El asombroso Teorema de Pitágoras

Summary

Este video ofrece una introducción al Teorema de Pitágoras, una herramienta matemática fundamental para calcular la hipotenusa en triángulos rectángulos. Explica la vida y obra de Pitágoras, su influencia en la música y la astronomía, y cómo su teorema se aplica en contextos modernos como la construcción y la navegación. Además, presenta un desafío práctico para calcular la longitud de una pared usando un escuadra, y menciona el curso de preparación para el TOEFL en Platzi, destacando su relevancia para estudios y migración internacional.

Takeaways

• 📚 El TOEFL es un examen solicitado para estudiar o trabajar en el extranjero, y Platzi ofrece un descuento para prepararse.
• 🧮 El Teorema de Pitágoras se utiliza para calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si se conocen las longitudes de los catetos.
• 🏗️ El Teorema de Pitágoras fue descubierto por Pitágoras de Samos, un filósofo griego que vivió hace más de 2,500 años, y es fundamental en la matemática.
• 🎵 Los pitagóricos, seguidores de Pitágoras, creían que todo en el universo se podía describir mediante relaciones geométricas y numéricas, y que los números eran la esencia de las cosas terrenales.
• 🎵 También desarrollaron una teoría matemática de la música basada en la relación entre las longitudes de las cuerdas y las notas que producen.
• 🌐 El Teorema de Pitágoras se aplica a triángulos rectángulos, independientemente del tamaño de sus lados o su orientación.
• 📐 El hipoténusa es el lado opuesto al ángulo recto y es el más largo, mientras que los otros dos lados se llaman catetos.
• 🔢 La relación matemática del Teorema de Pitágoras se expresa como a² + b² = c², donde a y b son los catetos y c es el hipoténusa.
• 🕷️ Se ilustra el uso práctico del Teorema de Pitágoras con un ejemplo de Spiderman, que necesita calcular la longitud de su red para salvar un bebé.
• 🏡 El Teorema de Pitágoras se aplica en la construcción y la arquitectura, como en el cálculo de la longitud de techos inclinados en la construcción de casas.
• 🌟 El Teorema de Pitágoras ha sido probado y demostrado por diversas culturas a lo largo de la historia, y es uno de los teoremas con más pruebas diferentes.

Q & A

¿Qué es el TOEFL y por qué es importante mencionarlo en el guion?

El TOEFL es un examen de competencia en inglés que es requerido para estudiar o trabajar en el extranjero. Es importante mencionarlo porque el video ofrece un descuento para prepararse para este examen a través de Platzi.

¿Cómo se relaciona el Teorema de Pitágoras con la medición de una pared que es difícil de escalar?

El Teorema de Pitágoras se relaciona con la medición de una pared porque permite calcular la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) si se conocen los otros dos lados de un triángulo rectángulo, lo que es útil cuando no se puede medir directamente la altura de una pared.

¿Quién fue Pitágoras de Samos y qué aportó a la matemática?

Pitágoras de Samos fue un filósofo griego conocido como el 'primer matemático puro'. Fundó una sociedad matemática y musical conocida como 'los pitagóricos', y aportó el Teorema de Pitágoras, que describe la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

¿Cuál es la definición de un triángulo rectángulo según el guion?

Un triángulo rectángulo es cualquier triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, de 90 grados.

¿Qué es la hipotenusa en un triángulo rectángulo y cómo se relaciona con el Teorema de Pitágoras?

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo y es el lado más largo. Según el Teorema de Pitágoras, la suma de los cuadrados de los otros dos lados (las piernas) es igual al cuadrado de la hipotenusa.

¿Cómo se demuestra algebraicamente el Teorema de Pitágoras utilizando el ejemplo del lazo del Spiderman?

En el ejemplo, se conocen dos lados del triángulo (7 metros y 24 metros) y se busca la hipotenusa. Se aplica el Teorema de Pitágoras (a^2 + b^2 = c^2), donde 7^2 + 24^2 = c^2, resultando en 625, y luego se toma la raíz cuadrada para encontrar que c es 25 metros.

¿Cómo se utiliza el Teorema de Pitágoras para calcular la altura de una pared cuando se conoce la longitud de la escalera y la distancia desde el muro?

