Variaciones Combinaciones Permutaciones Ejercicios Resueltos Nivel 1

Matemóvil

17 Feb 201513:16

Summary

TLDREn este video, Jorge de Memil explica el análisis combinatorio de manera clara y sencilla. A través de ejemplos prácticos, aborda las diferencias entre variaciones, combinaciones y permutaciones, destacando cuándo importa el orden y cuándo no. Utiliza ejercicios resueltos para demostrar cómo aplicar las fórmulas correctas en cada caso, como al ordenar pelotas de colores o al seleccionar ganadores de un sorteo. Finalmente, explica cómo calcular disposiciones en carreras de caballos usando permutaciones. Es una guía útil para aprender las bases del análisis combinatorio sin complicaciones.

Takeaways

🎓 El video explica los conceptos de variaciones, combinaciones y permutaciones en el análisis combinatorio.
⚖️ En las variaciones, importa el orden de los elementos seleccionados.
🔄 En las combinaciones, no importa el orden de los elementos seleccionados.
🏅 Un ejemplo de variación es escoger al campeón y subcampeón en un torneo; el orden es relevante.
👥 Un ejemplo de combinación es escoger amigos para una tarea; el orden no importa.
🔢 En las permutaciones, además de importar el orden, se usan todos los elementos disponibles.
📊 Se muestra cómo calcular una variación de 7 elementos tomados de 3 en 3, resultando en 210 arreglos posibles.
💻 Un ejemplo de combinación involucra sortear dos laptops iguales entre 10 personas, resultando en 45 formas posibles.
🐎 Se explica cómo calcular una permutación en una carrera de 4 caballos, con 24 formas diferentes de llegar.
🧠 El principio de multiplicación también se usa para resolver problemas de permutaciones, reforzando el uso de factoriales.

Q & A

¿Qué es una variación en el análisis combinatorio?
-En una variación, el orden de los elementos sí importa. Es decir, cuando se seleccionan elementos de un conjunto, el resultado es diferente si el orden en que se escogen varía.
¿Cuál es la diferencia entre combinaciones y variaciones?
-La principal diferencia es que en las variaciones sí importa el orden de los elementos seleccionados, mientras que en las combinaciones no importa el orden.
¿Qué es una permutación?
-Una permutación es un arreglo en el que se seleccionan todos los elementos de un conjunto y el orden también importa. Es similar a una variación, pero en este caso se escogen todos los elementos disponibles.
¿Cómo se calcula una variación?
-La fórmula para calcular una variación es V(n, k) = n! / (n - k)!, donde n es el número total de elementos y k es el número de elementos seleccionados.
¿Cómo se determina si un problema es una combinación o una variación?
-Depende de si el orden de los elementos seleccionados importa o no. Si el orden importa, es una variación. Si no importa, es una combinación.
¿Qué diferencia hay entre un ejemplo de permutación y uno de variación?
-En una variación se seleccionan solo algunos elementos de un conjunto y el orden importa. En una permutación, se seleccionan todos los elementos y también importa el orden.
¿Cuál es la fórmula de una permutación?
-La fórmula de la permutación es P(n) = n!, que representa el número de formas de ordenar todos los elementos de un conjunto de n elementos.
¿Cómo se aplica el principio de multiplicación en un problema de permutación?
-El principio de multiplicación se utiliza cuando se deben realizar varias elecciones sucesivas. Por ejemplo, si hay 4 caballos en una carrera, se puede calcular el número de formas de asignar los puestos multiplicando las opciones de cada puesto: 4 opciones para el primer puesto, 3 para el segundo, 2 para el tercero y 1 para el cuarto.
En un problema de combinaciones, ¿cómo se calcula el número de formas de seleccionar elementos?
-La fórmula para calcular combinaciones es C(n, k) = n! / [k!(n - k)!], donde n es el número total de elementos y k es el número de elementos seleccionados, sin importar el orden.
¿Cuál es la diferencia entre una combinación con y sin repetición?
-En una combinación sin repetición, un elemento solo puede seleccionarse una vez. En una combinación con repetición, un mismo elemento puede seleccionarse varias veces.

Outlines

00:00

🎓 Introducción al análisis combinatorio

El presentador, Jorge, introduce el tema de análisis combinatorio, anunciando que habrá tres videos con ejercicios resueltos. Explica que se abordarán las variaciones, combinaciones y permutaciones, conceptos que ayudan a determinar de cuántas maneras se pueden organizar o seleccionar elementos. Se utiliza un ejemplo con pelotas de colores para diferenciar entre estos conceptos: en las variaciones importa el orden, mientras que en las combinaciones no. También menciona que el orden es relevante en algunos casos, como al seleccionar al campeón y subcampeón de un torneo, lo que lo convierte en una variación.

05:01

📊 Ejemplo de variación con números de tres cifras

Jorge explica un problema donde se deben formar números de tres cifras diferentes utilizando un conjunto de siete números (1, 2, 4, 5, 7, 8 y 9). Dado que el orden es importante en este caso, se trata de una variación. Luego, procede a calcular el número de combinaciones posibles usando la fórmula de variaciones, obteniendo 210 números diferentes. Subraya que, en este ejemplo, el orden sí influye en el resultado, lo que lo distingue de una combinación.

10:02

💻 Sorteo de dos laptops idénticas: Ejemplo de combinación

En este segundo problema, Jorge aborda un sorteo de dos laptops idénticas entre diez personas. Como el orden de los ganadores no importa (las laptops son iguales), se trata de una combinación. Utiliza la fórmula de combinaciones y realiza el cálculo, resultando en 45 formas diferentes de seleccionar a los ganadores. Se destaca que, si los premios fueran diferentes (por ejemplo, una laptop y un celular), el orden sí sería importante, y entonces se usaría una variación.

