Cálculo de la integral triple con un plano y un cilindro parabólico en el 1er octante
Summary
TLDREn este video, el presentador guía a los espectadores a través del proceso de resolución de un problema matemático que involucra la integral triple en un sólido limitado por superficies específicas. Se describe cómo graficar el sólido y cómo establecer los límites para la integral triple, utilizando herramientas tecnológicas para facilitar la visualización y el entendimiento del problema. Además, se explora la importancia de elegir la orientación adecuada para minimizar la complejidad del cálculo. El video también demuestra cómo utilizar software de matemáticas para simplificar el proceso de integración y comparar diferentes enfoques para resolver la integral triple, destacando la eficacia de uno sobre otro. El presentador concluye con una discusión sobre la importancia de la práctica y la experiencia en la resolución de problemas matemáticos complejos.
Takeaways
- 📐 La importancia de graficar para resolver problemas de geometría: Se destaca la necesidad de graficar para entender mejor la disposición del sólido y sus límites.
- 📈 La utilización de herramientas tecnológicas: Se menciona el uso de herramientas como GeoGebra para facilitar el modelado y la comprensión del sólido.
- 🔍 Identificación de límites para la integral triple: Se destaca la importancia de identificar correctamente los límites de integración para resolver la integral triple.
- 🧮 El proceso de integración triple: Se describe el proceso de integración triple paso a paso, destacando la importancia de cada paso.
- ✅ Verificación de resultados: Se resalta la importancia de verificar los resultados obtenidos a través de la integral triple.
- 📉 La influencia de la elección de variables: Se discute cómo la elección de variables puede simplificar o complicar la resolución de una integral triple.
- 📚 El valor de la práctica: Se enfatiza la importancia de la práctica para mejorar la comprensión de conceptos matemáticos complejos.
- 📉 La distribución algebraica en la integración: Se menciona cómo la distribución algebraica puede simplificar cálculos en la integración.
- 📝 La importancia de la documentación: Se sugiere la documentación de los procesos y resultados para una mejor comprensión y revisión.
- 🤔 La consideración de diferentes enfoques: Se aborda la idea de explorar diferentes enfoques para resolver un problema, lo que puede llevar a métodos más eficientes.
- 🌐 Compartir y colaborar: Se invita a la comunidad a compartir sus comentarios y a colaborar en la resolución de problemas, lo que promueve el aprendizaje colectivo.
Q & A
¿Qué problema geométrico se está resolviendo en el script?
-Se está resolviendo el problema de un sólido limitado por superficies, específicamente una región en el primer cuadrante definida por la ecuación x + y^2 + z = 4.
¿Cómo se define la región para la integral triple?
-La región se define por límites para y, x y z, donde y varía de 0 a la función z = 4 - x^2, x varía de 0 a 2, y z varía de 0 a 4 - x^2.
¿Qué herramienta se utiliza para graficar las funciones y visualizar el sólido?
-Se utiliza GeoGebra, una herramienta de software de matemáticas que permite crear gráficos y modelos geométricos.
¿Cuál es la función z que define el techo del sólido?
-La función z que define el techo del sólido es z = 4 - x^2.
¿Cómo se describe la parábola en el plano yz?
-La parábola en el plano yz se describe como una parábola que abre hacia abajo con el vértice en el origen y que se alarga en el eje y hasta el eje x, formando una especie de túnel.
¿Qué es lo que se aprende al replantear la integral triple con un cambio de variables?
-Al replantear la integral triple con un cambio de variables, se aprende que la elección del diferencial para la integral puede simplificar el proceso de integración, minimizando el impacto en la carga de cálculo y facilitando la resolución del problema.
¿Cómo se puede simplificar la integral triple antes de resolverla?
-Se puede simplificar la integral triple utilizando la distribución y extracción de factores comunes en las expresiones algebraicas, lo que permite reducir el grado del polinomio y facilitar el cálculo.
¿Qué programa se utiliza para simplificar los cálculos algebraicos?
-Se utiliza el programa Maple, que es una herramienta de cálculo simbólico y numérico ampliamente utilizada en matemáticas para resolver problemas complejos.
¿Cuál es el resultado final de la integral triple?
