál
acepta más 1 sobre 4 entonces fíjense
que tenemos tres expresiones para el
mismo parámetro t esto es solo posible
si esa expresión = está de aquí y = está
de aquí si igualamos esas tres cosas nos
queda esto de aquí
entonces esa expresión debe
interpretarse como 3 igualdades estamos
diciendo que está fracción es igual a
esta también está fracción es igual a
esta de aquí y estas dos fracciones
también son iguales entonces en realidad
es como si hubiera 13 cuestiones
expresadas en una sola línea a este
conjunto de ecuaciones se le conoce como
ecuaciones simétricas de la recta ahora
fíjense aquí que los denominadores de
las fracciones
son las componentes del vector de
dirección 2 - 1 y 4
y que los números que acompañan aquí
arriba a X Jay Z son las coordenadas del
punto que sabemos que se encuentra sobre
la recta pero con signo contrario o sea
el 2 lo ponemos como menos 2 aquí junto
a la equis este otro dos como menos 2
aquí junto de ayer y este menos uno lo
ponemos como más uno aquí junto a la
seta de esa forma podríamos obtener las
ecuaciones simétricas directamente sin
necesidad de tener que hacer todo este
procedimiento más adelante vamos a ver
cuál es la utilidad tanto de las
ecuaciones paramétricas como de las
ecuaciones simétricas de la recta ahora
vamos a ver qué podemos hacer con la
ecuación vectorial de la recta para qué
sirve bueno como les mencionaba hace un
momento la R es el vector de posición de
un punto cualquiera sobre la recta y con
esta expresión podemos obtener puntos
sobre la recta para cada valor que
nosotros le demos a ti
entonces por ejemplo si nosotros hacemos
que te sea igual a 2 al sustituir aquí
nos quedaría que R =
22 menos 1 + 2 que multiplica a dos
menos 14 si hacemos todas estas
operaciones
primero multiplicamos aquí este vector
por 2 se multiplica cada componente por
dos entonces queda 4 menos 2 y menos 8
ahora hacemos la suma de vectores 2 + 4
queda 62 menos os queda 0 y menos 1
menos 8 queda menos 9 entonces obtenemos
que erre 6,0 menos 9 es decir hemos
obtenido las coordenadas de otro punto
sobre la recta hasta este momento
solamente conocíamos este punto el 2,2
coma menos uno ahora encontramos otro
punto y si nosotros sustituimos
cualquier otro valor de te podemos
obtener otro punto sobre la recta por
ejemplo si te = 3 puedes repitiendo el
mismo proceso ahora sustituimos aquí en
lugar de té el 3 vamos haciendo las
operaciones y obtenemos finalmente que R
es 8 menos 1 menos 13 o sea este es otro
punto sobre la recta
bueno esto nos va a resultar útil en
problemas más complicados que tienen que
ver con rectas y que veremos un poquito
más adelante
también podemos encontrar otros vectores
que se encuentren en la misma dirección
de la recta fíjense que aquí el vector
que teníamos era el dos menos 14 que es
el vector que nos dice la dirección de
la recta pero ese vector no es único de
hecho hay una infinidad de vectores que
se encuentran en la misma dirección de
la recta pero todos esos vectores tienen
algo en común todos esos vectores como
se encuentran en la misma recta son
vectores paralelos entre sí eso ya lo
vimos en un vídeo anterior donde
hablamos de vectores paralelos todos los
vectores paralelos cumplen la condición
de que se encuentran sobre la misma
recta entonces por ejemplo si nosotros
calculamos un vector paralelo al 1:59 4
obtenemos otro vector que va a tener la
misma dirección de la recta entonces por
ejemplo para calcular otro vector en la
dirección de la misma recta bastará con
multiplicar nuestro vector 1:59 cuatro
por algún escalar cualquier recuerden
que al multiplicar un vector por un
escalar lo que obtenemos es otro vector
qué es paralelo al vector original
entonces por ejemplo el vector u que
resulta de multiplicar 3 por el vector B
