POWER SPECTRAL DENSITY OF RANDOM PROCESS

Summary

The video script delves into the concept of power spectral density and the analysis of random processes in digital communication. It introduces the topic with an overview of previous videos on random processes and then discusses the transmission of random processes through linear filters. The script covers the mathematical representation of convolution integrals and the properties of expected values and variances in the context of wide-sense stationary processes. It also explains the Fourier transform of autocorrelation functions and the inverse relationship, leading to the definition of the power spectral density. The educational content is aimed at students studying signal processing and communication systems, providing a detailed exploration of the theoretical foundations.

Takeaways

• 📚 The video discusses the topic of power spectral density and the autocorrelation function of random processes, focusing on the concepts from digital communication.
• 📈 The script explains the process of transmitting random processes through linear filters and the importance of understanding signals and systems in this context.
• 🔍 It covers the concepts of continuous and discrete signals, and how they are treated differently in linear convolution and discrete convolution.
• 📚 The video introduces the concept of the impulse response of a system and how it is used to determine the output when an input is applied.
• 🔢 The script delves into mathematical formulations, including the convolution integral, which is key to understanding how signals are processed within a system.
• 📉 The video explains the process of expectation and how it is used to calculate the expected value of both sides of an equation, which is crucial in signal processing.
• 📝 It discusses the properties of the autocorrelation function and how it is represented in the time and frequency domains.
• 🔧 The script covers the application of wide-sense stationary processes and how they are used to simplify the analysis of random processes.
• 📊 The video explains the concept of the power spectral density and its properties, including its relation to the autocorrelation function.
• 📐 The script provides a step-by-step walkthrough of solving integrals related to the properties of random processes, which is essential for understanding signal transmission.
• 🎓 The video concludes with a discussion on the properties of Gaussian random processes and their significance in signal processing, emphasizing the importance of understanding these concepts for students.

Q & A

What is the main topic of the video?

The main topic of the video is the Power Spectral Density (PSD) of random processes, including the concepts of linear time-invariant systems and their impulse responses.

What is meant by a 'random process' in the context of this video?

In this video, a 'random process' refers to a sequence or signal that is not deterministic and has some degree of randomness, which can be analyzed using statistical methods.

What is the significance of the impulse response in the context of linear time-invariant systems?

The impulse response of a linear time-invariant system is significant because it describes the system's reaction to a brief input signal, or impulse, and it is used to determine the system's output for any given input.

How is the concept of 'convolution' related to the discussion of random processes in the video?

Convolution is related to random processes as it is a mathematical operation that combines two functions to produce a third function that represents how the shape of one is modified by the other. In the context of the video, it is used to analyze the output of a system when a random process is applied as input.

What is the role of the expectation (E) in the equations discussed in the video?

The expectation (E) in the equations is used to calculate the expected value or mean of a random variable, which is a fundamental concept in understanding the behavior of random processes.

What is the difference between a continuous signal and a discrete signal as mentioned in the video?

A continuous signal is one that can take any value within a given range over a continuum of time, whereas a discrete signal is one that is defined at specific points in time and can only take on a finite number of values.

Can you explain the term 'Fourier Transform' as it is used in the video?

The Fourier Transform in the video is a mathematical technique that transforms a time-domain signal into its frequency-domain representation, allowing for the analysis of the frequency components of a signal.

What is the purpose of the 'autocorrelation function' in the analysis of random processes?

The autocorrelation function is used to measure the correlation of a signal with a delayed copy of itself. It provides insights into the similarity of a signal at different points in time and is crucial for understanding the statistical properties of random processes.

How does the 'Gaussian process' relate to the properties of random processes discussed in the video?

A Gaussian process is a type of random process where any finite collection of its random variables is multivariate normally distributed. It is mentioned in the video as an example of a process with specific properties, such as being stationary.

What are the properties of the 'PSD' that are discussed in the video?

The properties of the Power Spectral Density (PSD) discussed in the video include its representation of the power of a signal in the frequency domain, its relation to the autocorrelation function through the Wiener-Khinchin theorem, and its importance in understanding the power distribution of a random process.

What is the concept of 'stationarity' in the context of random processes?

In the context of random processes, 'stationarity' refers to a property where the statistical properties of the process do not change over time. A stationary process maintains a constant mean and autocorrelation function over time.

Outlines

00:00

📚 Introduction to Random Process Concepts

The script begins with an introduction to the topic of random processes, specifically focusing on spectral density and the expectation of random process properties. The speaker mentions previous videos related to random processes and emphasizes the importance of understanding the concepts before diving into spectral density. Key terms like 'continuous signal,' 'linear convolution,' and 'system impulse response' are introduced, setting the stage for a deeper exploration of signals and systems.

05:01

🔍 Exploring Time-Domain and Frequency-Domain Representations

This paragraph delves into the differences between time-domain and frequency-domain representations of signals and systems. The speaker discusses the properties of impulse response, the concept of linear time-invariant (LTI) systems, and the independence of time differences in wide-sense stationary (WSS) processes. The explanation includes the mathematical formulation of convolution integrals and the expected value of the output of a random process, highlighting the transition from input signals to output through system filters.

