✅DEFINICIÓN de LIMITE [𝙁á𝙘𝙞𝙡 𝙮 𝙨𝙞𝙢𝙥𝙡𝙚💪🏻💯😎] Cálculo Diferencial
Summary
TLDREste video ofrece una definición intuitiva del límite en cálculo, explicando cómo se aproxima una función a un valor específico cuando su variable se acerca a un número dado. Se ilustra con el ejemplo de la función f(x) = x^2 - 9 / (x - 3), evaluando su límite cuando x se acerca a 3. Se muestra cómo, al calcular el valor de f(x) para x cercano a 3 tanto por la izquierda como por la derecha, la función tiende a un límite de 6. Además, se menciona la importancia de comprobar ambos lados para determinar si un límite existe, y se ejemplifica con casos donde el límite no se cumple debido a diferencias en ambos extremos.
Takeaways
- 📚 El video enseña la definición intuitiva del límite, no una definición formal, para entender el concepto antes de profundizar en temas más avanzados del cálculo.
- 🎯 La intuición detrás del límite es imaginar un valor que se acerca a otro, donde la función tiende a un número específico, llamado 'l'.
- 👉 El límite se lee como 'el límite de f(x) cuando x se aproxima a un número a, es igual a l', y se representa gráficamente por la aproximación de x a a.
- 📉 La técnica para encontrar límites implica aproximar un valor 'a' desde el lado izquierdo ('a-') y desde el lado derecho ('a+'), y comparar ambos.
- 📈 Se utiliza un ejemplo práctico para ilustrar cómo se reduce el límite a partir de una tabla de datos, evaluando la función \( f(x) = x^2 - 9 \) cuando \( x \) se aproxima a 3.
- ❗ Se menciona que hay valores de x que no están en el dominio de la función, como en el caso de \( x = 3 \) para la función mencionada, pero se pueden evaluar límites aproximados.
- 📝 Al construir una tabla de valores, se observa cómo la función se acerca a un valor específico cuando \( x \) se aproxima a 3, tanto por la izquierda como por la derecha.
- 📊 A través de la gráfica, se puede visualizar cómo el límite se aproxima a un valor, a pesar de que la función no esté definida en el punto exacto.
- 🔍 Para encontrar límites, se evalúan tanto la aproximación por la izquierda como por la derecha, y se comparan para determinar si el límite existe y su valor.
- 🚫 Si los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales, entonces se dice que el límite no existe para esa aproximación de x.
Q & A
¿Qué es la definición intuitiva del límite en el contexto del cálculo diferencial?
-La definición intuitiva del límite es una forma de entender la técnica de límites sin una definición formal. Se trata de imaginar un valor que se acerca a otro valor específico, y observar cómo una función se aproxima a un número determinado cuando su variable se acerca a un valor particular.
¿Cómo se lee la notación del límite cuando x se aproxima a un número?
-La notación del límite se lee como 'el límite de f(x) cuando x se aproxima a un número, f(x) tiende a un solo número', donde ese número es el límite.
¿Qué significa aproximarse a un valor por la izquierda y por la derecha en el contexto de límites?
-Aproximarse a un valor por la izquierda significa tomar valores de x menores que el valor de referencia, mientras que aproximarse por la derecha implica tomar valores de x mayores. Esto se utiliza para evaluar si la función se acerca al mismo límite independientemente de si se acerca desde valores más pequeños o más grandes.
¿Qué función se utiliza como ejemplo para ilustrar cómo reducir el límite a partir de una tabla de datos?
-Se utiliza la función (x^2 - 9) / (x - 3) para ilustrar cómo se puede reducir el límite a partir de una tabla de datos, evaluando cómo la función se comporta cerca del valor de x = 3.
¿Por qué la función (x^2 - 9) / (x - 3) no está definida cuando x = 3?
-La función no está definida cuando x = 3 porque el denominador se anula (x - 3 = 0), lo que hace que la función no tenga un valor numérico para ese punto específico.
¿Cómo se puede evaluar el límite de una función que no está definida en un punto específico?
-Aunque la función no está definida en un punto específico, se puede evaluar el límite intuitivo utilizando valores muy cercanos a ese punto, tanto por la izquierda como por la derecha, para ver cómo la función se comporta y se aproxima a un valor.
