La integral: qué es, de dónde surge y para qué sirve

Summary

Este vídeo ofrece una visión entre rigurosa y divulgativa del concepto de integral, destacando su dificultad comparada con las derivadas y su constante desarrollo. Se introduce la integral como la operación inversa de la derivada, pero también como una herramienta de medida con múltiples aplicaciones. Se explora su historia, desde los métodos de 'agotamiento' de la antigua Grecia hasta el desarrollo del cálculo integral por Newton y Leibniz, pasando por las contribuciones de Riemann y la generalización de la integral de Lebesgue. El video también menciona las actuales investigaciones en integrales de procesos estocásticos, demostrando que el estudio de la integral sigue siendo un área activa de la matemática.

Takeaways

• 📚 La integral es un tema complejo y en constante desarrollo, diferenciado del cálculo diferencial.
• 🔍 Mientras cualquiera puede aprender a derivar cualquier función, no todos pueden integrar todas las funciones.
• 🎯 La definición de la derivada es clara hoy en día, pero la de la integral ha ido en constante generalización.
• 📉 La integral se originó históricamente por la necesidad de medir áreas, perímetros y volúmenes en la geometría.
• 📏 El símbolo de integración es una 'S' deformada que representa la suma infinita, relacionada con el sumatorio para cantidades discretas.
• 📐 El método de 'agotamiento' desarrollado por los griegos antiguos ya tenía la noción de aproximar áreas mediante polígonos regulares.
• 📈 La integral de Riemann, formalizada por Riemann, se basa en subdividir el intervalo en subintervalos y calcular el área mediante rectángulos.
• 📊 La integral de Lebesgue es una generalización más avanzada que se basa en la teoría de la medida y se utiliza para conjuntos más complejos.
• 🚀 La integral también se ha generalizado en el ámbito de procesos estocásticos, como se vio con la integral de Itô y la integral de Stieltjes.
• 🌐 La geometría de Riemann, con sus contribuciones en la teoría de la relatividad y la hipótesis de Riemann, es una extensión importante del concepto de integral.
• 🔬 La integral sigue siendo un tema de investigación en áreas como la mecánica cuántica, donde se explora su aplicación en trayectorias probabilísticas.

Q & A

¿Qué es la integral y cómo se diferencia de la derivada?

La integral es una operación matemática que se utiliza para calcular áreas, volúmenes y otros conceptos relacionados con la medición, mientras que la derivada es una operación que se utiliza para encontrar la tasa de cambio de una función en un punto específico.

¿Por qué se dice que la integral es más difícil que la derivada?

La integral es considerada más difícil que la derivada porque, mientras cualquiera puede aprender a derivar cualquier función, no todas las funciones son integrables, y la definición de integración ha ido en constante generalización a lo largo del tiempo.

¿Cuál es la relación entre la integral y el teorema fundamental del cálculo?

El teorema fundamental del cálculo establece que la integral es la operación inversa de la derivada, lo que permite calcular áreas delimitadas por curvas utilizando funciones y sus derivadas correspondientes.

¿Qué es el método de agotamiento y cómo está relacionado con la integral?

El método de agotamiento es una técnica desarrollada en la antigua Grecia que se utilizaba para calcular áreas y perímetros de figuras geométricas. Es la base intuitiva de la integral moderna, que implica la suma de cantidades infinitesimales para aproximar áreas bajo curvas.

¿Qué es el símbolo de integración y qué representa?

El símbolo de integración es una 'S' deformada que representa la suma de cantidades infinitesimales. Proviene de la palabra 'suma' y se utiliza para indicar que se está realizando una integración.

¿Qué es la integral de Riemann y cómo se calcula?

La integral de Riemann es una forma de calcular la integral dividiendo el intervalo en subintervalos y utilizando rectángulos para aproximar el área bajo la curva. Se toma el límite de esta suma cuando el número de subintervalos tiende a infinito.

¿Qué es la integral de Lebesgue y cómo se diferencia de la integral de Riemann?