10:06

📐 Mathematical Treatment of Random Processes

The script continues with a detailed mathematical treatment of random processes, including the calculation of expected values and the properties of impulse response functions. The speaker explains the process of finding the output of a system when given an input, using integral calculus and the concept of autocorrelation. The paragraph also touches on the properties of the Fourier transform as it relates to the analysis of random processes.

15:07

📉 Understanding the Properties of Power Spectral Density

The speaker provides an in-depth look at the properties of power spectral density (PSD), explaining how it represents the distribution of power over frequency in a signal. The explanation includes the definition of PSD, its relation to the autocorrelation function, and its properties such as being non-negative and having a Fourier transform relationship with the autocorrelation function. The paragraph also discusses the concept of a wide-sense stationary process and its implications for PSD.

20:07

🔧 Practical Applications and Further Exploration of Random Processes

In this section, the script discusses practical applications of random processes, particularly in the context of signal processing and system analysis. The speaker talks about the crafting of a process through an LTI system, the concept of a weighted random process, and the properties of a Gaussian process. The paragraph also introduces the idea of a random process passing through a filter and the resulting output, leading to a deeper understanding of how random processes behave in different scenarios.

🎓 Concluding Remarks and Invitation for Further Study

The final paragraph wraps up the discussion on random processes by summarizing key points and inviting the audience to further explore the topic. The speaker emphasizes the importance of understanding the properties of random processes, such as stationarity and independence, and encourages students to apply these concepts to various problems. The paragraph concludes with a thank you for watching and an invitation to engage with more content on the subject.

Keywords

💡Spectral Density

Spectral Density is a measure used in signal processing to describe the distribution of power over frequency in a signal. It is central to the video's theme as it helps explain how random processes and signals are analyzed in the frequency domain. In the script, it is mentioned in the context of discussing random processes and their transmission through systems.

💡Random Process

A Random Process is a sequence of random variables that are typically used to model systems or phenomena where outcomes are uncertain. In the video, the concept is fundamental as it underpins the discussion on how signals and systems interact with random processes, such as in the analysis of signal transmission and filtering.

💡Linear Time-Invariant (LTI) System

An LTI System is a type of system that does not change over time and its response to a given input is always the same regardless of when the input is applied. The script discusses the transmission of random processes through such systems, emphasizing their importance in signal processing and systems theory.

💡Impulse Response

Impulse Response refers to the output of a system when it is excited by an impulse input. It is a key concept in the video as it is used to analyze the behavior of systems in response to inputs, particularly in the context of random processes and their effects on system outputs.

💡Autocorrelation Function

The Autocorrelation Function is a mathematical tool used to find the similarity between a sequence and a lagged version of itself over time. In the video, it is related to the properties of random processes and is used to understand the behavior of signals in time and frequency domains.

💡Fourier Transform

Fourier Transform is a mathematical technique that breaks down a signal into its constituent frequencies and is crucial in the script for converting signals from the time domain to the frequency domain. It is mentioned in the context of analyzing the properties of random processes and spectral density.

💡Stationary Process

A Stationary Process is one whose statistical properties do not change over time. The concept is important in the video as it discusses how certain random processes exhibit this property, which simplifies the analysis and understanding of their behavior over time.

💡Gaussian Process

A Gaussian Process is a random process for which every linear combination of the process is normally distributed. In the video, it is used to describe certain types of random processes and their properties, such as their mean and variance, which are key in signal analysis.

💡Power Spectral Density (PSD)

PSD is a measure of how the power of a signal or time series is distributed across different frequencies. It is a key term in the script as it is used to describe the spectral density of random processes, which is essential for understanding signal characteristics in various applications.

💡Expected Value

The Expected Value is a fundamental concept in probability theory and statistics that represents the average or mean value of a random variable. In the video, it is used to discuss the properties of random processes and their outputs, such as the expected value of the output signal from a system.

💡Convolution Integral

The Convolution Integral is a mathematical operation that combines two functions to produce a third function, which describes how the shape of one function is modified by the other. In the script, it is used in the context of signal processing to analyze the response of systems to inputs.

Highlights

Introduction to the channel and the topic of power spectral density of random processes.

Discussion on the concepts of signals and systems, specifically the impulse response of a system.

Explanation of continuous and discrete signals, and their linear convolution.

Introduction to the concept of wide-sense stationary processes and their properties.

The formula for convolution integral and its application in signal systems.

Calculation of expected values and variances in the context of random processes.

Understanding the transmission of random processes through linear filters.

Properties of the autocorrelation function and its role in signal analysis.

The Fourier Transform and its application to the analysis of frequency domain.

Definition and properties of the Power Spectral Density (PSD) function.

The relationship between the autocorrelation function and PSD.

Derivation of the formula for calculating the expected value of the output of a random process.

Explanation of the concept of a weighted random process and its update.

Properties of Gaussian processes and their significance in signal processing.

Discussion on the stationarity of random processes and its implications.

The concept of the transfer function and its role in system analysis.

Application of the properties of random processes in the analysis of digital communication systems.

Summary of the key properties and practical applications of random processes in signal processing.

