Función a trozos: gráfica, dominio y rango

Summary

En este ejercicio, se construye la gráfica de una función definida por partes, compuesta por una función cuadrática, una función lineal y una función constante. A través de tablas de valores y restricciones en el dominio, se obtienen puntos para representar cada componente en el plano cartesiano. Se explica cómo se determinan el dominio y el rango de la función usando analogías con sombras proyectadas por una lámpara. El dominio incluye todos los números reales, mientras que el rango va desde -1 hasta infinito. Finalmente, se concluye que todos los valores del eje y mayores o iguales a -1 participan en la función.

Takeaways

• 📊 La función a analizar está definida por trozos o partes, con tres componentes: una función cuadrática, una función lineal y una función constante.
• 🟢 El primer componente es una función cuadrática restringida a los valores de x menores o iguales que -1.
• 📐 El segundo componente es una función lineal (y = x), que está restringida a los valores de x entre -1 y 1.
• 📏 El tercer componente es una función constante (y = -1), definida para los valores de x mayores que 1.
• ✍️ Se construyen tablas de valores para cada componente de la función para representar sus puntos en el plano cartesiano.
• 🔵 En el gráfico, se utilizan puntos cerrados para incluir los valores y puntos abiertos para excluir los límites según las restricciones.
• 🖋️ La primera parte de la función cuadrática forma una parábola que se extiende hacia la izquierda.
• 📉 El segundo componente, la función lineal, es una recta que une dos puntos: (-1, -1) y (1, 1).
• 📏 La función constante se representa como una línea horizontal desde x = 1 hacia adelante, con el valor de y constante en -1.
• 🔍 El dominio de la función son todos los números reales, ya que cubre todas las posibles entradas de x.
• 🌐 El rango de la función son todos los valores de y mayores o iguales que -1, que van desde -1 hasta el infinito.

Q & A

¿Qué es una función a trozos o una función definida por partes?

Una función a trozos o función definida por partes es aquella que está compuesta por diferentes expresiones matemáticas, cada una de las cuales se aplica a un rango específico del dominio de la función.

¿Cuáles son los tres componentes de la función a trozos que se analizan en el ejercicio?

El primer componente es una función cuadrática con una restricción, el segundo componente es una función lineal también restringida, y el tercer componente es una función constante que se aplica para valores de X mayores que 1.

¿Cómo se construye la gráfica del primer componente de la función?

Se construye seleccionando valores de X menores o iguales que -1, y calculando los correspondientes valores de Y utilizando la fórmula cuadrática. Los puntos obtenidos forman una porción de parábola que se grafica en el plano cartesiano.

¿Por qué se utiliza un punto cerrado en X = -1 para el primer componente?

El punto en X = -1 es cerrado porque la función está definida como menor o igual que -1, lo que significa que el valor de X = -1 está incluido en el dominio de este componente.

¿Cómo se representa gráficamente el segundo componente, que es una función lineal?

Se seleccionan dos puntos, -1 y 1, porque es una función lineal. Se grafica una recta que conecta estos puntos, utilizando un punto abierto en X = -1 (porque no está incluido) y un punto cerrado en X = 1 (porque sí está incluido).

¿Qué caracteriza a la tercera función, el componente constante?

La tercera función es constante, con Y = -1 para valores de X mayores que 1. Se grafica como una línea horizontal que empieza en X = 1 con un punto abierto, ya que X = 1 no está incluido.

¿Cómo se determina el dominio de una función a partir de su gráfica?

El dominio se determina proyectando la gráfica sobre el eje X. La parte del eje X que queda sombreada por la gráfica representa los valores de X que forman el dominio. En este caso, el dominio de la función es todo el conjunto de números reales.

¿Qué significa que el dominio de la función sean todos los números reales?

Significa que la función está definida para cualquier valor de X, sin ninguna restricción en el conjunto de los números reales.

¿Cómo se calcula el rango de la función utilizando la gráfica?

El rango se determina proyectando la gráfica sobre el eje Y. La parte del eje Y que queda a oscuras representa los valores posibles de Y. En este caso, el rango va desde -1 hasta infinito positivo.

¿Cómo se puede expresar el rango de esta función a trozos?

El rango se puede expresar como los valores de Y mayores o iguales que -1, lo que se escribe como el intervalo [-1, ∞).