La integral de Lebesgue es una generalización de la integral de Riemann que se basa en la teoría de la medida. Se utiliza para integrar funciones con propiedades más complejas y permite integrar sobre conjuntos de medida cero.

¿Qué es la integral de Itô y cómo está relacionada con los procesos estocásticos?

La integral de Itô es una forma de integral que se utiliza en los procesos estocásticos, como los movimientos de precios en bolsa. Es una generalización de la integral para funciones que toman valores aleatorios a lo largo del tiempo.

¿Cómo se relaciona la integral con la geometría y la medición de áreas?

La integral está estrechamente ligada a la geometría y la medición de áreas, ya que nace de la necesidad de calcular áreas delimitadas por curvas y ejes en el plano. La integral de Riemann, en particular, se utiliza comúnmente para calcular estas áreas.

¿Por qué la integral aún está en desarrollo y cómo está involucrada en áreas de investigación actuales?

La integral aún está en desarrollo porque hay generalizaciones y aplicaciones nuevas que surgen en áreas como la mecánica cuántica y la probabilidad. La integral es una herramienta fundamental en el estudio de fenómenos que involucran procesos estocásticos y mediciones de áreas y volúmenes en diferentes contextos.

Outlines

00:00

🔍 Introducción a la Integral

El vídeo comienza explicando la complejidad de la integral en comparación con la derivada. Se destaca que, aunque cualquiera puede aprender a derivar funciones, la integración es un proceso más difícil y en constante desarrollo. Se introduce la integral como la operación inversa de la derivada, pero se enfatiza que su concepto es mucho más amplio. El objetivo del vídeo es explorar cómo ha evolucionado la idea de la integral, su origen, y cómo ha sido desarrollada a lo largo del tiempo.

05:03

📏 El Problema de Medir Áreas y Volúmenes

Se explica cómo surgió la necesidad de la integral para resolver problemas de medición, como el cálculo de áreas, perímetros y volúmenes. La discusión se remonta a la antigua Grecia, donde se usaban métodos rudimentarios de integración para estos fines. Se menciona que la idea de integrar ya existía en el antiguo Egipto, aunque de manera muy diferente a cómo la entendemos hoy en día. Se introduce el símbolo de la integral como una deformación de la letra 'S' de 'suma', que representa la suma infinita de cantidades pequeñas.

10:04

🏛️ Método de Exhausión y la Idea Intuitiva de la Integral

Se describe el método de exhausión desarrollado en la antigua Grecia, que permitió a matemáticos como Euclides calcular áreas y perímetros. Este método consistía en aproximar el área de una circunferencia utilizando polígonos regulares inscritos y circunscritos. La clave de este método es que, al aumentar el número de lados del polígono, se aproxima cada vez más al área real de la circunferencia. Esta idea de sumar una cantidad creciente de pequeñas áreas es fundamental en el concepto de la integral.

15:04

🧮 Formalización y Avances en la Teoría de la Integral

El vídeo continúa con la historia del desarrollo de la integral, destacando el avance significativo logrado por Newton y Leibniz con el cálculo diferencial e integral. Se menciona el Teorema Fundamental del Cálculo, que conecta la derivada y la integral como operaciones inversas. Posteriormente, se discute la formalización del concepto de integral por Riemann, quien desarrolló una forma rigurosa de calcular áreas bajo curvas utilizando sumas de rectángulos, un método que es la base del cálculo integral en la mayoría de los casos.

Keywords

💡Integral

La integral es un concepto fundamental en matemáticas que se refiere a la operación matemática que permite calcular áreas, volúmenes y otros valores a partir de funciones. En el video, la integral se presenta como una herramienta de medida que va más allá de ser simplemente la operación inversa de la derivada, y se explora su desarrollo histórico y sus aplicaciones en áreas como la geometría y la física.

💡Derivada

La derivada es una operación matemática que define la tangente a una curva en un punto dado y representa la tasa de cambio de una función. A lo largo del video, se menciona que cualquier persona puede aprender a derivar cualquier función, mientras que la integralidad no es tan accesible, y se destaca el Teorema Fundamental del Cálculo para relacionar ambas operaciones.