Transcripts

हेलो और वेलकम बैक तू दिस चैनल देव

स्टूडेंट स्टूडेंट टॉपिक इस पावर

स्पेक्ट्रेल डेंसिटी आईटी इस अलसो

एवरीव्हीटेड एस एचडी ऑफ रेंडम प्रोसेस दिस

इस डी टॉपिक फ्रॉम सब्जेक्ट डिजिटल

कम्युनिकेशन इससे पहले मैंने आ कुछ वीडियो

बनाए हैं रिलेटेड तू दिस आ टॉपिक ऑफ रेंडम

प्रोसेस प्लीज डू वैसे वीडियो बिकॉज़ जो

डी थिंग्स डेट इंटरनल एन बिफोर डिस्कसिंग

दिस सीएसडी डेट इस पावर स्पैक्टेयर

डेंसिटी फर्स्ट मूवी बिल डिस्कस

ट्रांसमिशन ऑफ रेंडम प्रोसेस थ्रू लाइनर

फिल्टर अब देखो इसमें सिगनल्स और सिस्टम

के कुछ कॉन्सेप्ट्स लगे वाले हैं इन

सिगनल्स और टिप्स बिकॉज़ डी थिंग्स व्हाट

वे हैव स्टेटेड एक बॉक्स से जैसे इस

डायग्राम में देखा है

यहां पर मैंने लिखा है चोपति इस कॉल्ड

इंपल्स रिस्पांस ऑफ डी सिस्टम यहां से

इनपुट अप्लाई करते हैं इनपुट इस डिनोटेड

में एग्जॉटिक जो आउटपुट आएगा डेट इस डू

नॉटेड में वही और वही ऑफ टी इसे जिवन बाय

एग्जास्टी ऐश्ट हा ऑफ टी दिस नोटेशन

एस्ट्रिक स्टेंस पर कन्वॉल्यूशन अगर ये

कंटीन्यूअस सिग्नल है तो उसको बोलते हैं

कन्वॉल्यूशन इंटीग्रल डिस्क्रीट सिग्नल है

तो आईटी इसे कॉल्ड लाइनर कन्वॉल्यूशन

ऑलरेडी स्क्रिप्ट कन्वॉल्यूशन अलराइट से

कॉन्सेप्ट क्लियर यूजिंग ओवर हर एक सिस्टम

मैंने ड्रा किया है जिसका इंपल्स रिस्पांस

है हा ऑफ टी इनपुट में हम लोग

वेएसएसएसपी अप्लाई कर रहे हैं मतलब वाइड

सन स्टेशनरी प्रोसेस ये इनपुट में अप्लाई

कर रहे हैं नोटेशन इसे कैपिटल एक्सप्लोटी

पर वाइड सेंस स्टेशनरी प्रोसेस

इंपल्स रिस्पांस जो आउटपुट आएगा डेट इस डू

नॉटेड बाय वही

कैपिटल भाई आपकी यहां पे भी मैं कैपिटल

वाइड हूं लिखना हूं सो दिस इस डी आउटपुट

ये जो फॉर्मूला है दिस इस डी फॉर्मूला ऑफ

कन्वॉल्यूशन इंटीग्रल जो सिगनल्स सिस्टम

में लर्न किया जैसे मैंने बताया कुछ

कॉन्सेप्ट्स लगे वाले हैं सो वॅटीवर का

कॉन्सेप्ट्स रिक्वायर्ड आ आई बिल ब्रश ऑफ

डी थिंग्स तो ये फॉर्मूला है कनल्यूशन

इंटीग्रल का कन्वॉल्यूशन का फॉर्मूला है

इसमें ये जो नोटेशन है हा के साथ आईटी इस

डी नोटेशन तू विच इस डी डमी वेरिएबल यूज्ड

इन कन्वॉल्यूशन इंटीग्रल तो ये फॉर्मूला

कन्वॉल्यूशन इंटीग्रल का है सो दिस इस डी

इक्वेशन ऑफ आउटपुट आप एक सेंटेंस लिखने

हैं हम लोग टेक

एक्सपेक्टशंस ए ऑन बोथ सीड्स मतलब दोनों

सीड्स का हम एक्सपेक्टेशन कैलकुलेट करते

हैं मतलब एक्सपेक्टेड वैल्यू सो आई बिल

वैरायटी आईटी लाइक दिस यही पे मैं लिखना

हूं ए ऑफ ए ऑफ टी इस इक्वल्स तू ए ऑफ दिस

एंटायर थिंक सो वे हैव ते कान एक्सटेंशन

ऑन बोथ सीड्स

नो रिकॉल डी थिंग्स व्हाट वे आर स्टेड

एलियर एक्सपेक्टेशन के कैसे में अगर हमने

यह पहले यह डिस्कस ऐसे किया है ए ऑफ एक्स

ऑफ टी मतलब एक्सपेक्टेड वैल्यू ए माइनस

एक्सपेक्टेड वैल्यू एक्सपेक्टेड वैल्यू ऑफ

एक्स ऑफ टी इस डोनटेड बाय एम तू डी बैंक

कॅपिटल लाइक सोपति विच इस अलसो कॉल्ड मीन