-El resultado final de la integral triple, tanto con el diferencial original como con el diferencial cambiado, es 128/15.
¿Cómo se puede mejorar la comprensión del sólido y sus límites?
-Se puede mejorar la comprensión del sólido y sus límites mediante la creación de gráficos y cortes en diferentes planos, lo que permite visualizar la geometría del sólido y sus intersecciones con los planos de coordenadas.
¿Por qué es importante el modelado del sólido antes de resolver la integral triple?
-El modelado del sólido es importante porque permite identificar claramente los límites de integración y la geometría del sólido, lo que facilita la formulación correcta de la integral triple y evita errores en el proceso de integración.
¿Cómo se puede utilizar la tecnología para facilitar el aprendizaje de conceptos matemáticos?
-La tecnología, como las herramientas de graficación y software de cálculo simbólico, puede utilizarse para visualizar y manipular objetos geométricos, lo que mejora la comprensión de los conceptos matemáticos y hace que el aprendizaje sea más efectivo y práctico.
Outlines
📈 Análisis de un sólido limitado por superficies
Se discute la resolución de un problema que involucra un sólido del primer ocupante limitado por superficies específicas. Se aborda la gráfica del sólido y se plantea la integral triple correspondiente. Se utiliza una función de plano y una función z para definir la región del sólido en el primer cuadrante. Se describe el proceso de modelado del sólido y cómo se identifican los límites para la integral triple.
📊 Vistas y cortes del sólido para entender su estructura
Se realiza una exploración del sólido a través de diferentes vistas y cortes para comprender mejor su forma y volumen. Se destacan las vistas superiores y los cortes en planos paralelos a los ejes de coordenadas. Se discute cómo la tecnología ayuda en la visualización del sólido y se sugiere el uso de herramientas gráficas para mejorar la comprensión del problema.
🧮 Proceso de integración triple para calcular el volumen
Se aborda el cálculo del volumen del sólido a través de la integral triple. Se describe cómo se toman los límites de integración y cómo se evalúa la integral. Se utiliza un programa de matemáticas para simplificar el cálculo y se comparan diferentes enfoques para resolver la integral, destacando la importancia de elegir el método más efectivo.
🎓 Conclusión del problema y agradecimiento a la audiencia
Se concluye el análisis del problema y se agradece a la audiencia por su atención y participación. Se menciona el uso de herramientas tecnológicas para facilitar la comprensión de conceptos complejos y se motiva a la audiencia a seguir aprendiendo y aplicando estos conocimientos. Se cierra el video con un agradecimiento y un mensaje de animación para el próximo ejercicio.
Mindmap
Keywords
💡integral triple
💡límites de integración
💡sólido tridimensional
💡superficies
💡parábola
💡Maple
💡volumen
💡corte
💡plano
💡cálculo
💡diferencial
Highlights
Bienvenidos a un canal de matemáticas donde se resuelve un problema de integral triple.
Se presenta una sólido limitado por superficies y se pide graficarlo y resolver la integral triple correspondiente.
Se define una región en el primer cuadrante usando la función x + y^2 + z^2 = 4.
Se utiliza GeoGebra para identificar los ejes y hacer tablas de valores para entender los cortes.
Se grafica la región triangular que será el piso del sólido y se define el límite de integración para la variable x.
Se realiza una vista en el plano yz para visualizar la parábola y cómo se extiende en el eje ausente.
Se destaca la importancia de la tecnología para modelar sólidos y visualizar gráficas en lugar de hacerlo manualmente.
Se recomienda descargar y utilizar herramientas como GeoGebra en dispositivos móviles para practicar y comprender mejor las gráficas.
Se describe el proceso de integración triple considerando límites para x, y, z y la función z = 2 - x.
Se utiliza Maple, un programa de matemáticas, para simplificar cálculos y resolver la integral triple.
Se discute cómo la elección de los diferenciales en la integral triple puede simplificar o complicar el proceso de integración.
Se comparan diferentes enfoques para resolver la integral triple, destacando la importancia de elegir el método más eficiente.
Se concluye que ambos métodos de integración dan el mismo resultado, pero uno es más práctico que el otro.
Se agradece a la audiencia por su apoyo y se animan a seguir el canal para más ejercicios de matemáticas.