qué es este de aquí si multiplicamos por
3 pues nos queda 6 menos 3 y 12 cada
componente simplemente se multiplica por
3 y nos queda esto de aquí entonces este
vector es otro vector que tiene la
dirección de la misma recta que habíamos
obtenido aquí anteriormente por lo que
la ecuación de la recta la podemos
expresar de otra manera si utilizamos
por ejemplo este vector en lugar del
vector V podemos expresar también la
ecuación vectorial de la recta de esta
forma fíjense que estamos utilizando el
mismo punto P que es 2 menos 1 pero
ahora en el vector de dirección
colocando este vector 5:57 12 esta
ecuación aunque parezca diferente a la
que habíamos obtenido hace un momento en
realidad es la misma ecuación en cierto
sentido de escribe la misma curva en el
espacio de tres dimensiones o sea
describe la misma recta
entonces todos los puntos que obtenemos
con esta ecuación los podemos obtener
con esta ecuación de aquí y viceversa
por eso las dos ecuaciones son
equivalentes
ahora si por ejemplo en lugar de
utilizar el punto P utilizamos uno de
los puntos que obtuvimos hace un momento
por ejemplo el punto 6,0 menos 9 que
podemos llamar punto Q si utilizamos
este punto en lugar de fe podemos
obtener esta otra ecuación de la recta
aquí estamos colocando ese punto y
estamos colocando el vector V que era
dos menos 14 y esta es otra ecuación
vectorial la recta pero equivalente a
estas dos ecuaciones de aquí eh incluso
podríamos poner este punto Q y el vector
U y seguiría haciendo una ecuación de la
recta equivalente a estas de aquí
entonces como pueden ver hay una
infinidad de ecuaciones vectoriales de
la recta todas ellas equivalentes entre
sí más adelante veremos ejercicios en
los cuales tendremos que determinar si
dos ecuaciones de la recta por ejemplo
está y está de aquí son equivalentes o
no bueno eso ya lo veremos más adelante
ahora los invito a que ustedes intenten
resolver este ejercicio que con lo que
hemos visto hasta este momento en el
curso ya deberían poder hacerlo nos pide
encontrar las ecuaciones vectorial
paramétricas general y ordinaria de la
recta que pasa por el punto P con
coordenadas 1 - 2 IQ con coordenadas 3,4
cómo pueden ver son puntos de dos
coordenadas así que es una recta en el
plano cartesiano por lo que tiene
sentido también preguntarnos cuál es la
pendiente de esta recta y cuáles son sus
intersecciones con los ejes X Y bueno
una sugerencia fíjense que en este caso
nos están dando un punto bueno nos están
dando dos puntos sobre la recta nosotros
necesitamos solamente un punto podemos
tomar por ejemplo este punto P pero para
encontrar la ecuación vectorial
necesitamos también un vector en la
dirección de la recta y ese vector no
nos lo está dando el problema nos está
dando solamente dos puntos nosotros
podemos tener ese vector calculando el
vector que une P y Q si unimos pq
obtenemos un vector que se va a
encontrar sobre la recta así que va a
tener la dirección de la recta y ya
podrán utilizar la fórmula que hemos
estado viendo en este vídeo y en el
anterior a partir de ahí pueden obtener
fácilmente las ecuaciones paramétricas
general y ordinaria como ya vimos en el
vídeo anterior y a partir de la ecuación
ordinaria por ejemplo pueden encontrar
la pendiente encontrar las
intersecciones con los ejes también lo
pueden hacer a partir de la ecuación
ordinaria aunque les mostraré en el
siguiente vídeo cómo hacerlo a partir de
las ecuaciones paramétricas
bueno os invito a que intentes
resolverlo este problema ya que mire en
el siguiente vídeo y si les gustó este
vídeo apoyenme regalándome un like
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vídeos y recuerden que si tienen
cualquier pregunta o sugerencia pueden
dejarla en los comentarios
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