वैल्यू सिर्फ नोटेशंस अलग हो गया पर

एग्जांपल एलएस सेट देख लो यहां पे क्या

लिखा है हमने एक्सपेक्टेड वैल्यू ऑफ ए ऑफ

टी तो इसके लिए नोटेशन मैं उसे करता हूं

एम तू डी बेस्ट ए ऑफ टी दिस इसे

एक्सपेक्टेड वैल्यू ऑफ आउटपुट वही ऑप्टिंग

अब ये जो इक्वेशन है ये एक्सपेक्टेशन है

और ये इंटीग्रेशन है तो ये जो

एक्सपेक्टेशन साइन है ये मैं एक्स के साथ

अप्लाई करता हूं हा ऑफ बिल रीमें आगे आईटी

इसे ये मैं रिअरेंज करके पहले लिखना हूं

सो आईटी इसे एन चॉप्ड आउट इन तू ऑफ मतलब

यहां पे एक्सपेक्टेशन एप्लीकेबल है

एक्सप्लोरर अप्लाई एक्सपेक्टेड

एक्सपेक्टेशन वैल्यू और एक्सपेक्टेड

वैल्यू वे वुड कैलकुलेट पर इनपुट एक्स ऑफ

डी कैपिटल एक्स ऑफ टी तो इसलिए यहां पे

पहले दोनों साइड एक्सपेक्टेशन लिया था यह

साइड जी वेरिएबल के लिए एप्लीकेबल है उसके

लिए मैंने ट्रांसफर किया अब से रूल अप्लाई

करना है ए ऑफ एक्स ऑफ टी तो यहां पे ए ऑफ

एक सॉफ्टी -2 मतलब यह पहले इंटीग्रेशन आज

आईटी इस लिखना हूं मैं दिस इसे हा ऑफ डव

आगे आईटी इसे देखो

यहां पे एक्स के साथ कैपिटल एक्स के साथ

ब्रैकेट में ही है से लॉजिक यहां पे मैं

लिखना हूं मैक्स ऑफ टी - टॉप और वेरिएबल

ऑफ इंटीग्रेशन बिल रीमें आगे आईटी इसे डेट

इसे टी टॉप अप हमने ये डिस्कस किया है की

इनपुट में हम लोग वाइड साइंस स्टेशनरी

प्रोसेस अप्लाई कर रहे हैं सो इन कैसे ऑफ

वाइड साइंस स्टेशनरी प्रोसेस से पहले के

वीडियो में मैंने ये कॉन्सेप्ट एक्सप्लेन

किया है मैक्स टॉप तू एक वेरिएबल है इसके

वजह में कोई भी वैल्यू कोई भी नोटेशन उसे

कर सकते हो टी मैंने स्टेबल टी - टी तू

वॅटीवर ये व्हाट दिस इंडिकेट्स आईटी

इंडिकेट्स डी टाइम डिफरेंस सो व्हाट वे जो

लर्न

इनके शॉप एक्सपेक्टेड वैल्यू और इनके शॉप

साइड स्टेशनरी प्रोसेस डी टाइम डिफरेंस इस

इमेटल डेट मेंस वाइड सेंसेशनल प्रोसेस

इंडिपेंडेंस ऑफ टाइम डिफरेंस सो आईटी इसे

से आगे एन एक्स सो मैक्स

ऑप्ट-टी-2 इंडिकेट्स टाइम डिफरेंस वाइड

सेंसेशनल प्रोसेस है तो वो इंडिपेंडेंस है

टाइम डिफरेंस है सो आईटी इसे से आगे मैक्स

और मैक्स ऑफ टी सो लेट स रिप्लेस दिस

वैल्यू मतलब मैक्स ऑफ टी - 2 के बदले में

ये वैल्यू मैं यहां पे पट करता हूं और दिस

वालुज कांस्टेंट आगे पर आगे इंटीग्रेशन इस

कंसर्न सो आई कैन टेक आईटी आउटसाइड डी

इंटीग्रेशन सो न्यू इक्वेशन कैन बी रिटन

आगे एम ए ऑफ टी इस ये मैं वैल्यू बाहर ले

रहा हूं मैक्स सॉफ्ट टी * इंटीग्रेशन -

इंफिनिटी तू प्लस इंफिनिटी शॉप तू आओ

एचपी इस इंपल्स रिस्पांस रिकॉर्ड डी

प्रॉपर्टीज ऑफ इंपल्स रिस्पांस विच वे हैव

लर्नटी इन सिग्नल

इन दिस सब्जेक्ट यू बिल हैव तू डायरेक्टली

मेंशन डी प्रॉपर्टी ऑफ तू राइट आईटी लाइक

दिस अकॉर्डिंग तू प्रॉपर्टी ऑफ कंक्लुजन

ऑफ यूनिटी इंपल्स दिस आंसर इसे कैपिटल और

टॉप जीरो कैपिटल हा ऑफ जीरो इस कॉल्ड डीसी

वैल्यू सो डायरेक्टली वे हैव तू उसे

