Formules d'addition et de duplication

Summary

Dans cette vidéo, l'auteur explique comment dériver et mémoriser des formules trigonométriques clés pour les angles de la forme A+B et A-B, en utilisant le produit scalaire. À partir des propriétés du cercle trigonométrique, les différentes identités pour le cosinus et le sinus sont abordées de manière détaillée, notamment les formules pour les angles doubles et l'utilisation des angles complémentaires. L'accent est mis sur les techniques de mémorisation efficaces et la compréhension intuitive des relations trigonométriques, afin de rendre les formules plus faciles à retenir et à appliquer dans les exercices.

Takeaways

• 😀 Le produit scalaire est utilisé pour dériver des formules trigonométriques, comme celle pour COS(A - B).
• 😀 Pour trouver COS(A - B), on utilise deux calculs différents du produit scalaire, l'un basé sur les normes et l'autre sur les coordonnées.
• 😀 La norme des vecteurs OA et OB dans le cercle trigonométrique est égale à 1, ce qui simplifie le calcul du produit scalaire.
• 😀 Le produit scalaire de OA et OB donne cosinus de l'angle A - B, ce qui mène à la formule COS(A - B) = COS(A)COS(B) + SIN(A)SIN(B).
• 😀 COS(A + B) peut être dérivé en pensant à A + B comme étant égal à A - (-B), ce qui permet d'utiliser la formule pour COS(A - B).
• 😀 Pour COS(2A), on obtient la formule COS(2A) = COS²(A) - SIN²(A), qui découle directement de la formule pour COS(A - B) avec B = A.
• 😀 La transformation d'un angle A + B en complémentaire permet d'utiliser des relations entre COS et SIN pour simplifier les formules.
• 😀 La formule des complémentaires est appliquée pour trouver SIN(A + B) et d'autres identités trigonométriques.
• 😀 Pour SIN(2A), on applique la formule de SIN(A + B) avec A = B, donnant SIN(2A) = 2SIN(A)COS(A).
• 😀 Pour mémoriser ces formules, il est conseillé de commencer par retenir les formules pour COS(A + B) et SIN(A + B), puis de déduire les autres identités trigonométriques.
• 😀 Les signes dans les formules sont importants : les sinus conservent les signes, tandis que les cosinus changent de signe selon les cas.

Q & A

Qu'est-ce que le produit scalaire et comment est-il utilisé dans cette démonstration ?

Le produit scalaire est utilisé ici pour déterminer la formule de cos(A - B). Il est basé sur deux définitions : l'une avec les normes des vecteurs et l'autre avec les coordonnées des points. Le produit scalaire entre deux vecteurs OA et OB est égal à cos(A - B) sur le cercle trigonométrique.

Comment calcule-t-on cos(A - B) à partir du produit scalaire ?

Pour calculer cos(A - B), on applique le produit scalaire entre les vecteurs OA et OB, dont les coordonnées sont respectivement (cos A, sin A) et (cos B, sin B). On utilise la formule du produit scalaire pour obtenir : cos(A - B) = cos A * cos B + sin A * sin B.

Pourquoi la formule cos(A - B) est-elle importante ?

Cette formule est importante car elle permet de relier les valeurs trigonométriques de deux angles, A et B, et elle est la base de nombreuses identités trigonométriques utilisées en mathématiques, en physique, et en ingénierie.

Comment dérive-t-on la formule pour cos(A + B) à partir de celle de cos(A - B) ?

La formule pour cos(A + B) peut être obtenue en considérant que A + B est équivalent à -(A - B). En appliquant la formule de cos(A - B) et en ajustant les signes, on obtient cos(A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B.

Comment obtient-on la formule pour cos(2A) ?

La formule pour cos(2A) est obtenue en remplaçant B par A dans la formule de cos(A - B), ce qui donne cos(2A) = cos² A - sin² A, selon la règle de Pythagore.

Quelles sont les relations entre les fonctions trigonométriques pour les angles complémentaires ?

Pour les angles complémentaires, il existe des identités qui relient les fonctions trigonométriques. Par exemple, cos(π/2 - A) = sin A et sin(π/2 - A) = cos A. Ces relations permettent de transformer les expressions trigonométriques pour faciliter les calculs.

Comment utiliser les formules trigonométriques pour cos(2A) et sin(2A) ?

Pour cos(2A), on peut utiliser la formule cos(2A) = cos² A - sin² A. Pour sin(2A), on utilise la formule sin(2A) = 2 * sin A * cos A. Ces formules sont basées sur les identités trigonométriques et sont utiles pour simplifier les expressions trigonométriques.

Quels sont les résultats obtenus en additionnant et soustrayant les formules pour cos(2A) et sin(2A) ?

En additionnant les formules pour cos(2A) et sin(2A), on obtient des résultats comme 1 + cos(2A) = 2 * cos² A, et en les soustrayant, on obtient des formules pour les sinus comme 1 - cos(2A) = 2 * sin² A. Ces résultats sont utilisés pour simplifier et réarranger les expressions trigonométriques.

Comment mémoriser efficacement les formules trigonométriques de cos(A + B) et sin(A + B) ?

Il est conseillé de mémoriser d'abord les formules de cos(A + B) et sin(A + B), puis de déduire les autres formules par analogie. En particulier, il est utile de noter que les signes changent selon les fonctions trigonométriques et que les sinus conservent les signes tandis que les cosinus inversent les signes.

Pourquoi est-il important de bien comprendre les relations trigonométriques entre A et B ?

Comprendre ces relations permet de résoudre plus facilement des problèmes trigonométriques complexes, de simplifier des expressions et d'appliquer des identités de manière plus intuitive, ce qui est essentiel en mathématiques avancées et dans de nombreuses applications scientifiques.