💡Cálculo Integral

El Cálculo Integral es una rama del cálculo que se enfoca en el estudio de la integral y sus aplicaciones. En el video, se discute cómo la integral es una extensión del concepto de suma, y cómo ha evolucionado a lo largo del tiempo para abordar problemas más allá de calcular áreas y volúmenes.

💡Método de agotamiento

El método de agotamiento, desarrollado por los antiguos griegos, es una técnica para calcular áreas y volúmenes a través de la aproximación mediante polígonos regulares. En el video, se describe cómo Aristóteles utilizó este método para calcular áreas, y cómo esta idea intuitiva se relaciona con el concepto moderno de integral.

💡Área

El cálculo de áreas es una de las aplicaciones principales de la integral. En el video, se destaca cómo la necesidad de medir áreas motivó el desarrollo de la integral, y se ilustra cómo se aproxima el área bajo una curva utilizando rectángulos para representar la integral de Riemann.

💡Teorema Fundamental del Cálculo

Este teorema establece la relación entre la derivada y la integral, y es crucial para comprender cómo la integral puede ser vista como la operación inversa de la derivada. En el video, se menciona cómo este teorema garantiza que si una función es derivada de otra, entonces la integral de esa función determinará exactamente el área delimitada por la curva.

💡Geometría de Riemann

La Geometría de Riemann es una generalización del concepto de superficies en el espacio, que fue fundamental para el desarrollo de la teoría de la relatividad general de Einstein. En el video, se menciona cómo Riemann contribuyó al cálculo integral con su definición de la integral de Riemann, que es la forma más comúnmente utilizada en matemáticas.

💡Integral de Riemann

La integral de Riemann es la definición más común de integral que se utiliza en matemáticas, y se basa en la idea de subdividir un intervalo en partes más pequeñas y calcular la suma de rectángulos para aproximar el área bajo una curva. En el video, se describe cómo esta definición fue formalizada por Riemann y es la base para el cálculo de áreas en la mayoría de las situaciones.

💡Integral de Lebesgue

La integral de Lebesgue es una generalización de la integral de Riemann que se basa en la teoría de la medida. Permite calcular integrales de funciones que no son integrables en el sentido de Riemann. En el video, se menciona cómo la integral de Lebesgue es más general y se utiliza en contextos más complejos y avanzados del análisis matemático.

💡Cálculo de medidas

El cálculo de medidas es un área del análisis matemático que estudia conceptos como longitud, área y volumen de manera más abstracta y general. En el video, se alude a la teoría de la medida como el marco en el que se define la integral de Lebesgue, y cómo es fundamental para entender ciertos tipos de integrales en contextos más avanzados.

Highlights

El video trata sobre la integral desde un punto de vista entre riguroso y divulgativo, destacando su dificultad y desarrollo constante.

Se menciona que cualquier persona puede aprender a derivar funciones, pero la capacidad para integrar varía y está en constante evolución.

La definición de derivada es clara hoy en día, a diferencia de la de integración, que ha ido generalizándose.

La integral es comúnmente vista como la operación inversa de la derivada, según el teorema fundamental del cálculo.

Se explora el desarrollo histórico de la integral, desde la antigua Grecia y Egipto hasta la formalización moderna.

El símbolo de integración es una 'S' deformada que representa la suma infinita, ligado al concepto de sumatorio.

La idea intuitiva de integración es la suma de cantidades infinitesimales, como se usaba en el método de agotamiento en la antigua Grecia.

El método de agotamiento de Eudocso permitía calcular áreas y perímetros de figuras geométricas usando polígonos regulares.

La integral se ha desarrollado para calcular áreas, perímetros y volúmenes, con aplicaciones en geometría y cálculo.

Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo diferencial e infinitesimal, demostrando la relación entre derivada e integral.

Se destaca la contribución de Riemann en la formalización de la integral y su impacto en áreas como la relatividad general de Einstein.

La integral de Riemann es la forma más común de integración, pero hay otras como la integral de Lebesgue y la integral de Riemann-Stieltjes.