प्रॉपर्टी और वे हैव तू राइट दिस आंसर आज

ऑफ जीरो सो नेक्स्ट इक्वेशन कैन बी रिटन

आगे एम ए ऑफ टी इसे इक्वल्स तू मैक्स का

टी *

टॉप जीरो इसे कॉल्ड डीसी वैल्यू सो यूनिट

तू मेंशन वन मोर सेंटेंस एम वे ऑफ टी इस

व्हाट एक्सपेक्टेड वैल्यू ऑफ डी आउटपुट ऑफ

रेंडम प्रोसेस सो एक्सपेक्टेड वैल्यू ऑफ

डी आउटपुट ऑफ रेंडम प्रोसेस इसे ऑब्टेन

बाय मल्टीप्लाई

मेंस एक्सपेक्टेड वैल्यू ऑफ इनपुट सिग्नल

सो एक्सपेक्टेड वैल्यू अबाउट आउटपुट

सिग्नल इस ऑब्टेंड में मल्टीप्लाइंग

एक्सपेक्टेड वैल्यू ऑफ इनपुट सिग्नल बाय

डी डेसिंग वालुज सो दिस इस अबाउट डी

ट्रांसमिशन ऑफ रेंडम प्रोसेस थ्रू लाइनर

फाइटर नो वे बिल सॉल्व एन न्यूमेरिकल

रिलेटेड तू डी ट्रांसमिशन ऑफ सिस्टम थ्रू

लता सिस्टम आ वाइड सेंस स्टेशनरी प्रोसेस

ूजफ इसे एप्लाइड तू इनपुट ऑफ एसटीएस

सिस्टम मतलब लाइनर टाइमिंग इन वेरिएंट

सिस्टम विथ इंपल्स रिस्पांस हा ऑफ टी दिस

इस डी जिवन डी वैल्यू ऑफ पिंपल्स रिस्पांस

ऑफ टी थ्री इन ए रेस तू -2t यू ऑप्ट फाइंड

मीन वैल्यू ऑफ आउटपुट ऑफ डी सिस्टम देवी

ऑफ एक्स ऑफ टी ए ऑफ एक्सपोर्ट एक्सपोर्ट

टीम मेंस एक्सपेक्टेड वैल्यू ऑफ इनपुट

इटेपुट में

अब कैसे सोचना है अपने पास अवेलेबल फोर

व्हील है ये है मोप टी मतलब में वैल्यू

आते डी आउटपुट इसे इक्वल तू मैक्स ऑफ टी

मीन वैल्यू ऑफ डी इनपुट ये जो दिया है

एक्सपेक्टेड वैल्यू से आगे में वैल्यू ऑफ

इनपुट डेट इस मीन वैल्यू ऑफ

एसएसपी विच इस एप्लाइड एट दे इनपुट इसका

वैल्यू मिंस वैल्यू ऑफ मैक्स ऑफ टी इसे

200

का वैल्यू कैलकुलेट करना है नो वे बिल उसे

डी कोरियर ट्रांसपोर्टेशन तू कैलकुलेट हा

ऑफ जीरो वे हो डी

डेफिनेशन ऑफ करियर ट्रांसफर

ओमेगा इस इंटीग्रेशन - इंफिनिटी तू प्लस

इंफिनिटी यहां पे मैं लिखना हूं एक शॉप टी

ए रेस तू -जे

ओमेगा टी दी हा ऑप्टिम इस जिवन वैल्यू

व्हाट वे आर लर्न इन सिग्नल सेंसिस्टेंस

कोई भी इक्वेशन अगर यू ऑप्ट से मल्टीप्लाई

करते हैं प्रॉपर्टी तो इन लिमिट्स

इंटीग्रेशन के होते हैं 02 इंफिनिटी

क्योंकि युवा पी इस डी यूनिट स्टेट तो ये

जो यू ऑफ टी है इसका उसे सिर्फ इंटीग्रेशन

चेंज करने के लिए करना है बाकी जब वैल्यू

पट करो तो इसमें सिर्फ ये थ्री इन ही

रेस्टो -2 के आएगा यू ऑब्टेन नहीं आएगा

थॉट्स व्हाट वे हैव लर्निंग सिगनल्स

असिस्टेंट तो उफ्ट की वजह से लिमिट्स मैं

लिखना हूं जीरो तू इंफिनिटी का वैल्यू

मतलब 3 * 3 = -2t जैसे मैंने बताया बाद

में नहीं देखना है इन इरेज़ तू -6 ओमेगा

टी लेट स सॉल्व दिस इंटीग्रेशन ये थ्री

बाहर लेंगे जीरो तू इंफिनिटी रेस तू माइंस

पी आम लेंगे तो ब्रैकेट में आएगा 2 + 6

ओमेगा

डीटी सो वे हैव तू नो सॉल्व दिस

इंटीग्रेशन मैथमेटिक्स सो आईटी इसे 3 इसका

इंटीग्रेशन का आंसर आएगा माइंस टी तू प्लस

शॉप ओमेगा / -2 + चेक ओमेगा दिस इसे डी

आंसर ऑफ इंटीग्रेशन इसमें लिमिट्स पट करना

है जीरो तू इंफिनिटी डू रिमेंबर हमें टी