🐎 Permutación en una carrera de caballos

Jorge presenta un tercer problema en el que se analiza de cuántas formas diferentes puede terminar una carrera con cuatro caballos (A, B, C y D). Como el orden de llegada es importante, se trata de una permutación. Calcula el número de posibles resultados utilizando la fórmula de permutación (4 factorial), obteniendo 24 formas distintas. También explica una alternativa para resolver el problema mediante el principio de multiplicación, reafirmando el resultado de 24 combinaciones posibles. Finalmente, aclara que el problema involucra permutaciones ya que se asignan posiciones a todos los caballos.

Mindmap

Keywords

💡Análisis combinatorio

El análisis combinatorio es una rama de las matemáticas que estudia la cantidad de maneras en las que se pueden seleccionar o agrupar elementos de un conjunto. En el video, se utiliza para resolver problemas sobre cuántas formas diferentes se pueden seleccionar o agrupar elementos, como pelotas o personas. Es un concepto central en el contenido del video, que busca aclarar temas como variaciones, combinaciones y permutaciones.

💡Variaciones

Las variaciones son arreglos de un conjunto en los que el orden sí importa. En el video, se explica que si el orden de selección es relevante, como en el caso de seleccionar un campeón y un subcampeón en un torneo, se trata de una variación. El ejemplo de elegir números en cierto orden también es una variación, ya que no es lo mismo el número 124 que el 421.

💡Combinaciones

Las combinaciones son selecciones en las que el orden no importa. En el video, se menciona que si seleccionamos a dos personas para una tarea y no importa quién llega primero o segundo, se trata de una combinación. También se ejemplifica con el sorteo de dos laptops iguales entre 10 personas, donde el orden de los ganadores no influye en el resultado.

💡Permutaciones

Las permutaciones son arreglos de todos los elementos de un conjunto en los que el orden es importante. En el video, se menciona que en una permutación no solo se seleccionan algunos elementos del conjunto, sino todos. Por ejemplo, en una carrera de caballos, se deben organizar los cuatro caballos en diferentes posiciones, y el orden en el que llegan es fundamental.

💡Factorial

El factorial de un número es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta ese número. En el video se utiliza para calcular variaciones y permutaciones, por ejemplo, 4 factorial (4!) es igual a 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Es un concepto clave para entender cómo se realizan los cálculos en los problemas de combinatoria.

💡Orden

El concepto de orden es crucial para diferenciar entre variaciones, combinaciones y permutaciones. En el video, se menciona varias veces que cuando el orden importa, estamos ante una variación o una permutación, mientras que si no importa, es una combinación. Ejemplos incluyen elegir campeones en un torneo o el resultado de una carrera de caballos.

💡Grupos

Los grupos se refieren a las diferentes formas en que se pueden seleccionar subconjuntos de un conjunto más grande. En el video, se menciona que se forman grupos de k elementos a partir de n elementos. Por ejemplo, seleccionar grupos de tres números de un conjunto de siete números es una variación de 7 tomados de 3 en 3.

💡Problemas resueltos

El video está estructurado en torno a la resolución de problemas para ilustrar los conceptos teóricos. Cada problema utiliza variaciones, combinaciones o permutaciones para encontrar soluciones, como cuántos números de tres cifras se pueden formar o cuántas formas hay de escoger ganadores de laptops.

💡Elementos repetidos

Los elementos repetidos no se consideran en este nivel del video, pero se menciona que más adelante se abordarán problemas donde los elementos se pueden repetir. Es un concepto importante porque cambia las fórmulas usadas en el análisis combinatorio, afectando el cálculo de variaciones y permutaciones.

💡Principio de multiplicación

El principio de multiplicación es una técnica utilizada para resolver problemas donde se tienen varias opciones consecutivas. En el video, se utiliza este principio para calcular el número de formas en que se pueden ordenar los caballos en una carrera, multiplicando las opciones disponibles para cada puesto. Es un recurso adicional para resolver problemas de combinatoria.

Highlights

Introducción al tema del análisis combinatorio y cómo abordarlo mediante tres videos con ejercicios resueltos.

Explicación de las variaciones, donde el orden de los elementos importa.

Ejemplo de las variaciones usando el caso del campeón y subcampeón del mundial, destacando la importancia del orden.

Definición de las combinaciones, donde el orden no importa.

Ejemplo de combinaciones con amigos ayudando en una tarea, mostrando que el orden en que vienen no afecta el resultado.

Introducción a las permutaciones, donde se usan todos los elementos disponibles y el orden es relevante.

Ejemplo de permutaciones usando una carrera con cuatro personas y la importancia del orden en los puestos que ocupan.

Demostración del cálculo de permutaciones con la fórmula de n factorial.

Resolución del problema 1: cálculo de variaciones para formar números de tres cifras con un conjunto de siete dígitos.

Resolución del problema 2: combinación de dos laptops iguales entre 10 personas, mostrando que el orden no importa.

Resolución del problema 3: permutaciones en una carrera de caballos donde el orden de llegada es relevante.

Diferenciación entre permutaciones y variaciones en la carrera de caballos, destacando que se usan todos los elementos en una permutación.

Explicación del principio de multiplicación y adición para resolver problemas de permutaciones.

Se enfatiza que en este video solo se ven casos sin elementos repetidos; en videos futuros se tratarán casos con repetición.

Conclusión del primer nivel de ejercicios resueltos de análisis combinatorio, preparando al espectador para un segundo nivel más avanzado.