La integral de Lebesgue generaliza la integral de Riemann, permitiendo la integración de funciones que no son Riemann-integrables.

La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización para procesos estocásticos y series de datos.

La integral es una herramienta de medida con aplicaciones en cálculo, probabilidad y física.

El video también destaca que la integral está en desarrollo y se investigan nuevas generalizaciones, como la integral de camino.

Se invita a los espectadores a participar en discusiones y preguntas sobre el tema del video.

Transcripts

hola bienvenidos en este vídeo vamos a

hablar sobre la integral vamos a hablar

de la integral desde un punto de vista a

mitad de camino entre los rigurosos y

los divulgativos ante me refiero con

esto pues me refiero a que

contrariamente a lo que pasa con las

derivadas por la integración es un tema

muy difícil muy difícil y que está en

constante el desarrollo claro también

está en desarrollo el cálculo

diferencial pero a lo que me refiero con

esto es a lo siguiente

cualquiera puede aprender a derivar

cualquier tipo de función pero nadie

sabe integra todas las funciones y

además la idea de derivada su definición

es algo que está clarísimo a día de hoy

sin embargo la idea de integrar puede

estar o ha ido constantemente

generalizándose y aún a día de hoy pues

hay mucha gente investigando sobre esto

entonces vamos a introducir de forma

intuitiva la idea de integrar de forma

rigurosa la definición de integrante a

nosotros nos interesa la que nosotros

estamos

de forma común y de forma divulgativa

vamos a hacer referencia a otra idea de

integral que existen aunque están en

desarrollo se tiene la idea común de que

la integral es básicamente la operación

inversa de la derivada y si es verdad

que esto es cierto eso lo garantiza el

teorema fundamental del cálculo integral

pero también es verdad que la idea de

integrar es muchísimo más entonces lo

que yo pueda contar en este vídeo es

cómo se ha ido desarrollando esta idea

históricamente de dónde nace qué

necesidad ha ido atendiendo qué

problemas han motivado el desarrollo de

esta idea y todo esto pues para ir un

paso un poco más allá de este simplismo

de ser la operación inversa de la

derivada entonces vamos a empezar

hablando del problema que motiva la

necesidad de esta herramienta

el problema surge de la necesidad de

encontrar una herramienta que nos sirva

para medir para medir el área para pedir

el perímetro para medir un volumen

esta idea como casi todo en las

matemáticas sobre todo lo que se

relaciona con la geometría como en el

caso área y el perímetro del volumen son

conceptos estrechamente ligados a la

geometría pues como digo esta idea

surgen en la antigua grecia aunque en

este caso ahí parece ser que hay algunas

evidencias de que ya en el egipto

antiguo de unos 1500 años antes de

cristo pues ya se usaban métodos de

integración métodos de integración entre

comillas porque cuando hablamos de

métodos de integración no nos estamos

refiriendo no me estoy refiriendo a la

integrac tal cual la conocemos ahora a

nosotros sino a una definición de

integrar pues más genérica que

es precisamente esta definición o esta

idea intuitiva de integral genérica lo

que motiva la integral de ahora es vamos

a hablar un poco de esto todo el que

haya tratado con integrales está

familiarizado con un símbolo que es este

el símbolo de integración este símbolo

no es más que una s que se va deformando

hasta estirarse y nos da el símbolo de

integrar y esta s viene de suma

suma infinita esto es un concepto

estrechamente ligado a el sumatorio el

sumatorio es cuando nosotros estamos

sumando cantidades discretas

y la integral cuando estamos sumando

cantidades continuas cantidad discretas

son los números 0 1 2 3 4 5 y cantidades

continuas sería un intervalo el

intervalo 0 1 es continuo cada

subdivisión nos puede dar un punto que

está dentro del intervalo sin embargo en

la cantidad de discretas entre 0 y el 1

no hay nada tenemos el cero y tenemos el

1 pero entre medias no hay nada para no

irnos mucho por las ramas vamos a volver

a centrarnos en la idea de integrar la