Se aplica el Teorema de Pitágoras donde la escalera representa la hipotenusa y la distancia desde el muro representa una de las piernas. Se resuelve la ecuación para encontrar la longitud de la otra pierna, que en este caso es la altura de la pared.

¿Cuál es la importancia de los triples pitagóricos y cómo se relacionan con el Teorema de Pitágoras?

Los triples pitagóricos son conjuntos de tres números enteros que satisfacen el Teorema de Pitágoras (a^2 + b^2 = c^2). Son importantes porque proporcionan ejemplos prácticos de la aplicación del teorema en triángulos rectángulos con lados enteros.

¿En qué áreas se aplica el Teorema de Pitágoras en la vida real?

El Teorema de Pitágoras se aplica en construcción, arquitectura, ingeniería civil, navegación marítima y aérea, y en la creación de modelos 3D para videojuegos y películas.

¿Cuál es la relevancia de los diferentes tipos de pruebas del Teorema de Pitágoras mencionadas en el guion?

La relevancia de las diferentes pruebas del Teorema de Pitágoras es demostrar su validez y universalidad. A lo largo de la historia, diversas culturas y matemáticos han desarrollado pruebas diferentes, lo que demuestra la importancia y el impacto duradero del teorema en la matemática.

Outlines

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📚 Introducción al Teorema de Pitágoras

Este párrafo presenta el Teorema de Pitágoras, una herramienta matemática fundamental para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Se menciona la importancia de este teorema en la historia de la matemática, atribuido a Pitágoras de Samos, quien vivió hace más de 2500 años. Se describe la visión pitagórica de la relación entre números y formas geométricas, y cómo esta relación se extendía a la teoría musical y la armonía de las esferas. Se explica que el teorema se aplica a triángulos rectángulos y se definen los términos 'hipotenusa' y 'codos'. Se ilustra con ejemplos cómo calcular la hipotenusa y los codos utilizando el teorema, y se menciona que este principio es una verdad absoluta en matemáticas.

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🕷 Aplicación práctica del Teorema de Pitágoras

Este párrafo explora la aplicación práctica del Teorema de Pitágoras en situaciones reales, como el cálculo de la altura de un muro utilizando una escalera y la distancia desde su punto de apoyo hasta la base del muro. Se discuten los triples pitagóricos, que son conjuntos de tres números enteros que satisfacen el teorema, y se muestra cómo resolver problemas algebraicos donde se conocen dos lados de un triángulo rectángulo y se busca calcular el tercero. Se utiliza el ejemplo de Spiderman para demostrar cómo calcular la longitud de una cuerda necesaria para salvar a un bebé, y se ofrece un desafío para calcular la longitud de una techumbre en una casa, utilizando el teorema.

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🏗 Utilidad y demostraciones del Teorema de Pitágoras

Este párrafo aborda la utilidad del Teorema de Pitágoras en diversos campos, como la construcción, la ingeniería civil, la navegación y la creación de modelos 3D en videojuegos y películas. Se menciona que, aunque hay muchos triángulos que no son rectángulos, siempre se pueden dividir en dos triángulos rectángulos mediante la construcción de una perpendicular. Además, se destaca la importancia histórica de la demostración del teorema, con múltiples pruebas desarrolladas a lo largo de la historia por personas de diferentes culturas y épocas, incluyendo una aportación de James Abram Garfield, el presidente de los Estados Unidos. Finalmente, se conecta el tema con la oferta de un curso de preparación para el TOEFL en Platzi, destacando los beneficios de aprender inglés y mejorar el rendimiento en el examen para alcanzar metas personales.

Keywords

💡TOEFL

El TOEFL (Test of English as a Foreign Language) es un examen estándarizado que mide el nivel de competencia en inglés de hablantes cuya lengua materna no es el inglés. En el guion, se menciona que es un requisito para aplicar a algunos trabajos, ingresar a universidades extranjeras, solicitar becas y migrar a otros países. El TOEFL es un tema central en el video, ya que se conecta con la oferta de un curso de preparación TOEFL en Platzi.