Se destaca la belleza y complejidad del sólido modelado y se motiva a los espectadores a apreciarlo y tomar nota.
Se utiliza la tecnología para visualizar y entender mejor las propiedades del sólido y su volumen.
Se ofrece una perspectiva innovadora al modelar el sólido en 3D y explorar sus diferentes cortes y secciones.
Se destaca la importancia de la precisión en las matemáticas y cómo la tecnología ayuda a minimizar errores en los cálculos.
Transcripts
bienvenidos además a su canal reunión
line en esta oportunidad vamos a
resolver el problema que dice sea es un
sólido del primer ocupante limitado por
las superficies x más llegar a 27 igual
a 4 - y el cuadrado y me hacen dos
preguntas la primera que grafica el
sólido y en la segunda parte resolvieron
integral triple que ya me la dan
planteada se vamos primero con las
gráficas pertinentes porque cuando es me
dan una recta x más igualados o esto una
claro y una sola función z el problema o
bueno me dan unas funciones de plano y
una función zeta es fácil plantea la
integral triple porque con esta
expresión este x más llevó a la 2 y como
es primero cáncer en el primer cuadrante
definimos una región que me dan los
límites para y para x y z
sólo hay una función de aceptar entonces
los límites de zetas de 0 a esta función
esta función sería el techo esto va a
dar el piso de ese sólido de todo el
techo o sea que este tipo de disposición
creo que es más fácil para integral
triple para que me entienda mejor vamos
a ir graficando x más igualados
primero antes de una vez ya defino a
carga el primer cuadrante dejo unos
valores para aptos para esta recta con
geogebra y por supuesto identifico nooyi
x los ejes y alguna tabla de valores con
los cortes con lo que es cuando equivale
0 llévale 2 y cuando llévale 0 x vale
euros y una recta de pendiente negativa
que va del 2010 al 2 en x esta recta
hace un triángulo si te fijas y da una
región que va a ser el piso de una
región triangular este el piso de ese
sólido
cesc y de aquí vamos a sacarlo límite de
integración para la variable
x como una integral de hecho como una
integral definida sencilla o la doble y
esto ayuda muchísimo ya tenemos el piso
no se preocupen que vamos a modelar el
sólido con mi mujer pero quiero que vean
una quiero que hagamos una vista en el
plano jay-z de esto porque si te fijas
esto es una parábola pero la variable x
está ausente entonces como esto una
parábola y la variable que está ausente
esa parábola se alarga y el eje que no
está o sea cuando tiene una superficie
del espacio de dos variables y falta una
esa que falta en las superficies
paralelas a ese o se expande que se va a
ser como una especie de túnel ya lo
primero vamos a poner el plano de z una
vista 10 está claro el primer cuadrante
por primero tanto pero que lo que vamos
a hacer
esta parábola vamos a hacer una pequeña
tabla si lleva los ceros estaba de 4 que
sería el vértice y si se está vale 0 y
despeja el 4 más o menos raíz de cuatro
de abajo menos 2 y abre hacia abajo
señores esta es la parábola claro solo
hasta el eje y el eje x no lo puedo ver
acá porque está perpendicular pero la
región vera que vamos a ver en la parte
derecha o el volumen sólo será la parte
derecha claro en clase es difícil porque
tenemos una pizarra y a veces los
profesores hacen esto hacen esto y ya
porque de aquí yo puedo tomar la
información para integral triple y ya y
aquí tengo todo listo tengo los límites
y ahora vamos a ver pero el sólidos como
es el sólido como quiera se gracias a la
tecnología gracias desde hebra yo les
prepare ya todo el modelado del sólido
quiero que lo vean para que tomen nota
así que primero con más pausa acá para
que hagan sus gráficos y sus
consideraciones ahora acompáñenme ayer
igual voy a volver a esta lámina no
después del del sólido para que
terminemos el planteamiento del integral
por favor a la aplicación
muy bien y aquí estamos en yebra está el
eje z va a ser el azul el xv hasta la
rodilla va a ser el verde la curva que
acabo de colocarle sola está sacada
colocarles en la lámina anterior el