idea intuitiva de integrar es ser la

suma infinita de su manos

infinitamente pequeños en este sentido

en el que podemos decir que el concepto

ya se utilizaba en la antigua grecia eu

docs o un griego desarrolló un método

que se llamaba de excepción o método de

agotamiento que le permitió a

aristóteles calcular el área de una

circunferencia del área y el perímetro

cómo funcionaba este método

pues algo así como que tenía la

circunferencia y dice yo de la

circunferencia no sé calcular ni el área

en el perímetro pero yo puedo meter

dentro de la circunferencia un pentágono

regular es decir un polígono regular de

5 dados y a este tío yo sí le sé

calcular el área por lo tanto digamos

que el área de la circunferencia va a

ser un poco mayor pero va a estar cerca

del área de este ventaja también podría

proceder

circunscribiendo un pentágono regular en

la circunferencia y entonces estaría

acotando superiormente el área de la

circunferencia es decir el valor del

área del pentágono que contiene la

circunferencia en un valor cercano al

área de la circunferencia pero un poco

mayor y este tío dijo bueno y si yo en

vez de usar un pentágono uso un hexágono

no me estaré aproximando más

porque se fija mejor a la circunferencia

y si en vez de usar un hexágono uso un

polígono regular de 7 lado o de otro de

92 de 10 si le voy añadiendo lado a ese

polígono regular yo sigo sabiendo el

área que tiene y ese polígono regular

aproxima mejor al área de la

circunferencia es decir que yo en un

momento determinado estoy tomando el

área de la circunferencia como un caso

límite de un polígono regular de n lados

todos los lados son iguales

y le sabría calcular el área estoy

aproximando me tanto como quiero qué

está pasando aquí esto es exactamente lo

que hemos hablado de ira intuitiva de

integrar la suma infinita de cantidades

que son cada vez más pequeñas

yo aquí tengo un triángulo y tengo cinco

triángulos y aquí tengo un triángulo y

tengo seis triángulos y conforme voy

añadiendo un lado tengo un triángulo más

pero el área del triángulo es cada vez

más pequeña es decir cada este de una

cantidad mayor de triángulo que tiene

una superficie cada vez más pequeña yo

estoy sumando una cantidad cada vez

mayor de cantidades cada vez más

pequeñas y esto es precisamente el

nacimiento de la integración y esto no

tiene nada que ver con el cálculo de una

derivada la derivada ha sido acordáis de

lo que tener otro vídeo tiene que ver

con la necesidad de calcular la tangente

a una curva y esto es la necesidad de

calcular el área de una curva

ahora nos cuadra perfectamente que la

aplicación más importante de la integral

es el cálculo de área porque nace de eso

bueno ya tenemos un poco la idea

intuitiva y de dónde surge esto de la

necesidad de la herramienta de la

integración vamos a ver cómo se

desarrolla y cómo se forma listo

a quienes según se cuenta pues existe un

desarrollo paralelo encima en india en

otros países pero sin producirse ningún

avance significativo con respecto a este

método de agotamiento que desarrollaban

en la antigua grecia

cuando se produce el primer avance

significativo o el primer avance

significativo se produce cuando newton y

leibniz desarrollan el cálculo

diferencial el cálculo infinitesimal que

consiguen demostrar el teorema

fundamental del cálculo donde se

relacionan la operación derivada y la

operación integral como operaciones

naturalmente inversa entonces qué

significa esto que si yo tengo que esta

función a efe es derivada de esta

función s mayúscula es decir que f prima

e igual a efe pues esta función de f me

va a determinar de forma exacta el área

delimitada por esta curva de la función

s minúscula entonces en este sentido se

amplía muchísimo la cantidad de

problemas que se pueden resolver en este

sentido sin embargo la noción de

integral pues aún nos queda bien

formalizada newton y leibniz lo que

consiguen es dar un resultado que nos

permite calcular áreas de muchísimas más

funciones

pero no es un método generalista cuando

se formaliza el concepto cuando se

define de forma rigurosa pues esto ya

fue el amigo riman el amigo rima

otro de los grandísimos riman tiene