💡Platzi

Platzi es una plataforma en línea de educación que ofrece cursos en línea. En el guion, se menciona que Platzi tiene un curso de preparación para el TOEFL y se anuncia un descuento del 15% en el examen. Platzi se presenta como una herramienta para aprender inglés y prepararse para el TOEFL, lo que es relevante para quienes buscan estudiar o trabajar en el extranjero.

💡Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es un principio matemático que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadros de los catetos. En el guion, se explica cómo este teorema se utiliza para calcular la altura de un muro o la longitud de una cuerda, lo que demuestra su aplicación práctica en la vida real.

💡Hipotenusa

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo y es el más largo de los tres lados. En el guion, se menciona que el término proviene del griego y se relaciona con la tensión de cuerdas usadas en los cálculos geométricos. El concepto es crucial para entender cómo se aplica el Teorema de Pitágoras.

💡Catetos

Los catetos son los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto. En el guion, se explica que el término 'cateto' se deriva de la palabra que significa 'caer', ya que se usaban líneas perpendiculares para mediciones. Los catetos son esenciales para aplicar el Teorema de Pitágoras.

💡Pitagórico

Pitágoras de Samos, conocido como el 'primer matemático puro', fundó una sociedad matemática y musical conocida como 'los pitagóricos'. En el guion, se menciona que Pitágoras y sus seguidores creían que todo en el universo podía describirse mediante relaciones geométricas y numéricas, lo que da a entender la importancia de su legado en la matemática.

💡Tríplobos pitagórico

Un tríplobos pitagórico es un conjunto de tres enteros que satisfacen el Teorema de Pitágoras. En el guion, se dan ejemplos como 3, 4 y 5, y 6, 8 y 10, que son triples pitagóricos. Estos triples son útiles para entender y aplicar rápidamente el teorema en situaciones donde los lados son números enteros.

💡Geometría

La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las formas, las medidas y las propiedades de los objetos en el espacio. En el guion, la geometría se relaciona con el Teorema de Pitágoras y su aplicación para medir lados y ángulos en triángulos, lo que es fundamental para entender cómo se relacionan las dimensiones de los objetos en el espacio.

💡Matemáticas aplicadas

Las matemáticas aplicadas se refieren a la utilización de las matemáticas en contextos prácticos y reales. En el guion, se muestra cómo el Teorema de Pitágoras se aplica en la construcción, la arquitectura y la ingeniería civil, donde se necesita medir y calcular distancias y alturas de manera precisa.

💡Teoremas

Un teorema es una proposición o afirmación matemática que se ha demostrado ser verdadera. En el guion, se menciona que el Teorema de Pitágoras es un teorema, lo que significa que ha sido demostrado y se aplica universalmente a todos los triángulos rectángulos. Esto subraya la importancia de la lógica y la demostración en la matemática.

Highlights

Platzi ofrece una gran noticia y un descuento para preparar el TOEFL.

Se describe un método para medir la altura de un muro usando un escuadra y la distancia desde el punto de apoyo hasta la base del muro.

El teorema de Pitágoras fue descubierto por Pitágoras de Samos hace más de 2500 años y permite calcular la tercera lado de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos.

Pitágoras formó una sociedad matemática y musical conocida como 'los pitagóricos', quienes vieron la relación entre números y formas en todo el universo.

Los pitagóricos desarrollaron una teoría matemática de la música basada en la relación entre longitudes de cuerdas y las notas que producen.

El teorema de Pitágoras se aplica a triángulos rectángulos y establece que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Se explica cómo usar el teorema de Pitágoras para calcular el área de un cuadrado formado por los catetos y compararlo con el área de un cuadrado formado por la hipotenusa.

Se presentan ejemplos de triángulos rectángulos con longitudes enteras que forman triples pitagóricas, como 3, 4, 5 y 6, 8, 10.

Se demuestra cómo usar algebraicamente el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de uno de los lados del triángulo cuando se conocen los otros dos.

Se usa el teorema de Pitágoras para resolver un problema práctico: calcular la longitud de una red de Spiderman para salvar un bebé.

Se aplica el teorema de Pitágoras para medir la altura de un muro usando la longitud de una escalera y la distancia desde su punto de apoyo.

Se desafía al espectador a calcular la longitud de una cubierta inclinada de una casa usando el teorema de Pitágoras.