estado mira vean cómo se puede apreciar
se está aquí es 4 yendo mirá aquí está
primero parte nada más el eje x de que
enormes porque perpendicular y va a ser
una especie de túnel que se alarga en
ese eje x vamos a colocarlo directamente
con la aplicación aquí está mira este la
la superficie cilíndrica ok sería un
cilindro parabólico el que abre hacia
abajo en el plano detalle y se expande
en x aquí lo tiene enseñar esto lo que
hay que practicar yo le recomiendo que
descargue celebra en su celular laptop
de tablet también es totalmente gratuito
y vayan colocando para que conozcan las
gráficas porque esto más que todo por
por experiencia y conocimiento de las
gráficas planas llevaban al espacio
gracias a la variable que falta pero
como es el sólido ahora esa recta x más
llegó a la 2 qué
como le falta z entonces un plano que es
paralelo aceptar y darle el espacio
completamente vamos a colocarlo señores
aquí está mira aquí lo tenemos aquí está
este es vamos a hacer una vista superior
mira aquí está en dos y dos corta mira
en mi equipo y se levanta en z porque
como les falta la variable z entonces en
un plano totalmente vertical por decirlo
así
ok vertical y hace un corte entonces en
el primer obstante se encierra un
volumen que todavía no podemos apreciar
bien pero ya lo vamos a hacer este
modelo aquí está no lo podemos es por la
parte inferior también mira usted la
base aquí está el triángulo que les
decía que es la base y él va a cortar a
este sólido este túnel que ya yo hice y
los todas las curvas de intersección
necesarias con todos los planos con el
primer obstante y por supuesto con el
teclado
voy a ir colocando aquí y colocando poco
a poco todas las tasas de cortes con
todos los planos
aquí estoy colocando trabajar van a ver
aquí estoy colocando otra
aquí la de arriba el corte de arriba
aquí vemos otro el triángulo cristal y
aquí tenemos aquí está por lo menos ya
armado el sólido quiero que es todo esto
la armadura de una belleza de ver astros
una belleza la saca tecnología lo
podemos ver hoy en día muy fácilmente
bien aquí está el sólido ya se puede
definir es como un pedazo de queso creo
yo en un caso de pastel no mira aquí ya
lo estamos viendo un poco ahora yo voy a
retirar el la superficie cuadri acá y el
plano por un momento mira lo voy a
retirar por un momento éste es el sólido
vean para acá vamos a alargar un poco
para que será mejor distribuidos en
vamos alargar un poco para acá para que
sea mejor citó como alargar un poco para
acá
excelente y como el primero que voy a
quitar los ejes están hacia las partes
negativas solamente para observar mejor
las
lo que quiero graficar
solo dirección positiva solo dirección
positiva solo dirección positiva aquí lo
tenemos pero yo le prepare un sólido
bien hecho con sus planos bien
identificados y con colores aquí tenemos
el piso mira el piso aquí tenemos estas
superficies el corte del plano azul en
la habana el sólido en este que era hace
una rebanada acá aquí tenemos el corte
del plano y ez el plano aquí el que ya
vieron pero ya z
aquí tenemos el corte el plano xz y voy
a quitar este por un momento para que se
vea eran los tres aquí están los cortes
con los tres planos ordenados primeros
cantes miran ahora vamos al espacio si
aquí tenemos
es este el techo esto lo que da el
cilindro
ok las oficial indica este lo que me
deja el cilindro y falta este que lo
había quitado
aquí lo tenemos aquí lo tenemos señor
vean esta vez es una belleza una belleza
sinceramente es hermoso
este es el sólido es este es el sonido
que me pidieron aquí lo tienen
al probar un momento de su tiempo para
que lo puedan apreciar y lo puedan ver
este sólido señores que les preparen con
mucho cariño para que vean y tomen no te
lo puedes graficar claro esto obviamente
es mucho más ventajoso que hacerlo en la
pizarra yo siempre que lo hacen atrás
hacía un gran esfuerzo con colores
marcadores para que quedara muy bien y
las ésta pudiera graficarlo pero aquí lo
tiene en cuenta
pau se era aquí está el trabajo de hecho
ya con el corte con el primero en la
superficie cilíndrica de una asocación