muchísimas contribuciones al campo de

las matemáticas tiene una gesta para mi

punto de vista muy loable que es que en

su momento se cuestionó la geometría

euclídea la geometría de euclides que

era la que estaba establecida y la que

era común y aceptada en su época abrió

la mente desarrolló todo un nuevo campo

de conocimiento que permitió a

muchísimas áreas desarrollarse la

geometría diferencia la topología

diferenciar gracias a eso todas estas

contribuciones y las generalizaciones

que hizo en la geometría diferencial hay

una geometría que se conoce como

geometría de riemann la geometría del

imán es la que permite a einstein

enmarcar su teoría general de la

relatividad

y si no tienes bastante con esto pues

tiene otra cosa la hipótesis de riemann

uno de los seis problemas del milenio

que todavía está sin resolver la zeta de

riemann que tiene un montonazo de

aplicaciones en física y en estadísticas

que está entrelazada encima con un

concepto que si cabe

matemáticamente más puro que es la

distribución de los números primos que

es un misterio actualmente hay

superficies de riemann variedades de

yemas geometría de riemann integral de

riemann integral de riemann vamos a

quedarnos con eso integral de 10 más

esa es la integral que nosotros

comúnmente usados como formalizó riman

la integral pues gracias a qué causa ya

había estado por ahí formalizando puesto

del concepto del límite dijo lo

siguiente yo tengo una curva

y voy a calcular el área en el intervalo

ave de esta curva entonces yo voy a

hacer algo parecido al método de

extracción el método de agotamiento que

hacían los griegos esto pues yo cojo el

intervalo lo divido en dos trozos y con

los extremos inferiores me creó dos

rectángulos pues con esos dos

rectángulos yo puedo aproximar el área

de esa integral y dijo por siempre de

utilizar dos cuadrados uso tres la

aproximó mejor igual que hemos visto

aquí del pentágono al hexágono y así

sucesivamente

si yo utilizará cuatro pues me estaría

aproximando bastante más de forma que la

suma de las áreas de estos cuatro

rectángulos aproxima el área de mi curva

y así sucesivamente

yo puedo dividir el intervalo que me dan

en m intervalos iguales m/m sus

intervalos del mismo tamaño cuál va a

ser el tamaño de cada uno de estos sub

intervalos pues bien el tamaño de este

de aquí es d

y si no dividiendo en n trozos pues de

menos a partido n por lo tanto la base

de cada uno de estos rectángulos para

tener este tamaño cuál va a ser la

altura de cada uno de estos rectángulos

pues por ejemplo de este primer

rectángulo yo tendría que ser a la

imagen de la función f

de este segundo rectángulo

la altura va a ser ese de a más justo el

tamaño del intervalo este de menor

partido en el cual será la de este

tercer rectángulo pues será ese de más

de menos a partido n por 2 añadió del

rectángulo estoy todo bases más arriba

que el principio y así sucesivamente

como yo sé que cada rectángulo su área

de base por altura pues yo tendré que el

área de este primero es de menos a

partido m por el pda le tendría que

sumar la de este segundo de menos

partido n por f

+ bms - partido n más la del tercero de

menos a partido ene efe de a más de

menos a partido n por 2 y así

sucesivamente de forma que yo podría

escribir esto en forma de sumatorio de

menos a partido n

de la suma que tengo de menos a partir

de en el factor común

efe

más o menos partido n por acá acá es un

número que va desde cero no sumó nada

hasta una unidad menos de los intervalos

que tenga n 1 cuanto más grande sea la

cantidad de intervalos que tengo mejor

aproximó el área de la curva por lo

tanto dijo pues hago el límite cuando n

tiende a infinito y esto va a ser

exactamente la integral entre a y b de

fx diferencial de aquí

y esto es lo que se conoce como integral

en el sentido de riemann y es la que se

usa el 99 9% de las veces que estamos

integrando en el 99 9% de las

asignaturas en las que estudiamos

integración sin embargo es verdad que a

niveles universitario algunas veces se

da un paso más y se introduce una

generalización de esta integral que se

llama integral de leves que le veis que

generalizó tu esta historia de las