Se menciona que el teorema de Pitágoras es una proposición matemática que ha sido demostrada y es una verdad absoluta para triángulos rectángulos en superficies planas.

Se destaca la importancia del teorema de Pitágoras en diversas áreas como construcción, ingeniería civil, navegación y modelado 3D en videojuegos y películas.

Se menciona que Pitágoras también es útil para dividir terrenos o resolver diagonales, calcular la altura de montañas y la inclinación de caminos.

Platzi ofrece un curso de preparación para el TOEFL con un descuento del 15%, que es un requisito para aplicar a trabajos, universidades extranjeras, becas y migrar a otros países.

Transcripts

Are you thinking of studying or working abroad and they ask you for the TOEFL? Today

we have great news for you and a discount that you can get with Platzi. Stick around to learn

more.

Imagine that you want to know the height of this wall, but of course, it is very difficult to climb up

and measure it with a ruler! How would you do it? Hmm… You can support a ladder, the length of which

you do know. You can also measure the distance between the support point of the ladder and the

base of the wall. Is that enough? Well, a great Greek philosopher from more than 2,500 years ago

discovered that, if you know these two sides, you can calculate the third with total precision

and without having to climb! Join us to understand...

The amazing Pythagorean Theorem

Pythagoras of Samos is known as the "first pure mathematician" and was born around the

year 470 before our era. He formed a mathematical-magical-musical society that

would be known as "the Pythagoreans" (although in his time they called themselves simply

"the mathematicians"). They saw that everything in the universe could be described

by means of geometric and numerical relationships and proportions and therefore they gave mathematics

a mystical and sacred character. For them numbers and figures, eternal and immutable,

were the essence of earthly things, variable and perishable.

The Pythagorean school also developed a mathematical theory of music based

on the relationship between the lengths of the strings and the notes they produce. They believed

that each star emitted a note and all together formed the "harmony of the spheres" or

heavenly music. Much of what the Pythagoreans studied

was learned from Babylonian mathematics, including the famous Pythagorean Theorem,

which apparently was known to the Chinese as well as the Babylonians.

Let's start by understanding the basics: the Pythagorean theorem applies to

right triangles, that is, all triangles that have a right angle, that is, 90

degrees. It doesn't matter how long its sides are or what orientation it is in,

if one of its angles is right, it is a right triangle.

One of the sides, the one opposite the right angle, is called the hypotenuse. It is

the longest side. By the way: the Greek word “hypotenuse” means “strongly

tensed”: geometers used taut strings to perform their calculations. The other

two sides, those that form the right angle, are called legs (leg means "that

falls", because plumb lines were used to make measurements and ensure that a column,

for example, was perpendicular to the ground). Ready? Well, the Pythagorean theorem

is a relationship between those segments and what it declares is that, in any

right triangle, "the sum of the squares of the legs is equal to the square of the hypotenuse."

What does this mean? Easy: if you draw two squares: one whose sides are equal

to one of the legs; another whose sides are equal to the other leg and you add their areas,

the result will be equal to the area of ​​a square whose sides are equal to the hypotenuse.

Let's look at this example: on the right hand side, on the hypotenuse. that measures 5 units, we have

a 5 x 5 square: we can see that it is made up of 25 1x1 squares. On this side,

one of the legs measures 4 units, that is, its square is 4 x 4 units: it is

made up of 16 squares; the length of the other leg is 3 units, its square

is 3x3, that is, it is made up of 9 squares. If we add these last two, 16+9, in total

they are… ah look! also 25 squares! (PAUSE OF 2 SECONDS)

If we name each side of the triangle with a letter (conventionally put "c"

to the hypotenuse and "a" and "b" to each of the legs), we can express this

relationship as: a2 +b2=c2 (a squared plus b squared equals c squared).

This relationship is constant, which means that it “always happens”, regardless of

the size of each of the sides of the triangle. For example: this other right triangle

has its hypotenuse of 10 units and legs of 8 and 6 respectively. Let's see if it is fulfilled?

