LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y SU IMPORTANCIA

Summary

El guion ofrece una exploración fascinante de los números complejos, su historia y su importancia en las matemáticas modernas. Se ilustra cómo estos números, inicialmente llamados 'imposibles', han evolucionado para ser fundamentales en áreas como la geometría algebraica y la teoría de sistemas dinámicos. El script también aborda conceptos complejos como la multiplicación y la raíz cuadrada de -1, y cómo se representan en el plano. Además, se muestra cómo los números complejos se relacionan con la creación de fractales, incluyendo el conjunto de Julia y el conjunto de Mandelbrot, destacando su belleza y complejidad en la ciencia contemporánea.

Takeaways

• 📚 La obra matemática del hablante está centrada en los números complejos, contribuyendo al avance de la geometría algebraica y la teoría de sistemas dinámicos.
• 🔍 Los números complejos tienen una larga historia y fueron inicialmente llamados 'números imposibles', pero hoy en día se utilizan en las ciencias y han dejado de ser misteriosos.
• 🎨 Gracias a los números complejos, es posible construir conjuntos fractales hermosos, como se muestra en la película 'La dinámica del conejo'.
• 📐 Los matemáticos representan números complejos en el plano, donde la suma y multiplicación de puntos corresponden a operaciones geométricas de vectores.
• 🔄 La multiplicación por -1 se visualiza como una rotación de 180 grados en el plano, lo cual es fundamental para entender la raíz cuadrada de -1.
• 🌐 Los números complejos se pueden representar en un plano y también en una esfera, donde el polo norte representa el infinito.
• 🔢 Se definen dos nociones importantes para los números complejos: el módulo, que es la distancia al origen, y el argumento, que es el ángulo con el eje positivo.
• 🔄 Al multiplicar números complejos, los módulos se multiplican y los argumentos se suman, lo que permite entender la proyección exterior gráfica.
• 🌀 Las transformaciones de números complejos, como la potencia y la similitud, pueden ser visualizadas y tienen efectos sobre las imágenes, como el tamaño y la orientación.
• 🔮 Los conjuntos de Julia y Mandelbrot son ejemplos de fractales que surgen de las transformaciones repetidas de números complejos, mostrando patrones detallados y bellos.
• 🌌 El conjunto de Mandelbrot, en particular, es una isla negra rodeada de un mar que permite ver detalles microscópicos, representando la belleza y complejidad del caos.

Q & A

¿Qué es el número complejo y cómo se relaciona con la geometría y la álgebra?

Los números complejos son una extensión de los números reales que incluyen una unidad imaginaria, comúnmente denotada como 'i', donde 'i' elevado a la segunda potencia es igual a -1. Esta extensión permite resolver ecuaciones que no tienen soluciones en los números reales y se relaciona con la geometría y la álgebra al permitir la representación de puntos en el plano y la realización de operaciones geométricas como sumas y multiplicaciones de vectores.

¿Cómo se describe el concepto de 'número imaginario' en el script?

En el script, el 'número imaginario' se describe como una idea que surgió para resolver la cuestión de multiplicar por -1, lo que llevó a la creación de la unidad imaginaria 'i'. Los números imaginarios son parte de los números complejos y son representados por puntos fuera de la recta real en el plano complejo.

¿Qué es la 'teoría de los sistemas dinámicos' y cómo se relaciona con los números complejos?

La teoría de los sistemas dinámicos es un área de las matemáticas que estudia cómo las cosas cambian con el tiempo en sistemas que se transforman de manera predecible. Los números complejos son fundamentales en esta teoría, ya que son utilizados para describir y modelar la evolución de sistemas dinámicos complejos.

¿Qué es la 'geometría algebraica' y cómo se relaciona con la representación de puntos en el plano?

La geometría algebraica es un área de las matemáticas que utiliza el álgebra para estudiar propiedades y objetos geométricos. En el script, se relaciona con la representación de puntos en el plano al describir cómo la suma y multiplicación de puntos (números complejos) en el plano se pueden realizar de manera similar a la de números reales, lo que es una base para la geometría algebraica.

¿Qué es el 'módulo' de un número complejo y cómo se mide?

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen al punto correspondiente en el plano complejo. Se mide utilizando una regla en el plano, donde el módulo es la longitud del vector que representa al número complejo.

