Los axiomas de los números reales | TOX educación
Summary
TLDREste vídeo educativo se enfoca en los axiomas de los números reales, esencial para la matemática. Se explican tres categorías de axiomas: algebraicos, de orden y de completitud. Se detallan propiedades como la cerradura, asociatividad, conmutatividad, existencia de neutros y de inversos, y la ley distributiva. Estos axiomas son las 'reglas del juego' fundamentales en matemáticas, estableciendo la base para demostrar teoremas y resolver problemas matemáticos.
Takeaways
- 😀 Los números reales son fundamentales en matemáticas y se rigen por axiomas que definen su comportamiento.
- 📐 Los axiomas son afirmaciones que no requieren demostración y son la base de todas las demostuciones matemáticas.
- 🔢 Se clasifican los axiomas de los números reales en tres categorías: algebraicos, de orden y de completitud.
- ➕ El axioma de cerradura afirma que la suma y el producto de dos números reales resultan en otro número real.
- 🔄 La asociatividad permite agrupar sumas y productos de manera indistinta del orden en que se realizan las operaciones.
- ↔️ La conmutatividad establece que el orden de los sumandos o factores no cambia el resultado de la suma o producto.
- 🔵 El neutro aditivo (0) y el neutro multiplicativo (1) son elementos que, al sumarse o multiplicarse con cualquier número real, mantienen el valor original de ese número.
- ➡️ Los inversos son elementos que, al sumarse o multiplicarse con un número real, resultan en el neutro aditivo o multiplicativo respectivamente.
- 🔄 La ley distributiva relaciona la suma y el producto, indicando que a(b + c) es igual a ab + ac y es válida en ambas direcciones.
- 📚 Los axiomas son la base sobre la cual se construyen los teoremas, que a su vez requieren demostración y son demostrado a partir de axiomas previamente aceptados.
Q & A
¿Qué es un axioma en matemáticas?
-Un axioma es una afirmación que no requiere ser demostrada, es una verdad fundamental que sirve de base para el desarrollo de un sistema de creencias o teorías, en este caso, en matemáticas.
¿Cuáles son las tres categorías en las que se clasifican generalmente los axiomas de los números reales?
-Los axiomas de los números reales se clasifican en: algebraicos, de orden y el axioma de completitud.
¿Qué es el axioma de la cerradura y cómo se aplica a los números reales?
-El axioma de la cerradura dice que la suma y el producto de dos números reales darán como resultado otro número real, es decir, el conjunto de los números reales está cerrado bajo la suma y la multiplicación.
Explique la ley asociativa en el contexto de los números reales.
-La ley asociativa afirma que el orden en que se realizan las operaciones de suma o multiplicación no afecta al resultado, es decir, (a + b) + c es igual a a + (b + c) y (a * b) * c es igual a a * (b * c).
¿Qué significa la ley conmutativa y cómo se relaciona con la suma y el producto de números reales?
-La ley conmutativa indica que el orden de los elementos en una operación suma o multiplicación no cambia el resultado, es decir, a + b es igual a b + a y a * b es igual a b * a.
¿Qué son los neutros en el contexto de las operaciones suma y multiplicación de números reales?
-Los neutros son elementos que, al combinarse con cualquier número real mediante suma o multiplicación, mantienen inalterado el valor de ese número real. El neutro aditivo es el 0 y el neutro multiplicativo es el 1.
Explique la existencia de los inversos en el conjunto de los números reales.
-La existencia de los inversos afirma que para cada número real, existe otro número que, al sumarse o multiplicarse con el original, resulta en el neutro aditivo o multiplicativo respectivamente. El inverso aditivo es el negativo del número y el inverso multiplicativo es el recíproco del número.
¿Qué es la ley distributiva y cómo se relaciona con la suma y el producto de números reales?
-La ley distributiva establece que la multiplicación de un número real por la suma de otros dos se distribuye, es decir, a * (b + c) es igual a (a * b) + (a * c). Esta ley permite relacionar la suma y la multiplicación entre sí.
¿Por qué son importantes los axiomas en las matemáticas?
-Los axiomas son importantes en matemáticas porque sirven como bases fundamentales o reglas inamovibles que permiten construir teoremas y deducir resultados sin necesidad de demostrar estas afirmaciones básicas.
¿Cómo se diferencian los axiomas de los teoremas en matemáticas?