के बदले में लिमिट्स पट करना है एक बार

अपर लिमिट पट करेंगे इंफिनिटी दूसरे बार

लोअर लिमिट पट करेंगे सो दिस बिल बी 3 *

देखो इंफिनिटी यहां पे पट करेंगे तो आंसर

आएगा ए रेस्ट तू माइंस इंफिनिटी क्योंकि

टी का वैल्यू इंफिनिटी है इंफिनिटी इन

एनीथिंग इस इंफिनिटी माइंस सन एस आईटी इस

रहेगा ए ^ -1 इंफिनिटी माइंस लोअर लिमिट

पट करेंगे यहां पे एक्चुअली मैंने जीरो

आएगा बट सन सिटी जीरो माइंस प्लस फोंट मेक

अन्य डिफरेंस

तू - इंफिनिटी मतलब जीरो - 1 /

-2 + 6 ओमेगा ये माइंस और ये माइंस प्लस

हो जाएगा

वैल्यू ऑफ हा ऑफ ओमेगा i5

हा ऑफ जीरो मतलब यह हा ऑफ ओमेगा का वैल्यू

आया है हा ऑफ जीरो मतलब वेरिएबल ओमेगा इस

देवर यू हैव तू पट जीरो तो यह आएगा 3 / 2

+ 0 मतलब हा ऑफ जीरो का वैल्यू ए जाए थ्री

फाइव तू नो लास्ट स्टेप वेरी सिंपल वे हैव

दिस फॉर्मूला सो लेट स पट डी वालुज देवर

पर एम बाय ऑफ टी = मैक्स ऑफ टी डेट वैल्यू

इस जिवन इन डी क्वेश्चन डेट इस

एक्सपेक्टेड वैल्यू ऑफ रेंडम प्रोसेस विच

इस तू इन दिस वैल्यू हा ऑफ जीरो जस्ट नो

वे कैलकुलेटेड आईटी इसे 3/2 सो दिउ तू गेट

कैंसिल सो फाइनल आंसर डेट इस मीन वैल्यू

ऑफ डी आउटपुट व्हेन एन वाइड सेनोरी

प्रोसेस इसे फास्ट थ्रू एसटीएस सिस्टम इस

मी ऑप्ट विच इस इक्विलास तू थ्री नो वे

बिल डिस्कस पावर स्पेक्ट्रेल डेंसिटी डेट

इस एचडी ऑफ रेंडम प्रोसेस एग्जाम पॉइंट ऑफ

व्यू से इससे रिलेटेड क्वेश्चंस कैसे क्या

एक्सपेक्ट कर सकते हो आप लोग लिस्ट आउट

प्रॉपर्टीज ऑफ एचडी और डिफाइन एचडी और

एक्सप्लेन इट्स प्रॉपर्टीज अब देखो मैंने

शॉर्ट में प्रॉपर्टी लिखा है आई बिल तेल

यू हो तू राइट डी एक्सप्लेन आप खुद भी लिख

सकते हो अगर ये इक्वेशन आप मेमोरीज करोगे

तो सो फर्स्ट ऑफ जो

डीएसपी वाइड सेंस स्टेशनरी प्रोसेस कैन बी

कैरेक्टर इन फ्रीक्वेंसी में मतलब रिकॉल

डी थिंग्स व्हाट वे आर स्टडीज इन सिग्नल

सेंसेज कभी भी हम लोग नोटेशन एग्जॉटिक उसे

करते हैं तो वे रीड आईटी लाइक दिस एक्स

इसे फंक्शन ऑफ टाइम पीरियड ये जो टाइम

पीरियड है आईटी इस कॉल्ड टाइम डोमेन लाइक

विजय देवर आर डिफरेंट सो वन ऑफ डी डोमेंस

इस फ्रीक्वेंसी डोमेन उसमें ये ऐसा

इंडिकेट करेंगे कैपिटल एक शॉप एफ

रिप्रेजेंट

सो वे हैव रिटर्न डेट अगर एक प्रोसेस है

अपने पास रेंडम प्रोसेस है वो वाइड सेंस

स्टेशनरी प्रोसेस है दें वे कैन

रिप्रेजेंट आईटी इन फ्रिक्वेंट डेट इस विद

रिस्पेक्ट तू फ्रीक्वेंसी

दें इट्स डेफिनेशन इस फोरिअर ट्रांसफॉर्म

डिस्फ़्टी मेंस पर योर ट्रांसफॉर्म करियर

ट्रांसफार्मर ऑफ ऑटो कॉरिलेशन फंक्शन इसे

एचडी दिस इस डी डेफिनेशन ऑफ पीएसपी कोरियर

ट्रांसफार्मर ऑफ आतो कॉरिलेशन फंक्शन

एटियोकोर रिलेशन फंक्शन इसे डू नॉटेड बाय

नोटेशन राउटर नो इट्स प्रॉपर्टीज अब देखो

उससे पहले नोटेशन फ दिखाएं एसबीएस कैपिटल

एक शॉप अप एफसी

आई मीन एस एक्सिस फंक्शन ऑफ ऍफ़ वेयर ऍफ़

रिप्रेजेंट डी 4 इयर्स इट्स

[संगीत]

