Déterminer le SIGNE d'une FONCTION à l'aide de ses VARIATIONS - Première

Summary

Cette vidéo présente une technique pour étudier le signe d'une fonction en se basant sur ses variations. Exemple avec la fonction f(x) = x^3 + 4x - 5, dont la dérivée est toujours positive, indiquant une croissance stricte. La vérification de 1 comme racine montre f(1) = 0. Le tableau de variation révèle que f est négative pour x < 1 et positive pour x > 1, illustrant comment les variations peuvent déterminer le signe d'une fonction.

Takeaways

• 📚 Cette vidéo explique comment étudier le signe d'une fonction en utilisant ses variations.
• 🔍 La technique présentée n'est pas infallible mais mérite d'être essayée pour comprendre le comportement d'une fonction.
• 📈 La fonction donnée en exemple est f(x) = x^3 + 4x - 5, dont on cherche à déterminer si elle est croissante sur R.
• 📝 La dérivée de la fonction f(x) est calculée pour analyser son signe et déterminer si la fonction est croissante : f'(x) = 3x^2 + 4.
• 🌟 La dérivée est strictement positive, indiquant que la fonction est strictement croissante sur tout R.
• 🔢 Pour vérifier si 1 est une racine de la fonction, on calcule f(1) et constate que f(1) = 0, confirmant que 1 est bien une racine.
• 📉 Le tableau de variation est utilisé pour déduire le signe de la fonction f(x) à partir de ses variations.
• 📌 En remplaçant x = 1 dans le tableau, on observe que la fonction passe par zéro, ce qui est un point de changement de signe potentiel.
• 📊 Avant x = 1, la fonction étant croissante et passant par zéro, elle doit être négative pour x < 1.
• 📈 Après x = 1, la fonction étant croissante et partant de zéro, elle doit être positive pour x > 1.
• 🔚 En utilisant le tableau de variation, on conclut que f est négative sur (-∞, 1) et positive sur (1, +∞).

Q & A

Quelle est la fonction étudiée dans la vidéo?

La fonction étudiée dans la vidéo est f(x) = x^3 + 4x - 5.

Comment démontrez-vous que la fonction est toujours croissante sur R?

On démontre que la fonction est toujours croissante en dérivant la fonction et en étudiant le signe de la dérivée, qui s'avère être strictement positive pour tout x dans R.

Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = x^3 + 4x - 5?

La dérivée de la fonction est f'(x) = 3x^2 + 4, qui est toujours positive car 3x^2 est toujours positif ou nul et on ajoute 4.

Comment vérifier que 1 est une racine de la fonction f?

Pour vérifier que 1 est une racine, on calcule f(1) et on constate que f(1) = 1^3 + 4*1 - 5 = 0, ce qui indique que 1 est bien une racine de la fonction.

Quel est le but du tableau de variation dans la vidéo?

Le but du tableau de variation est de déterminer le signe de la fonction f(x) en utilisant les informations sur ses variations et sa croissance.

Pourquoi le tableau de variation est-il important pour déterminer le signe de la fonction?

Le tableau de variation est important car il permet de visualiser les changements de signe de la fonction et de déduire son comportement (positif ou négatif) sur différents intervalles.

Quel est le signe de la fonction f(x) pour x < 1?

Pour x < 1, la fonction f(x) est négative car elle est croissante et passe par zéro en x = 1, donc avant cela elle doit être en dessous de zéro.

Quel est le signe de la fonction f(x) pour x > 1?

Pour x > 1, la fonction f(x) est positive car elle est croissante et a déjà atteint la valeur zéro en x = 1, donc après cela elle prend des valeurs strictement positives.

Comment la vidéo relie la racine de la fonction à son signe?

La vidéo relie la racine de la fonction à son signe en utilisant le fait que f(1) = 0 pour déduire que la fonction change de signe en x = 1 et en analysant son comportement avant et après ce point.

Quelle conclusion tire-t-on à partir du tableau de variation pour le signe de la fonction f(x)?

On conclut que f(x) est négative sur l'intervalle (-∞, 1) et positive sur l'intervalle (1, +∞) en utilisant le tableau de variation et les propriétés de la fonction étudiée.