-Los axiomas son afirmaciones que no requieren demostración y sirven como bases para el razonamiento matemático, mientras que los teoremas son proposiciones que sí requieren ser demostradas a partir de axiomas o teoremas previamente demostrado.
Outlines
📘 Introducción a los axiomas de los números reales
El vídeo comienza con una introducción a los axiomas de los números reales, que son fundamentales para entender la matemática. Se menciona que los axiomas se clasifican en tres categorías: algebraicos, de orden y de completitud. Se hace una analogía con un juego, donde los números reales son las piezas y los axiomas son las reglas del juego. Se explica que los axiomas son afirmaciones que no requieren demostración y son esenciales para participar en la 'juego' de las matemáticas. Se introducen los primeros axiomas: la existencia de dos operaciones (suma y producto), la cerradura (la suma y producto de números reales sigue siendo un número real), la asociatividad (el orden de los elementos en una operación no cambia el resultado) y la conmutatividad (el orden de los operandos no altera el resultado de la suma o la multiplicación).
🔢 Axiomas de los neutros y los inversos
En este segundo párrafo, se profundiza en la existencia de los neutros y los inversos en los números reales. Se explica que el neutro aditivo (cero) es el elemento que, al sumarse a cualquier número real, mantiene el mismo número real. Del mismo modo, el neutro multiplicativo (uno) es el que, al multiplicarse por un número real, da como resultado el mismo número. Además, se menciona la existencia de los inversos: el inverso aditivo (negativo del número) y el inverso multiplicativo (reciproco del número), que son elementos que, al sumarse o multiplicarse con el original, dan como resultado el neutro correspondiente. Finalmente, se introduce la ley distributiva, que permite relacionar la suma y la multiplicación, y es fundamental para el desarrollo de la matemática. El vídeo concluye con una invitación a suscribirse, compartir, y contactar al canal para obtener más información sobre cursos y ejercicios.
Mindmap
Keywords
💡Axioma
💡Números reales
💡Cerradura
💡Asociatividad
💡Conmutatividad
💡Neutro
💡Inverso
💡Distributividad
💡Teorema
💡Función
Highlights
Introducción al video sobre axiomas de los números reales.
Definición de un axioma como una afirmación que no requiere ser demostrada.
Analogía de los axiomas con las reglas de un juego, donde los números reales son las piezas.
Primer axioma: Existencia de dos operaciones fundamentales, la suma y el producto.
Axioma de la cerradura: La suma y el producto de dos números reales son también números reales.
Axioma de asociatividad: La suma y el producto son independientes del orden de los elementos.
Axioma de conmutatividad: El orden de los sumandos y factores no altera el resultado.
Existencia de neutros: El neutro aditivo (0) y el neutro multiplicativo (1).
Existencia de inversos: Cada número real tiene un inverso aditivo (negativo) y multiplicativo (recíproco).
Axioma de la distributividad: La relación entre la suma y el producto.
Importancia de los axiomas como bases para la matemática y la demostración de teoremas.
Diferenciación entre axiomas y teoremas.
Invitación a suscribirse y compartir el contenido del canal de educación.
Mención de recursos adicionales como cursos, ejercicios y asesorías disponibles.
Gracias y despedida del presentador.