कॉरिलेशन फंक्शन सो व्हाट आई सैड पर योर

ट्रांसफॉर्म ऑफ सीएसडी इस अटॉक कॉरिलेशन

फंक्शन

सो दिस इस यू कैन वेल ट्वीट आईटी लाइक दिस

इन्वर्स 4 एयर यहां पे हमने क्या लिखा है

फोरिअर ट्रांसफॉर्म ऑफ ऑटो कॉरिलेशन

फंक्शन इस पीएसपी तो उल्टा करेंगे इसको सो

इन्वर्स 4 एयर ऑफ एन एचडी इसे अटॉकोर

रिलेशन फंक्शन अलराइट यह सेंटेंस आपको याद

रखना है दें प्रॉपर्टीज वे बिल लिस्ट आउट

डी डिफरेंट प्रॉपर्टीज अब पहले प्रॉपर्टी

है असेट्स ऑफ जीरो देखो एसएस ऑफ एफ इसे एन

एचडी इन फ्रीक्वेंसी डोमेन हमने ये लिखा

है असेट्स ऑफ एफ इट्स इन्वर्स कोरियर फटी

इसे यूनिवर्स फोर एयर इस अब डेट इस एक्ट

ऑफ कॉरिलेशन फंक्शन अब व्हेनेवर यू बिल

राइट असेट्स ऑफ जीरो आईटी इंडिकेट्स डेट

देखो बेसिक नोटेशन है एसएस ऑफ एफ ये एचडी

का नोटेशन है यू आर राइटिंग इफैक्ट्स ऑफ

जीरो मिंस आईटी इन डी कैट्स वैल्यू ऑफ पी

एस दी आते ओरिजन और आते फ्रीक्वेंसी जीरो

सो और जीरो फ्रीक्वेंसी पीएसपी इस जिवन

में इंटीग्रेशन - इंफिनिटी तू प्लस

इंफिनिटी

व्हाट आई सेड आर नो इस डी नोटेशन पर ऑटो

कॉरिलेशन इंटीग्रेशन कैसे ट्वीट करना है

हमेशा वर्दी में लिखने हुए थे कॉन्सेप्ट

याद रख लो इंटीग्रेशन इसे एरिया अंदर

कॉस्ट सो वेरी सिंपल अगर आपको ये इक्वेशन

पता है हो तू राइट आईटी वैल्यू ऑफ पीएसईबी

आते और ओरिजन इसे इक्वल तू एन एरिया अंदर

कर्व ऑफ अटॉकोर रिलेशन फंक्शन सेकंड पीएस

इस ऑलवेज एवं फंक्शन डेट मेंस असेट्स ऑफ

एफ = एसएस ऑफ माइंस

जीरो इससे रिलेटेड कैसे लिखोगे एचडी ऑफ

वाइड सन स्टेशनरी प्रोसेस इस ऑलवेज

पॉजिटिव और आईटी इसे ग्रेटर डेन और

इक्वल्स तू यू कैन बी जीरो और आईटी इस

ऑलवेज पॉजिटिव बट आईटी कैन नोट बी नेगेटिव

नेक्स्ट पर प्रॉपर्टी ऑफ x² ऑप्ट अब देखो

हमने कैसे लर्न किया है अगर हम लोग ऐसे

लिख दे ए ऑफ एक्स ऑफ टी वे रीड आईटी लाइक

दिस एक्सपेक्टेशन ऑफ

रेंडम प्रोसेस यहां पर स्क्वायर है

तो हम लोगों ने लर्न किया हेरिटेज डोनेट

बाय मैक्स एम तू डी बेस एक्स आईटी इस

कॉल्ड में वैल्यू यहां पे स्क्वायर है सो

वे बिल ट्री आईटी लाइक दिस आईटी इस मीन

स्क्वायर ऑफ वैल्यू मतलब दिस इसे मीन

स्क्वायर वैल्यू सो मीन स्क्वायर वैल्यू

ऑफ रेंडम प्रोसेस इस इंटीग्रेशन ऑफ एक्स

ऑफ है असेट्स ऑफ एफ मतलब पीएफ इंटीग्रेशन

इस एरिया अंदर सो मीन स्क्वायर वैल्यू ऑफ

रेंडम प्रोसेस

तू एरिया अंदर

पीएसडी पावर स्पेक्ट्रेल डेंसिटी कब दिस

इसे डी पर प्रॉपर्टी फिफ्थ प्रॉपर्टी

एपीएसपी इसे नॉर्मल लाइंस दें आईटी बिल

हैव जो डी प्रॉपर्टीज एसोसिएटेड विथ इट्स

पद एफ पीएफ

प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन

डी नेक्स्ट पार्टी क्वेश्चन प्रोसेस अब

देखो यह एक ग्राफ बना है मैंने ये

एक्चुअली सिगनल्स और सिस्टम का ही

कॉन्सेप्ट है इसका एक्सटेंशन है

किसी भी एक प्रोसेस से आप लोग उसको एलटी

सिस्टम के थ्रू फिल्टर के थ्रू पास करेंगे

और कुछ आउटपुट आएगा दिस इसे डी क्राफ्ट ऑफ

एक्स ए ऑफ ए वर्सेस ए स्मॉल ऍफ़ इंडिकेट्स

पीएफ प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन सो अगर

किसी भी रेंडम प्रोसेस का ग्राफ इस टाइप

का आता है अलोंग विथ दिस वैल्यू विच इस डी