¿Qué es el 'argumento' de un número complejo y cómo se determina?

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma la línea que une el origen con el punto correspondiente al número complejo con el eje real positivo. Se determina midiendo el ángulo en el plano complejo, generalmente en grados o radianes.

¿Qué son las 'transformaciones conformes' y cómo se relacionan con los números complejos?

Las transformaciones conformes son funciones que preservan las ángulos locales entre curvas en el plano. En el contexto de los números complejos, estas transformaciones pueden ser representadas por operaciones como la multiplicación y la división de números complejos, que cambian los módulos y argumentos de los puntos en el plano sin distorsionar las formas.

¿Qué es el 'conjunto de Julia' y cómo se relaciona con las transformaciones de números complejos?

El conjunto de Julia es un conjunto fractal que se define a partir de la repetición de una transformación simple en los números complejos. Se relaciona con las transformaciones de números complejos al determinar si, al aplicar una transformación repetidamente, el resultado se mantiene en un cierto conjunto o se aleja hacia el infinito.

¿Qué es el 'conjunto de Mandelbrot' y cómo se relaciona con el estudio de los conjuntos fractales?

El conjunto de Mandelbrot es un conjunto fractal que se utiliza para estudiar las propiedades de los conjuntos de Julia. Se relaciona con el estudio de los conjuntos fractales al proporcionar una visualización de los valores de 'c' (un parámetro en la transformación de Julia) para los cuales el conjunto de Julia se comporta de manera 'buena', es decir, no se dispersa infinitamente.

¿Cómo se describe la 'proyección exterior gráfica' en el script y qué representa?

La proyección exterior gráfica se describe en el script como un método para representar cada punto del plano (cada número complejo) en un punto correspondiente en una esfera. Esta representación es útil para visualizar y entender las propiedades de los números complejos y sus transformaciones en un espacio tridimensional.

¿Qué es la 'transformación de potencia' y cómo se relaciona con los números complejos?

La transformación de potencia es una operación en la que cada número complejo 'z' se transforma en 'z' dividido por un número real. En el script, se utiliza para ilustrar cómo esta transformación afecta la imagen de un objeto, reduciendo su tamaño en función de la potencia aplicada.

Outlines

00:00

🔍 Introducción a los números complejos

El primer párrafo presenta una introducción a los números complejos, destacando su importancia en el avance de la geometría algebraica, álgebra y teoría de sistemas dinámicos. Se menciona su larga historia y cómo inicialmente fueron llamados 'números imposibles', pero con el tiempo se han vuelto esenciales en las ciencias, especialmente en la construcción de conjuntos fractales. El hablante comparte su experiencia en la creación de contenido sobre esta materia, incluyendo una película animada sobre la dinámica de fractales.

05:02

📚 Geometría algebraica y operaciones con números complejos

En este segmento, se explora cómo los números complejos se relacionan con la geometría algebraica, comenzando con la idea de sumar puntos en un plano y multiplicarlos, lo cual tiene implicaciones geométricas como el cambio de posición y la rotación. Se explica cómo la multiplicación por -1 implica una rotación de 180 grados, y cómo la raíz cuadrada de -1 se interpreta geométricamente como una rotación de 90 grados, llevándonos a la definición de números imaginarios y su representación fuera de la recta horizontal.

10:04

📐 Representación y operaciones con números complejos en el plano

El tercer párrafo se enfoca en la representación de números complejos en el plano y cómo se pueden sumar y multiplicar estos números de manera similar a los números reales. Se introducen conceptos como el módulo y el argumento de un número complejo, que son la distancia al origen y el ángulo con el eje de las abscisas, respectivamente. Además, se describe cómo el producto de dos números complejos se relaciona con la multiplicación de sus módulos y la suma de sus argumentos.

15:09

🌐 Proyección estereográfica y transformaciones de números complejos

Aquí se discute la proyección estereográfica, que asigna a cada número complejo un punto en una esfera, con la excepción del polo norte que representa el infinito. Se describen varias transformaciones de números complejos, como la potencia, la multiplicación por un número complejo y las similitudes, que combinan rotaciones y escalamientos. Estas transformaciones muestran cómo los números complejos pueden alterar imágenes y patrones de manera significativa.