Transcripts
[Música]
hola hola muy buenas a todos y
bienvenidos a otro vídeo en su canal
talks educación en esta ocasión
hablaremos sobre algunos de los axiomas
de los números reales y digo algunos
porque generalmente estos se clasifican
en tres categorías distintas
los algebraicos que son los que
trabajaremos el día de hoy los de orden
y el axioma de completitud por supuesto
antes de comentar estos axiomas
necesitamos entender qué significa esta
palabra y podemos entender podemos
definir a un axioma como una afirmación
que no requiere ser demostrada
probablemente esto todavía no nos diga
mucho pero podemos hacer una analogía
pensemos en lo siguiente queremos
diseñar un juego se me ocurre por
ejemplo el ajedrez entonces necesitamos
construir el tablero necesitamos
construir las piezas y necesitamos las
reglas de este juego en la descripción
aparece el vínculo correspondiente
donde hablamos sobre el conjunto de los
números reales entonces pensemos que
nuestras piezas son justamente los
números reales pero las reglas del juego
serán los axiomas los axiomas son súper
importantes porque si queremos
participar en este juego tan bonito
llamado matemáticas debemos conocer las
reglas básicas de acuerdo entonces
empecemos platicando sobre estos axiomas
y daremos por hecho primero la
existencia de dos operaciones la suma y
el producto bien la primera propiedad
del primer axioma la primera ley que
comentaremos será el de la cerradura y
entonces consideremos los números reales
por ejemplo ahí ve de acuerdo entonces
la suma de dos números reales
un número real eso es lo que nos dice el
axioma de la cerradura que la suma de
dos números reales seguirá siendo un
elemento de los números reales y para el
producto pasa algo muy similar si
tenemos dos números reales y se están
multiplicando a por b el resultado de
esta multiplicación también será un
elemento del conjunto de los números
reales de acuerdo bien hablemos ahora de
la ley asociativa del axioma de la
asociatividad que nos dice bueno que si
tenemos a más b más esto siempre será
igual a más b c es decir la
asociatividad nos permite agrupar a
nuestra combina a nuestra conveniencia y
entonces si hacemos la suma primero de a
más b y a esto le sumamos posteriormente
se es exactamente lo mismo que si a esto
le sumamos la suma de b más
de acuerdo
para el producto sucede algo muy similar
entonces si tenemos a borde
multiplicándose este resultado este
producto será lo mismo que a por b por c
es decir puedo efectuar primero la
multiplicación de a por b y esto
multiplicarlo por c y el resultado será
exactamente lo mismo que si
multiplicamos primero b por c y después
eso multiplicarlo por a en resumen
podemos asociar a nuestra conveniencia
podemos agrupar a nuestra conveniencia
de acuerdo
el axioma de la conmuta tividad cuantas
veces hemos escuchado que el orden de
los sumandos no alteran la suma y que el
orden de los factores no altera el
producto estas frases tienen nombre se
llama ley conmutativa y no dice otra
cosa más que lo siguiente si tenemos las
suma a más b es lo mismo que sumar b más
a el orden de los sumandos no altera la
suma recordemos que a veces en todo
momento son números reales para el
producto por supuesto es lo mismo ave
que depp ahora no importa el orden el
producto siempre será el mismo de
acuerdo hablemos ahora de la existencia
de neutros tenemos el neutro para la
suma neutro aditivo y neutro para el
producto el neutro multiplicativo quien
será el neutro para la suma es decir
existirá un elemento en los números
reales en este caso él
de tal manera que al sumar el 0 a
cualquier elemento real tenemos como
resultado ese mismo elemento en el caso
del producto por supuesto tenemos que el
neutro multiplicativo sera
este uno será entonces el neutro
multiplicativo porque al multiplicarlo
por a llegamos exactamente a lo mismo la
existencia de los neutros el cero para
la suma el uno para el producto de
acuerdo
también hablamos sobre la existencia de
los inversos el inverso para la suma el
inverso para el producto entonces el
inverso para la suma será un elemento de
tal manera que al sumarlo al original
nos dé como resultado el neutro en este
caso el neutro aditivo por supuesto el
inverso simplemente será el negativo de
este número real con el producto tenemos
algo similar y entonces si tenemos un
elemento real cualquiera digamos lo
multiplicaremos por el inverso
multiplicativo que será uno entre a al
hacer esta multiplicación tendremos como
resultado al neutro multiplicativo solo
que aquí debemos ser muy cuidadosos
deberíamos es llamarle mejor a este
elemento el recíproco porque más
adelante cuando hablemos sobre funciones
va a ser muy importante distinguir entre
recíproco y función inversa por el
momento podemos
y entonces que el inverso aditivo es el
negativo de ese número real y el inverso
multiplicativo será el recíproco del
valor real original de acuerdo cif y
finalmente la ley distributiva el axioma
de la distributiva edad que será de suma
importancia porque será quien nos
permita relacionar a las dos operaciones
dadas a la suma y al producto que nos
dice la ley de la distributiva y that
que si tenemos el expert la expresión
dada por a que multiplica además estos
se distribuye se expande se separa de la
siguiente forma a por b
más a porsche
de acuerdo y por supuesto el regreso
también será válido entonces estas son
las reglas de nuestro juego son las
bases ya partir de estas podemos
continuar trabajando en matemáticas a
esto le llamamos un axioma es decir una
verdad que no requiere demostración
aquellas afirmaciones que sí requieran
ser demostradas se llaman teoremas y los
teoremas los demostraremos a partir de
los axiomas o de teoremas que hayamos
demostrado previamente de acuerdo
muchas gracias por su atención para más
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