Problema de crecimiento. Zill 3.1.1.mp4

Summary

En este video se aborda un problema de crecimiento poblacional, en el que se explica cómo la población aumenta a una tasa proporcional al número de personas presentes en un momento determinado. A través de una ecuación diferencial, se resuelve el tiempo necesario para que la población se duplique, triplique y se cuadruplique, con base en la información proporcionada. Se concluye que la población triplica su tamaño en aproximadamente 7.9 años y se cuadruplica en 10 años. Este proceso se resuelve mediante el uso de logaritmos y exponenciales, mostrando cómo el tiempo depende de la tasa de crecimiento proporcional.

Takeaways

• 😀 La población de una comunidad aumenta a una tasa proporcional al número de personas presentes en un momento dado.
• 😀 El modelo matemático para el crecimiento de la población es una ecuación diferencial de la forma: dP/dt = kP(t), donde k es la constante de proporcionalidad.
• 😀 La ecuación diferencial es separable y puede resolverse integrando ambos lados.
• 😀 La solución general para la población en función del tiempo es P(t) = P₀ * e^(kt), donde P₀ es la población inicial.
• 😀 Cuando t = 0, la población es igual a P₀, lo que nos permite determinar la constante C en la solución general.
• 😀 El problema indica que la población se duplica en 5 años, lo que nos permite calcular el valor de la constante k.
• 😀 Al aplicar la condición de duplicación en 5 años, encontramos que k = ln(2) / 5.
• 😀 La función P(t) = P₀ * e^(kt) nos permite calcular la población en cualquier momento t una vez conocido k.
• 😀 Para saber cuándo la población triplica su valor inicial, se resuelve la ecuación P(t) = 3P₀, lo que da como resultado t ≈ 7.9 años.
• 😀 De manera similar, para calcular el tiempo necesario para que la población se cuadruplique, se resuelve la ecuación P(t) = 4P₀, obteniendo t = 10 años.
• 😀 El modelo muestra que la población crece de forma exponencial, con tiempos específicos para que la población se duplique, triplique o cuadruplique según el valor de k.

Q & A

¿Qué describe la ecuación diferencial en el problema?

La ecuación diferencial describe el crecimiento de la población, que aumenta a una tasa proporcional al número de personas presentes en un momento dado. La ecuación es: dP/dt = K * P.

¿Qué representan las variables P(t), P0, y K en el contexto del problema?

P(t) representa la población en el tiempo t, P0 es la población inicial en t = 0, y K es la constante de proporcionalidad que determina la tasa de crecimiento poblacional.

¿Cómo se resuelve la ecuación diferencial separable en este problema?

La ecuación diferencial separable se resuelve separando las variables P y t, luego integrando ambos lados. Esto da como resultado una solución exponencial que describe cómo cambia la población con el tiempo.

¿Qué sucede cuando se aplica el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación de población?

Aplicar el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación ayuda a despejar la constante de proporcionalidad K y transforma la ecuación en una forma más manejable, permitiendo resolver para P(t).

¿Por qué es importante el valor de la constante C en la ecuación general de población?

La constante C es importante porque se determina usando la condición inicial de que en t = 0, la población es P0. Esto nos permite encontrar el valor de la constante y, por lo tanto, conocer completamente la función P(t).

¿Cómo se determina el valor de la constante K en este problema?

El valor de K se determina usando la información proporcionada de que la población se duplica en 5 años. Al sustituir P(5) = 2P0 en la ecuación y resolver, se obtiene K = ln(2)/5.

¿Qué significa que la población se duplique en 5 años según la ecuación?

Que la población se duplique en 5 años significa que en t = 5, la población es el doble de la población inicial P0, lo cual se utiliza para encontrar el valor de K en la ecuación.

¿Cómo se calcula el tiempo necesario para que la población se triplique?

Para calcular el tiempo en el que la población se triplica, sustituimos P(t) = 3P0 en la ecuación de población, y luego despejamos t, lo que da como resultado t = 5 * ln(3) / ln(2), aproximadamente 7.9 años.

¿Qué pasos se siguen para determinar el tiempo que tarda la población en cuadruplicarse?

Para determinar el tiempo en que la población se cuadruplica, sustituimos P(t) = 4P0 en la ecuación de población, y luego despejamos t, lo que da como resultado t = 5 * ln(4) / ln(2), resultando en 10 años.

¿Qué conclusiones se pueden sacar del problema sobre el crecimiento de la población?

El problema muestra que el crecimiento poblacional sigue una ley exponencial. El tiempo para que la población se triplique es aproximadamente 7.9 años, y el tiempo para que se cuadruplique es de 10 años, lo que resalta cómo las poblaciones crecen rápidamente bajo tasas de crecimiento proporcionales.