¿Cómo se interpreta el resultado de la tabla de valores para la función (x^2 - 9) / (x - 3) cuando x se acerca a 3?
-Al llenar la tabla de valores con x = 2.9, 2.99, 2.999, etc., y observar que los resultados se acercan a 6, se puede interpretar que el límite de la función cuando x se acerca a 3 es 6.
¿Qué significa el límite no existir para una función en un punto específico?
-El límite no existir significa que los límites de la función cuando x se acerca al punto por la izquierda y por la derecha no son iguales, por lo tanto, no se puede definir un único valor al que la función se aproxima en ese punto.
¿Cómo se determina si el límite de una función existe cuando x se aproxima a un número?
-Se determina si el límite existe comparando los límites de la función cuando x se acerca al número por la izquierda y por la derecha. Si ambos límites son iguales, entonces el límite existe y es igual a ese valor común.
¿Cómo se utiliza la gráfica de una función para entender el concepto de límites?
-La gráfica de una función permite visualizar cómo la función se comporta cerca de un punto específico. Si hay un hueco en la gráfica donde la función no está definida, pero la gráfica se acerca a un valor determinado tanto por encima como por debajo de ese punto, se puede inferir el límite de la función en ese punto.
¿Cómo se expresa matemáticamente que el límite de una función no existe para un punto específico?
-Se expresa matemáticamente que el límite no existe indicando que los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales, lo que significa que no hay un único valor al que la función se aproxima en ese punto.
Outlines
📚 Definición Intuitiva del Límite
El primer párrafo introduce la definición intuitiva del límite, explicando que no es una definición formal sino una técnica que permite entender el concepto matemático detrás de un límite. Se describe el proceso de aproximación de una función 'f(x)' a un valor 'a', donde 'x' se acerca tanto por la izquierda como por la derecha a 'a', y cómo esto se traduce en que 'f(x)' tiende a un número específico, denominado 'l'. Se enfatiza la importancia de que ambos límites (por la izquierda y por la derecha) sean iguales para que el límite exista y se ejemplifica con la función 'x^2 - 9' dividida por 'x - 3', evaluando su comportamiento cerca del punto 'x=3', donde la función no está definida pero se puede determinar su límite a través de valores cercanos.
📉 Ejemplo de Límite y Análisis Gráfico
El segundo párrafo continúa con el ejemplo anterior, detallando cómo se puede determinar el límite de la función 'x^2 - 9' dividida por 'x - 3' al acercarse a 'x=3'. Se muestran los cálculos realizados con valores cercanos a 3, tanto por la izquierda como por la derecha, para ilustrar cómo la función se acerca a un límite de 6. Además, se analiza gráficamente la situación, señalando la importancia de observar tanto la aproximación desde el lado izquierdo como desde el lado derecho del punto de interés. Se menciona que si los límites por la izquierda y por la derecha no coinciden, el límite en sí no existe para esa función en ese punto específico, y se concluye con la importancia de comparar ambos límites para determinar la existencia de un límite.