20:10

🔄 Transformaciones y conjuntos de Julia y Mandelbrot

El quinto párrafo profundiza en las transformaciones de números complejos, ejemplificadas con el cuadrado de un número y la inversa de un número complejo. Se introducen los conjuntos de Julia y Mandelbrot, que son fractales generados a partir de iteraciones de funciones complejas. Se muestra cómo los puntos dentro de ciertos conjuntos se mantienen estables, mientras que los fuera se alejan al infinito, demostrando la belleza y complejidad de estos patrones fractales.

25:12

🎨 La belleza y el caos en los números complejos

En el último párrafo, el hablante reflexiona sobre su interés en los números complejos y fractales, no solo por su belleza, sino también por su relevancia en la comprensión del caos en la ciencia contemporánea. Se argumenta que la simplicidad de ciertos fenómenos matemáticos puede generar estructuras complejas, y que el estudio de estas puede proporcionar insights valiosos en el análisis de sistemas caóticos.

Keywords

💡números complejos

Los números complejos son un tipo de número que combina una parte real y una parte imaginaria, generalmente representados en la forma a + bi, donde 'a' es la parte real, 'b' es la parte imaginaria y 'i' es la raíz cuadrada de -1. En el video, se discute cómo los números complejos han evolucionado desde ser considerados 'imposibles' hasta ser esenciales en áreas como la geometría algebraica y la teoría de sistemas dinámicos, y cómo se representan gráficamente en el plano.

💡geometría algebraica

La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza el álgebra para estudiar propiedades y objetos geométricos. En el video, se menciona que la geometría algebraica comienza con la idea de relacionar la geometría con el álgebra, permitiendo sumar y multiplicar puntos en el plano, lo que es fundamental para entender los números complejos y sus representaciones.

💡teoría de sistemas dinámicos

La teoría de sistemas dinámicos se refiere al estudio de cómo las cosas cambian con el tiempo en sistemas que se rigen por leyes matemáticas. En el contexto del video, los números complejos son importantes en esta teoría porque permiten modelar y analizar comportamientos complejos a través de transformaciones y fractales.

💡números imaginarios

Los números imaginarios son una extensión de los números reales que incluyen la raíz cuadrada de -1, representada por 'i'. Aunque en el video se menciona que a veces se les llama 'imaginarios', se destaca que su uso es fundamental para entender y trabajar con números complejos, más allá de ser solo una 'imaginación' de los matemáticos.

💡fractales

Los fractales son figuras geométricas que exhiben detalles a escalas arbitrariamente pequeñas y son autosimilares, lo que significa que sus partes tienen una estructura similar a la del todo. En el video, se menciona que gracias a los números complejos se pueden construir conjuntos fractales hermosos, y se destaca cómo estos fractales son esenciales en el estudio de la belleza y la complejidad en las matemáticas.

💡módulo

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen al punto correspondiente en el plano complejo. En el video, se describe cómo medir el módulo de un punto en el plano y cómo es fundamental para entender las propiedades de los números complejos, como la magnitud de un vector en el espacio.

💡argumento

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma la línea que une el origen con el punto correspondiente al número complejo con el eje real. En el video, se muestra cómo el argumento es importante para entender la orientación de un número complejo en el plano y cómo se relaciona con la rotación en el espacio.

💡transformaciones

Las transformaciones en el contexto de los números complejos y los fractales son operaciones que cambian la posición, el tamaño o la forma de un objeto en el plano complejo. En el video, se exploran diferentes tipos de transformaciones, como la multiplicación, la potencia y la inversión, y se muestra cómo estas transformaciones afectan visualmente a las imágenes y a los conjuntos fractales.

💡conjunto de Julia

El conjunto de Julia es un tipo de fractal definido por una ecuación iterativa que involucra la multiplicación de un número complejo por sí mismo y la suma de otro número complejo fijo, 'c'. En el video, se muestra cómo el conjunto de Julia se comporta de manera diferente dependiendo del valor de 'c', y cómo estos conjuntos fractales son una manifestación visual del caos y la belleza en las matemáticas.

💡conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot es un fractal famoso que se utiliza para estudiar la estabilidad en las迭代s de ecuaciones complejas. En el video, se describe cómo el conjunto de Mandelbrot se compone de un conjunto de 'islas' negras rodeadas por un 'mar' que permite ver los 'fondos submarinos', y se hace zoom en su interior para mostrar la complejidad y la belleza de sus detalles a una escala microscópica.