cimiento parabólico y el plano que
rebana y ve de esta especie de que yo no
era excelente sólo deje que la fuerza
los guíe si lo tenemos y bueno vamos a
tener que regresar a la lámina anterior
para tomar los límites integración hacia
la integral de verdad gracias por su
paciencia y bueno pues nos pausa para
que disfrutan de esta belleza gracias
gracias por su tiempo vamos a orar la
gente regresamos y gracias
bien estamos de vuelta las láminas que
ya habíamos preparado ahora vamos a
buscar los límites de integración como
les decía si tienes primero están es el
primer cuadrante y con una curva puede
ser parábola es recta que encierre la
región en el primer cuadrante suficiente
con ella es sencillo tomamos la
orientación vertical y para los límites
con ye porque vamos a hacer de que x
puede ser también de x de que no hay
problema pero deje de x costumbre no
creo que el poder de la costumbre es
cero aquí llegó al 0 a 2 - x o sea es
desigual 0 a 2 - x porque cuando primero
obstante todos los límites son 0 en los
primeros límite inferior para que para
ella y para z sería de 0 a la recta
despegando y y obviamente en x es de 0 a
2 que el corte que ya lo queremos acá y
en zeta es de 0 que es el piso plano xy
el 70 a la parábola 4 - el cuadrado y
aquí tenemos bien que los límites
diferente todos son 0 eso cuando primero
el campo este es uno de los ejercicios
más fáciles para mí en integral triple
por la disposición de las ecuaciones
obviamente
en el vídeo para que se cubrió conmigo
mi correo mis redes sociales que
comentar me tienen derechos que otros
eso les gustaría ver que me quieran
aportar ahora por favor acompáñenme a la
segunda pregunta que me la ofrece el
problema para resolver la integral
triples
muy bien me dan esta integral triple que
x malleco el diferencial de volumen yo
lo que hago es agregar un límite de
integración para resolver esta integral
este x mayes sale constante porque no
tiene ninguna zeta
entonces la primera integral que amor a
sobres con de zetas que sería z sólo y
evaluamos ya esto al hebraico debería
tener muchos problemas el 0 no lo voy a
evaluar porque no hace falta el 4 - de
cuadrados y lo evaluó y hay una
distributiva lo entenderemos 4x luego de
aquí por menos de cuadrado luego 4 y
luego de que porque cuadrado sería menos
ahora sigamos integral de espectral de
4x constante queda 4x y aquí el cubo
sobre 3 y el cuadrado sobre 2 y la 4
sobre 4
ahora que valores 2 - x en todas las si
las x son constantes por ahora
y se van a integrar luego al poner 2 -
aquí acá que queda el cubo que queda al
cuadrado que quedará 4 aquí el 4 y el 2
simplifican es lo único que creo que se
puede hacer señores que da esta belleza
algebraica
yo voy a utilizar maple que un programa
que usó mucho para matemáticas para
colocar todo esto y simplificarlo porque
era bastante laborioso pero yo coloqué
todo en la aplicación o la que ustedes
tengan y me da está este este polinomio
grado 4 que si lo voy a integrar ese y
luego evaluar y ya está todo verificado
así que bueno me salto esto acá lo
pueden hacer ustedes con calma y me
comentó aquí en el vídeo porque no vamos
a integrar por último con x quedara 5
sobre 5 x cubo sobre 3 x 4 sobre 2 y 4 x
el 0 no lo voy a evaluar no es necesario
igual acá tampoco el valor cero porque
daba 0 el 2 en todas partes que sería 5
por 12 62 a las 5 aquí queda 2 al cubo
aquí todos dicen 32 queda ochoa tercios
todas las 4 y 4 x 2 curiosamente esto se
cancela porque aquí 8 x 4 32 y aquí
también lo es todo se cancela treinta y
dos tercios y 32 tensión en acción
positiva se quedaría 32 60 vamos
se la respuesta ya verificada 128 15 a
vos el integral triple solicitada con
este equipo ya que ya estaba allí tomen
nota de los cálculos verifique no ya que
esta parte más que todo de complementos
porque creo que los más complicados todo
el planteamiento el volumen como el más
la integral y por supuesto yo realice
esto con la aplicación le coloque el
integral triple aquí está comparada
original
02 02 - x 04 que los cuadrados de zeta
de x x mayer 128 15 ago está perfecto