Mindmap
Keywords
💡Límite
💡Aproximación
💡Función
💡Cálculo Diferencial
💡Dominio
💡Valores por la izquierda y por la derecha
💡Tabla de datos
💡Gráfica
💡Noción Intuitiva
💡Definición Formal
Highlights
Definición intuitiva del límite esencial para entender cálculo diferencial
Limite de fx cuando x tiende a un valor, aproximándose por ambos lados
La aproximación de x a un valor 'a' y la función f(x) a un número 'l'
La noción intuitiva del límite permite evaluar valores cercanos a un punto sin definir
Ejemplo práctico de cómo calcular el límite de una función dada
La función x^2 - 9 / (x - 3) y su límite cuando x se acerca a 3
La importancia de observar si la función está definida en el punto de interés
Tabla de valores para aproximar el límite de la función cerca de x = 3
Aproximación de valores por la izquierda y derecha de x = 3
Análisis de la tendencia de f(x) a un valor definido al acercarse a x = 3
La función f(x) se aproxima a 6 cuando x se acerca a 3 por ambos lados
La gráfica de la función muestra un hueco en x = 3 donde no está definida
La interpretación de la gráfica para entender el comportamiento del límite
Ejemplo de cómo obtener el límite cuando x tiende a 1 en la función
Diferencia entre los límites por la izquierda y por la derecha
Condición necesaria para que el límite exista: ser igual por la izquierda y derecha
Caso en el que el límite no existe debido a diferencias en los límites por la izquierda y derecha
Importancia de la visualización gráfica para entender conceptos de límites
Transcripts
en este vídeo vas a aprender la
definición intuitiva del límite
utilizando estas reglas uno de los temas
importantes del cálculo diferencial lo
primero que debes entender antes de
pasar a la parte del gevrey acá y hacer
y encontrar los límites de funciones es
comprender la definición intuitiva del
límite no es una definición formal es
simplemente una definición la cual te
hará ver en qué consiste la técnica o
qué es lo que matemáticamente se está
haciendo cuando hablamos de este límite
de fx cuando x tiende a es igual a l
entonces cuando para aprovechar este en
esta definición tienes que imaginar lo
siguiente imagínate que tienes algo
aproximándose hacia en un valor ese
valor va a ser a 2 y tenemos a x
aproxima en demostración un valor que es
an
mientras más que hacer que es tanto por
el lado izquierdo tanto por el lado de
la derecha te darás cuenta que la
función f x se acerca y se aproxima a un
número ese número es denominado él por
lo tanto normalmente leemos el límite
cuando x se aproxima a un número a fx
tiende a un solo número y el número es
en otras palabras esto indicaría que
imagínate cualquier la aproximación del
valor a para x ok entonces decimos que
yo puedo acercarme por aquí por este
lado significa que x se está acercando
aa de manera vamos a ponerlo de manera
conceptual se indica así aa por la
izquierda y de este lado significaría
que x se acerca a por la derecha ahí
está si me acerco valores donde aquí
están significa que la función fx en
algún punto va a atender también a un
valor si tanto me a 5 por la izquierda
tanto por la derecha y efe de christina
del mismo valor llamado l significa que
existe un límite y es igual a él en
notación matemática esto normalmente se
expresa así se pone de manera formal el
límite cuando x tiende a a por la
izquierda de la función fx
es igual al límite también de la función
ahora cuando tiende a por la derecha
de fx esto es igual a l
si en ambos casos se da que tienen el
mismo número se dice que el límite
existe y es igual aire generalizándolo
de esta manera con esta fórmula que
tenemos justo aquí o esta definición del
límite ahora pasemos a un ejemplo muy
claro de cómo reducir el límite a partir
de tabla de datos vamos a obtener el
límite de manera intuitiva formando una
tabla de esta función x cuadrada menos 9
sobre x menos tres cuando extiende a 3
cabe mencionar de inicio que hay que
observar algo si tú tratas de suscribir
directamente cuando x 103 date cuenta
que en la función
estrés no entran en dominio por lo tanto
hace que la función no esté definida
para ese valor exacto sin embargo
nosotros con la noción intuitiva del
límite podemos evaluar valores muy
cercanos tanto por la izquierda del 3
como por la derecha del 3 entonces esto
nos va a permitir hacer una tabla la
idea es hacer lo siguiente
primero hacer una tabla de valores de x
y ver en cuanto corresponde a efe de x
por ejemplo voy a empezar con 2.9
para x que es muy cercano al 3 y lo
único que hay que hacer es sustituir 2.9
aquí 2.9 al cuadrado menos 9 entre 2.9
menos 3 esto es recomendable hacerlo con
calculadora y el primer valor que me da
el valor completo de la función sería 5
puntos
ahora si tú te quieres acercar todavía
más por el lado de la izquierda digo por
el lado de la izquierda porque son