Highlights

La obra matemática se centra en los números complejos, contribuyendo al avance de la geometría algebraica y la teoría de sistemas dinámicos.

Los números complejos tienen una larga historia, desde Tartaglia y los pioneros del Renacimiento hasta Cushing y la consolidación en el siglo XIX.

Los números complejos, inicialmente llamados 'imposibles', han invadido las ciencias y se han convertido en herramientas esenciales.

Se puede construir hermosos conjuntos fractales gracias a los números complejos, como se muestra en la película 'La dinámica del conejo'.

La relación entre la geometría y la tierra es el inicio de la geometría algebraica, donde se suman puntos en lugar de números.

La multiplicación de puntos en el plano complejo se muestra como una transformación geométrica de vectores.

La multiplicación por -1 envía un punto a su simétrico con respecto al origen, una rotación de 180 grados.

Robert Alan propuso la idea de la raíz cuadrada de -1 como una rotación de 90 grados, llevándonos fuera de la recta horizontal.

Los números complejos se pueden representar en el plano, donde cada punto tiene un número complejo correspondiente.

La suma y multiplicación de números complejos se describen como operaciones de vectores en el plano.

Se definen el módulo y el argumento de un número complejo, con el módulo siendo la distancia al origen y el argumento el ángulo.

El módulo del producto de dos números complejos es el producto de los módulos, y el argumento es la suma de los argumentos.

La proyección exterior gráfica relaciona cada número complejo con un punto en una esfera, añadiendo el concepto de infinito.

Las transformaciones de números complejos, como la potencia y la similitud, muestran cómo se modifican las imágenes.

La multiplicación de un número complejo por sí mismo (z^2) duplica el argumento y eleva al cuadrado el módulo.

Las transformaciones conformes preservan las formas a pesar de las variaciones en el tamaño y las distancias.

Los conjuntos de Julia y Mandelbrot son ejemplos de fractales que muestran la belleza y el caos en las matemáticas.

El conjunto de Mandelbrot se describe como una isla negra rodeada de un mar tropical con detalles microscópicos.

La belleza y el placer en la comprensión de estos objetos matemáticos son motivos suficientes para dedicar tiempo a su estudio.

Los fenómenos simples en matemáticas pueden generar estructuras ricas y esenciales en la ciencia actual.

Transcripts

soy alguien tú allí

toda mi obra matemática está centrada en

los números complejos

contribuía al avance de la geometría

algebraica y de la teoría de los

sistemas dinámicos

estos números tienen una larga historia

a su izquierda pueden mirar tartaria y

cargan a los pioneros que vivieron

durante el renacimiento a la derecha

cushing aus quienes consolidaron la

teoría en el siglo 19

los números complejos no son tan

complejos como podríamos creerlo

se les llamó primero los números

imposibles y todavía los llamamos a

veces imaginarios

es cierto necesitamos un poco de

imaginación hoy en día estos números han

invadido las ciencias y dejaron de ser

misteriosos

en particular gracias a ellos podemos

construir hermosos conjuntos fractales

yo trabajé mucho en ese tema incluso

realicé una película la dinámica del

conejo una de las primeras películas

animadas de matemáticas voy a empezar

por explicar en los números complejos el

pizarrón

a los matemáticos les gusta escribir

conquistas

verán que la regla la escuadra y el

transportador se comportan a veces de

forma poco habitual

trazamos una recta graduada en la pisa

nula

una de las más bellas ideas matemáticas

es la de relacionar la geometría y la

tierra

es el inicio de la geometría algebraica

de la misma forma en la que sumamos

números podemos sumar puntos

tomemos un punto rojo en la recta y otro

azul

su menos dos puntos

es el punto verde 1 2 y 3

si los puntos rojo y azul se desplazan

lo mismo pasa con el punto verde que su

suma

aún más interesante podemos multiplicar

puntos

observemos por ejemplo la multiplicación

por menos 2

transforma el punto 1 en el punto menos

2

[Música]