integrales basándose en la teoría de la

medida definió la integral de un

conjunto respecto a una medida por lo

tanto la mayoría de vosotros por ahora

lo único que necesitáis es saber que

existe otro tipo de integral la integran

de leves y no extrañaron cuando escuché

alguna vez integrar en el sentido de

rima o integran en el sentido leves son

dos definiciones que se usan de forma

más o menos común

integral la integral de leves y que como

ya hemos dicho más general

esto significa que toda su visión

integrable de riemann va a ser

integrable el de berger pero hay

funciones que sí tienen integral en el

sentido del everest pero no tiene

solución en el sentido de rima el marco

donde se define la integral de leves que

es muchísimo más complejo porque está

envuelto en la teoría de la medida la

teoría de la medida un campo del

análisis matemático muy específico que

se encarga de estudiar de forma

detallada los conceptos de longitud sin

embargo lo que sí podemos hacer es dar

una idea intuitiva de qué es esto del

integral de leves de la integral de

leves que la diferencia que tiene con la

integral de riemann que lo que hace son

subdividir el dominio en trocitos para

formar rectángulo la integral de leves

que lo que hace es dividir

la imagen y entonces forma rectángulos

del mismo tamaño y calcula su suma

esta sería la idea intuitiva de integrar

de la densidad pero como os digo esto no

es muy riguroso esto ya estamos a nivel

divulgativo entonces el que llegue a

universidad ya se irá enterando de todas

estas cosas de que es conjunto medibles

conjunto de medidas 0 etcétera todo este

tipo de cosas de la teoría de la medida

entonces hasta aquí un nivel de cultura

general

más o menos básico lo único que nos

faltaría a decir pues para saber un

poquito más del tema es que como hemos

dicho al principio del vídeo esto está

aún en desarrollo todavía hay

generalizaciones que se producen de la

definición de integral a principios del

siglo pasado apareció lo que se llamaba

integral de hito que era una integral de

un proceso estocástico con respecto a un

proceso estocástico un proceso

estocástico es un proceso que toma

valores aleatorios a lo largo del tiempo

entonces esto es súper esto es

muy difícil imaginaros que queréis

integrar una la evolución de unos

precios en bolsas sobre sobre

serie de bolsa entonces estas son cosas

que ya se nos escapan a los mortales que

estamos en matemática relativamente

genérica pero nunca está de más saber

que existen estas cosas en el setenta y

pico setenta y cinco por ahí se

generaliza eso con una integral se llama

integral de es coll ojos

de todo esto de proceso estocástico es

decir que la integración es vanguardia

en el estudio en la matemática pura

todavía se está investigando sobre esto

en mecánica cuántica están diciendo que

cualquier trayectoria entre dos puntos

pues contribuye a la probabilidad de que

una partícula vaya de un punto a otro

entonces la medida de estas curvas son

integración y ahí se está investigando y

que no se ha conseguido nada de forma

rigurosa a día de hoy entonces como os

digo esto es un tema súper actual

y súper difícil este vídeo no ha servido

para hacernos una idea para digamos

desligarnos un poco de esta restricción

de que la integral es la operación

inversa de la derivada y punto no es

mucho más es mucho más es una

herramienta de medida una herramienta de

medida con muchísimas aplicaciones en el

cálculo en la probabilidad en todo lo

que tenga que ver con el cálculo de

áreas de superficie de volúmenes de

perímetro etcétera

a lo que a nosotros nos interesa a

nuestro nivel que es calcular el área

delimitada por una curva y el eje de la

equis o el área de la región delimitada

por dos curvas pues sobre eso grava un

par de vídeos para ilustrar sobre la

forma estándar de proceder para no

olvidarnos mucho y resolverlo de la

forma más sencilla posible entonces

espero que os haya gustado este vídeo

que es un poco así divulgativo ya sabes

cómo se define la integral y como

siempre pues si tenéis alguna duda os

invito a que os con este ya los directos

o que escribáis en los comentarios y

podemos discutir lo que queráis