ग्राफ ऑफ पीएफ ऑफ रेंडम प्रोसेस दें आईटी

इसे डी गौशियन प्रोसेस

एग्जांपल

है व्हाट इस गौशियन प्रोसेस लिस्ट आउट

इट्स प्रॉपर्टीज तो आप लोगों को ये ग्राफ

प्लॉट करना है विच इस डी ग्राफ ऑफ

नॉर्मलाइज्ड कोटिएंट प्रोसेस दिस वालुज ऑफ

स्टैंडर्ड सो कंसीडर योर एंडम प्रोसेस

एक्सेप्ट विच इस ऑब्जर्व्ड बिटवीन डी टाइम

पीरियड जीरो तू कैपिटल टी मतलब एक हम लोग

ऐसा सोच लो की एक

रेंडम प्रोसेस है जिसके हम लोग रीडिंग्स

ले रहे हैं सेट पर वन ओवर तू इन टर्म्स ऑफ

नोटेशन आईटी इस रिटन आगे जीरो तू कैपिटल

टी लेट स वेट रेंडम प्रोसेस अब इसका क्या

कॉन्सेप्ट है एक रेंडम प्रोसेस है अपने

पास एक सॉफ्ट टी उसको वेटिंग करना है मतलब

यूनिट तू मल्टीप्लाई बाय सम अंदर फंक्शन

जिसको बोलते हैं वेटिंग सो लेटेस्ट वेट

रेंडम प्रोसेस एग्जास्टिफाई जिओ अपडेट

दूसरा फंक्शन है जिससे एग्जॉफ्टेड रेंडम

प्रोसेस है इनपुट सिग्नल में जो अप्लाई

किया तो उसको मल्टीप्लाई करना है और

ऑब्टेन डी इंटीग्रेशन सो लेट स वेट रेंडम

प्रोसेस

कोई दूसरा फंक्शन उसको मल्टीप्लाई कर लो

इंटीग्रेटेड कर लो पर इंटर टाइम पीरियड

जीरो तू टी जो आउटपुट आएगा डेट इसे रेंडम

वेरिएबल कैपिटल बाय अब इसका डेफिनेशन है

क्वेश्चन प्रोसेस का और रेंडम प्रोसेस

क्वेश्चन प्रोसेस एक एवरी लाइनर फंक्शन ऑफ

एक्सेप्टिंग रेंडम वेरिएबल मतलब इसके अंदर

जितने भी लाइनर वैरियेबल्स है लाइक

एक्जेक्टली ये खुद गौशियन वेरिएबल है दें

एंटायर प्रोसेस इसे कॉल्ड गौशियन प्रोसेस

इसके प्रॉपर्टीज हैं आई हैव मेड एन लिस्ट

ऑफ प्रॉपर्टीज फर्स्ट प्रॉपर्टी और रेंडम

प्रोसेस एक्सेप्ट की है इसको आप पास करोगे

और इंडिकेट करता है आईटी इसे फास्ट थ्रू

डी लाइनर फिल्टर दें यू बिल गेट आते डी

आउटपुट वायर ऑफ टिक विच इस अलसो और रेंडम

प्रोसेस तो लिखना कैसे अगर कोई गाउशन

रेंडम प्रोसेस है जो आप फिल्टर के थ्रू

पास करोगे तो आउटपुट में जो आएगा डेट इस

अलसो क्वेश्चन रेंडम प्रोसेस नेक्स्ट

कंसीडर और सेट ऑफ रेंडम वेरिएबल एक्स 28

गौशियन मतलब एक एग्जॉफ्टेड रेंडम प्रोसेस

है उसके अंदर एन नंबर ऑफ वैरियेबल्स हैं

एक्स वन ऑफ तू एक्स तू ऑप्ट अगर रेंडम

प्रोसेस इत्सेल्फ इसे एन क्वेश्चन तो ये

सब वेरिएबल जो है देवर सेड तू बी जायंटली

गौशियन थर्ड प्रॉपर्टी आईएफ क्वेश्चन

प्रोसेस इस स्टेशनरी इसका मतलब है की आईटी

इस बाय डिफॉल्ट

स्टेशनरी प्रोसेस हम लोगों ने टाइप्स लर्न

किया है स्टेशनरी रेंडम प्रोसेस के टाइप

से स्ट्रिक्टली स्टेशनरी वाइड सेंसेशनली

और तो अगर गौशियन प्रोसेस है जो क्वेश्चन

कर्व फॉलो करता है वो स्टेशनरी तो बाय

डिफॉल्टर आईटी इस स्टेशनरी और ने प्रोसेस

पूर्व प्रॉपर्टी आईटी इस एक्चुअली रिलेटेड

तू डी सेकंड प्रॉपर्टी क्वेश्चन रेंडम

वेरिएबल जी आर वी क्वेश्चन अंदर वेरिएबल

सर टेक्निकल इंडिपेंडेंस मतलब इसके लिए

ऐसा लिखना है

सब और दें क्वेश्चन रेंडम वैरियेबल्स ऑल

क्वेश्चन रेहान वैरियेबल्स आर स्टैटिकली

इंडिपेंडेंस मतलब दे आर नोट इंटरलिंक

मैथमेटिक्स विथ आधार सो दिस इस अबाउट डी

क्वेश्चन प्रोसेस सो डियर स्टूडेंट थॉट्स

आईटी पर टुडे सेशन सो थैंक यू थैंक्स एन

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