si volvemos a multiplicar por menos 2

tenemos que hacer el mismo movimiento

cambiar de lado con respecto al origen y

duplicar la distancia el origen

obtenemos por supuesto 4

si multiplicamos dos veces seguidas por

menos 2 multiplicamos por 4

la multiplicación por menos 1 es más

sencilla

cada punto es enviado a su simétrico con

respecto al origen

es decir hay que dar media vuelta con

una rotación de 180 grados si prefieren

si multiplicamos un número por sí mismo

el resultado es siempre positivo

por ejemplo si multiplicamos por menos 1

la media vuelta entonces si lo hacemos

una segunda vez regresamos al punto de

inicio es por esta razón que menos 1 x

menos 1 es igual a más 1

vean por ejemplo que la multiplicación

por menos 1 envía al 2 al menos 2 y que

si volvemos a multiplicar por menos 1

regresan los saltos evidente 1 entonces

no hay ningún número que multiplicado

por sí mismo de menos 1

dicho de otra forma menos uno no tiene

raíz cuadrada

[Música]

pero olvidamos contar con la imaginación

de los matemáticos

robert alan tuvo una hermosa idea a

principios del siglo xix se dijo cómo

multiplicar por menos uno decida 180

grados su raíz cuadrada es ir a la mitad

girar 90 grados

si giramos dos veces un cuarto de vuelta

damos media vuelta

y el cuadrado de un cuarto de vuelta es

media vuelta es decir menos 1

basta para pensarlo

haga declaró entonces que la raíz

cuadrada de menos 1 corresponde al punto

que es la imagen del 1 bajo una rotación

de 90 grados

pero eso nos obliga a salir de la recta

horizontal

acabamos de atribuirle un número a

puntos del plano que no están en la

recta

como la construcción es un poco rara

decimos que dicho punto raíz cuadrada de

menos 1 es un número imaginario y los

matemáticos lo denotan y

pero una vez que nos atrevemos a salir

de la recta lo que sigue es más sencillo

podemos representar 23 etcétera a todos

los puntos del plano les corresponde un

número complejo y recíprocamente todo

número complejo define un punto del

plano

los puntos del plano se han convertido

en números legítimos

estos números se pueden sumar como los

números ordinarios

observen el punto rojo que es el número

125

sumemos de 3 más

[Música]

qué es el punto azul

podemos realizar la suma como aprendemos

en destruirla el resultado es 4 + 3

del lado geométrico lo que hacemos de

sumar vectores

los números complejos se suman sin

problemas

mucho más interesante y los números

complejos también se pueden multiplicar

de la misma forma que los números reales

veamos

[Música]

sabemos multiplicar un número complejo

por 2 por ejemplo dos por uno más y da 2

más 2 etc

del lado geométrico es fácil multiplicar

por dos y de tantos por dos el doble del

punto rojo es el punto verde

tampoco multiplicar por y es difícil ya

que sabemos que corresponde a un cuarto

de vuelta

para multiplicar tres más y por y basta

girar el punto a un cuarto de vuelta

llegamos al menos uno más triste

y tan complejo los números complejos

[Música]

finalmente podemos multiplicar los

números complejos cualesquiera sin

problema

y tenemos por ejemplo multiplicar 2 más

1.5 y por menos 12.4

como de costumbre multiplicamos primero

por 2 y luego por 1.5 y sumamos los dos

resultados

[Música]

obtenemos

[Música]

entonces menos dos más 4.8 y menos 1.5 y

3.6

pero recordemos que y al cuadrado es

igual a menos 1 es para eso que lo

inventamos

[Música]

da - 24.8 y más etcétera

[Música]

volveremos un poco y tenemos que menos

dos menos 3.6 4.8 y menos 1.5 y

es decir menos 5.6 más 3.3

y listo

somos capaz de multiplicar los números

complejos dicho de otra forma

sabemos multiplicar puntos del plano

es increíble creíamos que el plano de la

dimensión 2 ya que necesitamos los

números para describir la posición de un

punto cualquiera y ahora les digo es

suficiente con un solo número claro que

hemos cambiado de números se trata ahora

de números complejos

[Música]

vamos a definir dos nociones el módulo y

el argumento del número complejo

[Música]