8 squared (or 8x8) is 64. 6 squared (or 6x6) is 36. Added together they make 100, which is

the same as 10 squared. Of course, in these examples we chose

whole numbers, but this is not always the case: sometimes decimals come out. When the three sides are

whole numbers, they are called a Pythagorean triple, like our examples: 3, 4 and 5 form a

Pythagorean triple, as well as 6, 8 and 10 form another. But in this other triangle, one of

the legs measures 7.5 units, and the other 4, which means that their squares are

56.25 and 16 respectively. Added together they give us the square of the hypotenuse: 72.25. Its square root

is 8.5, which is the length of the hypotenuse. Since the three numbers are not integers

, they do not form a Pythagorean triple. Let's see in a very simple example how to use

the Pythagorean theorem algebraically to know the length of one of the sides

when we only know the other two. Spiderman wants to save this baby, but he has

little web left. He barely stops 25 meters! will he have enough to reach it? In this triangle

we know that leg "a" measures 7 meters and leg "b" 24 meters. How long is

the hypotenuse? If a2+b2=c2 then we know that 72 plus 242 equals c2. 7 squared

is 49 and 24 squared is 576. Adding them together gives 625. 625 equals c squared. To

know only the "c", without the square, we have to take the square root of the two terms:

the square root of x squared, since it is x. And the square root of 625? Well,

let's find a number that multiplied by itself of 625... 25x25 gives 625. The result

is 25! That is what the hypotenuse measures, that is, what the spider web should measure.

Rescued baby! Let's try our ladder

and wall example. We know that the ladder measures 13 meters and that its support point is 5 meters

from the wall. That is, we know the measure of the hypotenuse and of one of the legs and we need to know

the measure of the other leg. If we substitute them in the equation it would be a2+52=132. Since we want

to know the size of this leg, let's leave that “a square”, which is our unknown,

alone. I'm sorry, unknown, it's for your own good! We do it by sending the 5 squared,

which is adding, on the other side of the equation, but subtracting. It remains a2=132-52. 13 squared

is 169 and 5 squared is 25. We subtract 169 minus 25 and we get 144. a2=144. The

square root of “a” squared is “a” and that of 144 is 12. And that's it! The height

of the wall is 12 meters. Easy! See, cat? Now we know you better.

We leave you with a challenge: Imagine that you are going to build a house. Can you calculate how

long this sloped roof should be, knowing that one of the poles is 2 meters, the other

3 and the base 4? In this case you have to do some previous operations. Pause the video

and leave us the answer in the comments. Something interesting about this relationship described

by Pythagoras is that it is a theorem: that is, a proposition that can be demonstrated,

and this theorem has been fully proven: it works with all right triangles

on flat surfaces: it is as absolute a truth as can be to have. But don't think that

mathematicians try to see if it applies to each of the infinitely many possible triangles,

one by one: they rather design proofs that prove its general truth. It is said that

in the universities of the Middle Ages, if you wanted to achieve the degree of Magister Mathesos

you had to invent your own proof of the Pythagorean Theorem. Throughout history

many people, including Persians, Arabs and India, have designed

very ingenious proofs and the Pythagorean theorem is one of the theorems with the most different proofs.

There is an ancient Chinese demonstration, another by Anairizi of Arabia, another by Euclid, one

by Leonardo Da Vinci and one that Einstein made at the age of 12. Even the President of the United States

James Abram Garfield developed a proof and even high school students

have contributed new proofs! What is the use of knowing the Pythagorean Theorem?

Oh well, for many things! As you can imagine, it is used in construction and

architecture to divide land or resolve any diagonal. In civil engineering,

to calculate the height of mountains and the inclination of roads. Also

in naval and air navigation. Did you already know that the meshes of the 3D models used by

video games and animated characters in movies are made of triangles?

This is because it is the simplest geometric figure and it requires less data to know

everything about it. Because, if you know that the interior angles of a triangle always

add up to 180 degrees, you can use trigonometric functions to find out everything about a right triangle,

starting only from the measure of one leg and one of its other angles.

A curious and very useful fact: although there are many triangles that are not right,

if in any of them you draw from one of its vertices a line perpendicular

to the opposite side of that angle (PAUSE) you will always get two right triangles! Curiously

Pythagorean! Another curious fact is that Platzi already has

a TOEFL preparation course! Now, in addition to learning English at Platzi,

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