ahora qué pasaría si en vez de hacerlo
de 9 x pasemos de x de yale se puede
anticipar que una integral va a ser más
difícil que otra dado que tenemos la
función de zeta como 4 - y al cuadrado
yo creo que sí pero para demostrarlo en
conceptos mis notas acompáñenme vamos a
replantear la integral cambiando los dos
últimos diferenciales y ver qué integral
sería más fácil de resolver manualmente
porque está de verdad está bien pensada
está bastante fuerte un profesor que
pida esto por este método sólo quiere
ver el mundo arder como está no quiere
eliminar la mitad
pero ven vamos a acompañar para
replantear y comparar los procedimientos
muy bien aquí tenemos en la misma región
pero en vez de tomar la vertical para
belle de x vamos a tomar horizontal para
que sea de que se la toma horizontal
estaremos hablando de que la primera
función que cambiar hay que pasar x para
calle para que hay que despejar en
función de y luego habrá una entrada en
el que igual a 0 y sale por 2 - o sea
que él sería primero x con la entrada 0
y salida 2 - y luego sería que sería de
0 a 2 tomando es la orientación
horizontal sí replanteamos la integral
el z no va a cambiar solo ningún
problema pero aquí es de x de iu y con 2
- y acá que pasa tú dices que estás
cargando mucho con jett no fíjate lo que
sucede cuando muy integral pero ya está
integral se hizo porque ya la voy a
recortar porque obviamente ya disipó de
la lámina anterior no puede revisar ya
fue zeta se evalúan 4 - el cuadrado se
hizo toda la distributiva pero benito el
diferencial calibres de x
la carga de que está cayendo no será
integrada será constante entonces de x
le minimiza el impacto allí entonces
claro si tú ves que la función de cerca
tiene muchas llegó tiene carga y sería
bueno dejar de equis primero porque no
lo va a integrar sale constante y de 10
sería el último vamos a demostrar x de
queipo x haya una sola x de que la carga
de x muy pocas e integral con x más
suave de hecho podemos sacar aquí factor
común de x y quedar 4 - cuadrado y estos
dos son constantes y eso lo que voy a
hacer vamos a integrar con respecto a x
teniendo esto constante que sale del
factor común la equis
y se integra x 4 sobre 2 o lo que hice
fue factor común se integra y esto es
constante y queda por x
el 0 no lo devaluar no hace falta pero
vea cuando colocamos 2 - que vean el
impacto ahora aquí va a quedar el
producto notable aquí igual que la
destructiva esto es mucho más fácil que
la anterior que tenía este producto la
tabla la 4
aquí un producto está encuadrado con
distributiva y esto es una distribución
más terrestre más sano más más humano
hacerlo una prueba y con menos margen de
error sería más lógico más más práctico
hacerlo así entonces creo que estamos
aprendiendo de que si la función
concepto tiene que continuar ahí es
saber con qué para que el dx minimice el
impacto y de último la aie que sería una
persona liberal que me facilita la
intervención funcionó
sería bueno tomarlo como aprendizaje
para otro problema y ver plantear las
donde grande a ver cuál es mejor bueno
ya esto lo desarrolle con con maple todo
esto que está acá y dice la
simplificación bien queda mucho más
simple proyecto ya está desarrollado si
vas al integral y a las 5 sobre 5 llegó
sobre 3 8 y el 0 no hace falta el 2 y
era un estímulo a las 5 4 texto no
algunos x 2
aquí es 32 sobre 10 menos 32 16 y bueno
señores la respuesta es exactamente la
misma es 128 15 ambos
[Música]
mucho más fácil se tejen si fue bueno
porque hicimos todo lo necesario
símbolos planté recto el volumen y el
modelado el volumen y disimulo integral
por dos diferenciales diferentes
por supuesto a la comprobación
este nuevo diferencial de x de jet
tomen nota espero que le haya servido
para sí no
quiero dar las gracias a toda la persona
que ha apoyado mi canal en su comentario
nos gustaría redes sociales y el correo
en la descripción del vídeo
y aquí para que se suscriban otro verso
que les podría interesar gracias por su
apoyo donde el próximo ejercicio que
quiera fuerza siempre
[Música]
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