el módulo de un número complejo z es

sencillamente la distancia del origen al

punto correspondiente del plano

tomemos la regla para medir el módulo

del punto rojo que es 2 más 1.5

observemos que medimos 2.5 entonces el

módulo de 21.5 y es 2.1

para el punto azul obtenemos 2.6 y para

el punto verde que es el producto de los

puntos rojo y azul obtenemos 6 puntos y

es un hecho general el modo del producto

de dos números complejos es el producto

de los módulos de los dos números

[Música]

el argumento del número complejo se

obtiene midiendo el ángulo entre el eje

de las abscisas y la recta que va de

origen al punto

aquí por ejemplo el argumento del número

complejo rojo es igual a 36 puntos 8

grados el del punto azul es de 112

puntos 6 grados desde el producto el

punto verde es 149.4 grados es la suma

de los argumentos de los dos números

cuando multiplicamos los números

complejos los módulos se multiplican y

los argumentos se suman

[Música]

terminemos nuestro primer encuentro con

los números complejos con la proyección

exterior gráfica

tomemos una esfera tangente al piso

utilizando la proyección exterior

gráfica a cada punto del pizarrón decir

a cada número complejo le corresponde un

punto de la esfera

solo el polo norte de la esfera es decir

el polo de proyección no está asociado a

ningún nombre complejo

decimos que está asociado al infinito

los matemáticos dice que la esfera es

una recta proyectada completa

porque es recta porque necesitamos un

solo número para describir sus puntos

porque hay compleja

porque dicho el número es complejo y

porque proyectiva porque agregamos un

punto al infinito cuando proyectamos

sobre la esfera qué raro son estos

matemáticos que dicen ahora que la

escena es una recta

voy a mostrarles algunas formaciones

transformaciones de que pues bien si no

les molesta transformaremos mi retrato

comencemos por algo sencillo la

transformación que hace está asigna

zetas sobre dos cada punto de la

fotografía corresponde al número

complejo z que dividimos entre dos

obtenemos otro punto su transformado y

por lo tanto una nueva imagen como verán

no hay sorpresas simplemente me envolví

dos veces más pequeño puesto que cada z

fue dividida entre dos esa

transformación se llama una potencia

pasemos a la multiplicación por 1000

qué fast sabemos que multiplicar por y

es simplemente girar un cuarto de vuelta

observé que el módulo no cambia pero que

el argumento aumenta 90 grados

qué manera tan complicada de decir que

giramos la foto

[Música]

tenga un poco más complicado la

multiplicación por un oasis

observen el número complejo uno más y

corresponde al punto de axis a uno y

ordenar a uno

su argumento es de 45 grados y su módulo

la raíz cuadrada de 2 según el teorema

de pitágoras multiplicar por uno más y

es pues por un lado multiplicar el

módulo por la raíz de dos y por el otro

añadir 45° el argumento en breve hay que

combinar una potencia y una rotación

a esa transformación le llamamos una

similitud

[Música]

ahora algo más interesante

vamos a transformar los puntos z en sus

cuadrados es decir multiplicaremos a z

por zeta

comencemos por ubicar la foto en un

lugar conveniente acorralada entre los

ejes de coordenadas

después nos alejamos un poco pues

elevado al cuadrado va a delatar mucho

las cosas y necesito un poco de espacio

para mostrarles todo eso

bien

ahora podemos transformar la foto

progresivamente

noten que el argumento de z al cuadrado

es dos veces el argumento de zeta de

manera que el ángulo recto del ángulo

inferior izquierdo de la foto es

duplicada por nuestra transformación se

vuelve un ángulo llano

ahora colocó la foto en otro lugar y

vamos a observar la misma transformación

set al cuadrado

van a constatar una vez más cómo se

duplican los argumentos

observen por ejemplo mi dedo índice

antes de la transformación su argumento

era más o menos de 45 grados y después

de la transformación esta vertical a 90

grados pero pueden también observar que

los módulos se elevan al cuadrado

[Música]

pasemos a una nueva transformación la

que envía al punto z sobre menos 1 /

zeta

no lo olviden con los números complejos

podemos sumar y multiplicar pero también

dividir excepto entre 0 por supuesto

nuevo acá esta imagen a la capilla

sixtina

los grandes números complejos aquellos

que tienen un gran módulo se vuelven

pequeños cuando tomamos su inverso y

recíprocamente

[Música]