valores inferiores a 3
podrías poner un 2.99
y entonces si lo hacemos lo que cuenta
que me da a
5.99
todavía otro valor más podría ser más
cercano en dos puntos y poner tres
nueves así y nos damos cuenta que este
tiende al
5.999 date cuenta que mientras más me
acerco fx la función también se acerca y
se aproxima a un valor bien definido
voy a tomar los valores de acercarme a 3
pero por la derecha es decir valores
superiores a 3 y si me ocurre por
ejemplo el
3.0 1
qué es un valor ya casi pegado al 3
acercándome por la parte de los valores
de arriba en los valores más grandes y
esto nos da si yo pongo 3.01 sustituyó
acá y hago las operaciones y finalmente
encuentro el valor de la función nos da
6.0 1
trato de acercarme todavía un poco más
es decir tres puntos por ejemplo
001 todavía más pegado del 3 y encuentro
que el valor es
6.001
dese cuenta ahí sí ya nos podemos dar
cuenta hacia qué valor tiende ambos
límites date cuenta que si tú te acercas
por la izquierda
estoy tendiendo y acercándome
aproximando me hacia el valor de 6 de
igual manera aquí vean mientras más me
acerco más y cada vez más me aproximó a
un valor definido y ese valor es el
valor de félix ahora que nos dice
entonces la definición del límite nos
dice que si tú te acercas a valores de x
tanto por la izquierda valores
inferiores al valor que está aquí tanto
por la derecha y ambos tienen al mismo
límite la función tiene el mismo valor l
entonces este es el límite de la función
de tal manera a quien como pondríamos
pues pondríamos
que tanto el límite voy a ponerlo aquí
de x cuando se acerca a 3 por la
izquierda de nuestra función este de
aquí vamos a ponerla aquí voy a poner la
generalizada de esta manera es igual o
idéntico al límite
y si yo tomo valores acercándome al 30
por la derecha si es exactamente al
mismo valor tienen el mismo y es
equivalente al valor de 6 por lo tanto
de manera correcta el límite cuando x
tiende a 3 aseguró que es idéntico a 6
si nos damos cuenta en la gráfica de la
función también podemos ver esto
precisamente en la noción del límite la
definición cuando te acercas a valores
de x muy cercanos a través tanto por
arriba abajo por arriba de la función
date cuenta que tiene un hueco ese hueco
es porque la función no está definido
exactamente cuando x es igual a 3 pero
si te das cuenta y los relacionados con
la función en el eje de la nfl x está
tendiendo a un límite que es 6 una forma
también en cómo se te presentarán los
ejercicios de límites es sobre todo si
te dan la gráfica o si de alguna manera
puedes obtener la gráfica de la función
y nos piden obtener el límite de otro x
cuando x tiende a 1 y el límite de fx
cuando x tiende a 3 entonces debes de
hacerlo utilizando el tema de los
límites tanto por la izquierda como por
la
esto lo llevarían lo siguiente vamos que
el primero si yo ubico en la gráfica el
límite de la función cuando x tiende a 1
y vamos a ponerlo aquí por la izquierda
me doy cuenta que si yo me acerco a la
gráfica y voy caminando sobre ella por
la izquierda nada más me dijo en fx
cuando x vale 1 aproximadamente y me doy
cuenta que se relaciona con el valor de
fx en el eje de la sie que es igual a 4
ahora busco el otro límite me acerco al
mismo número es decir cuando x tiende a
1 pero ahora voy por la parte de arriba
que es por la derecha
entonces aquí me doy cuenta me acerco
por ahí y visualizo que cuando se acerca
el 1
entonces x tiende a uno se relaciona
también con el fx igual a 4 en este caso
si ambos límites son iguales se dice que
el límite si existen entonces lo ponemos
así el límite de la función si existe
cuando x tiende a uno ya se generaliza
de esta manera que es esto que tratamos
de buscar y lo ponemos idéntico o igual
a 4 ahora sí vamos a deducir el límite
de la función cuando espera x tiende a
tres dividimos cuando x tiene a tres por
la izquierda y por la derecha nos
situamos en la gráfica y nos damos
cuenta que si voy por el lado de la
izquierda y me acerco hay un exactamente
cuándo x vale 3 se relaciona con fx y
nos damos cuenta que es igual a 4 pero
sucede algo interesante aquí cuando nos
acercamos al valor de x cuando tiende a
tres pero por la derecha te montas en la
gráfica y te das cuenta que se relaciona
en fx igual a 3
por lo tanto qué sucede aquí si son
diferentes se dice que el límite como
tal es un límite que estamos buscando no
es idéntico tanto por esquerra como por
la derecha entonces definimos que el
límite no existe
para esta función dadas estas
condiciones
y se pone de esta manera indicando que
el límite simplemente no existe entonces
siempre que sea diferente tanto por la
izquierda cuando tanto en cuanto acercas
por la derecha los resultados si no son
iguales entonces el límite simplemente
no va a existir
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