ahora una transformación del mismo tipo

observen la forma

el valor de acá cambia paulatinamente

algunas partes se dilatan y otras se

contraen pero si observamos de cerca

vemos que las formas se preservan aunque

no las distancias

un círculo sigue siendo un círculo

aunque crezca mi mano creció y mi rostro

se hizo pequeño pero apuesto a que

todavía me reconocí

[Música]

una transformación más un poco más

complicada

[Música]

bueno no podemos realmente decir que se

trate de una dieta

pero no tiene una vez más que aunque

haya engordado la forma de las partes

pequeñas no ha cambiado se observa por

ejemplo un botón de mi camisa tiene

alguna forma de un círculo

decimos que esas transformaciones son

conformes por fas

voces latinas y complicadas para decir

que presentamos las formas con los

números complejos podemos hacer

realmente muchas cosas

y hasta tomar la exponencial si saben lo

que eso quiere decir pero inclusive si

no lo saben vean en suplicio al que el

exponencial me somete esa presión mi

cabeza no si miramos con un microscopio

cerca del origen veríamos mi barba

ahora que saben lo que son los números

complejos y que han visto algunas

transformaciones les voy a explicar una

de las cosas que estudie en detalle

vera que un cierto número de puntos

algunos al interior del disco de radio 1

son azules y otros al exterior son

amarillos

apliquemos la transformación zeta al

cuadrado varias veces consecutivas y

observemos el resultado

ven que los puntos azules permanecen en

el interior del disco y que por el

contrario los puntos amarillos se alejan

e inclusive salen de la pantalla

[Música]

decimos que el disco azul es el conjunto

de lluvia lleno de la transformación se

da la aceta cuadrado

los puntos situados en el exterior del

conjunto de julia se van al infinito si

repetimos indefinidamente la

transformación

pero podemos jugar a este juego con

otras transformaciones como por ejemplo

las de la forma se da al cuadrado más

donde se es un número complejo de

nuestra elección

para cada número complejo se tenemos

pues un conjunto de julia cuya forma

varía con c

[Música]

ven aquí algunos ejemplos

[Música]

fue este al que llamé el conejo

[Música]

para comprender cómo varían estas formas

les voy a mostrar dos cosas al mismo

tiempo

a la izquierda del lado rojo pero un

punto que va a desplazarse es el punto c

a la derecha en el conjunto de julia

correspondiente éste se deforma a medida

que se varía pero a veces para algunos

valores de s él junto de julia parece

desaparecer y ya no vemos nada en la

pantalla como ahora por ejemplo

la verdad es que el conjunto de lluvia

estalló en una infinidad de pedazos tan

pequeños que ya no vemos nada en la

pantalla

benoit mandelbrot quien popularizó los

conjuntos fractales propuso estudiar el

conjunto dibujado en rojo que describe

los valores de ce para los cuales el

conjunto de julia se lee bien en la

pantalla

es decir los valores para los cuales el

mundo de llúria no ha explotado en

múltiples pedazos por supuesto el

conjunto rojo se llama el conjunto de

mandelbrot

yo pasé mucho tiempo estudiando lo

para acabar les propongo observar al

conjunto de mandelbrot de cerca muy de

cerca y hacer un zoom hacia su interior

para que puedan ver hasta qué punto es

hermoso

aquí vamos admiren

permítanme ahora no explicarles todo

imaginen el conjunto de mandelbrot como

una isla negra rodeada por un mar

tropical que permite ver los fondos

submarinos

[Música]

pero os digo están viendo detalles

verdaderamente microscópicos si el

conjunto de mandelbrot tuviera el tamaño

de una cancha de fútbol pues bien los

detalles que vamos a examinar tendría el

tamaño de un átomo más o menos un

millonésimo de milímetro

[Música]

[Aplausos]

[Música]

[Aplausos]

[Música]

se preguntarán tal vez porque me

interesó todo esto en primer lugar y

antes que nada porque es bello y porque

la comprensión de estos objetos me

brindó un gran placer para mí esa es una

razón suficiente para consagrar el

tiempo pero también porque en esas

transformaciones aparentemente tan

simples está la esencia de lo que es el

caos tan importante en la ciencia de hoy

cosas simples generar estructuras ricas

el trabajo de un matemático es con

frecuencia el estudio de fenómenos

complicados en su encarnación más simple

posible