Intégrale de Gauss - Calcul détaillé

Summary

Cette vidéo explique comment calculer l'intégrale de Gauss, une tâche complexe puisqu'il n'existe pas de primitives élémentaires pour cette fonction. Elle aborde la nécessité d'utiliser des techniques numériques et la substitution de variables pour simplifier l'intégrale. Le changement de variables, notamment en utilisant les coordonnées polaires, est crucial pour résoudre l'intégrale double. Le script détaille les étapes, y compris le calcul du Jacobien, pour aboutir à une solution numérique qui montre que l'intégrale de Gauss est positive et égale à la racine carrée de π.

Takeaways

• 📘 L'intégrale de Gauss est utilisée pour calculer l'intégrale de fonctions qui ne possèdent pas de primitives élémentaires.
• 🔍 L'intégrale de Gauss est difficile à calculer car elle ne peut être exprimée qu'en termes numériques et non analytiques.
• 📊 La seule primitive connue pour e^{-x^2} est l'intégrale de e^{-x^2} de 0 à l'infini.
• 🧮 Pour calculer l'intégrale de Gauss, il est nécessaire d'utiliser des techniques approfondies telles que le changement de variables.
• 📐 Le changement de variables est essentiel pour passer d'un système de coordonnées cartésien à un système de coordonnées polaires.
• 📈 L'intégrale de Gauss peut être transformée en une intégrale double en utilisant le changement de variables.
• 📖 Le déterminant de la matrice Jacobienne est crucial pour le changement de variables et doit être pris en compte lors de l'intégration.
• 🔢 L'intégration sur un nouveau domaine après changement de variables nécessite de multiplier par le déterminant de la matrice Jacobienne.
• 🌀 L'intégrale de Gauss peut être réécrite comme une intégrale sur un nouveau domaine en utilisant les nouvelles variables définies par le changement de variables.
• 📉 La primitive de l'intégrale de Gauss est obtenue en intégrant la fonction exponentielle de -r^2 par rapport à r et en appliquant les bornes d'intégration appropriées.
• 🎯 La conclusion de l'intégrale de Gauss montre que la racine carrée de π est impliquée, ce qui est une propriété importante en mathématiques.

Q & A

Qu'est-ce que l'intégrale de Gauss et pourquoi est-elle importante?

L'intégrale de Gauss est une intégrale définie sur l'ensemble des réels qui ne possède pas d'antidérivée élémentaire. Elle est importante car elle sert de base dans de nombreux domaines de la physique et des mathématiques, notamment en statistique avec la distribution gaussienne.

Quels sont les défis pour calculer l'intégrale de Gauss?

Calculer l'intégrale de Gauss est difficile car il n'existe pas de primitives élémentaires pour la fonction de Gauss, et il faut recourir à des techniques numériques ou des tables de valeurs pour obtenir des résultats approximatifs.

Quelle est la relation entre l'intégrale de Gauss et l'intégrale en l'infini de x^2 e^(-x^2)?

L'intégrale de Gauss est directement liée à l'intégrale en l'infini de x^2 e^(-x^2), car c'est la primitive de cette dernière fonction qui est recherchée et qui est connue uniquement numériquement.

Comment la substitution de variables peut-elle aider à calculer l'intégrale de Gauss?

La substitution de variables permet de simplifier l'expression de l'intégrale et de la réécrire sous une forme qui peut être traitée plus facilement, permettant ainsi de trouver une primitive ou une valeur numérique pour l'intégrale.

Quels sont les changements de variables utilisés dans le script pour calculer l'intégrale de Gauss?

Le script mentionne l'utilisation de changements de variables polaires pour simplifier l'intégrale double associée à l'intégrale de Gauss.

Pourquoi le changement de variables polaires est-il efficace pour calculer l'intégrale de Gauss?

Le changement de variables polaires est efficace car il permet de transformer l'intégrale double en une intégrale plus simple sur un domaine qui est le produit de deux intégrales simples, ce qui facilite le calcul.

Quelle est la valeur de l'intégrale de Gauss pour x = 1?

Dans le script, il est mentionné que les valeurs de l'intégrale de Gauss pour x = 1 et d'autres valeurs de x sont connues uniquement par des tables de valeurs numériques, sans forme analytique explicite.

Comment le script aborde-t-il la question de l'intégrabilité de l'expérience yale de x^2 e^(-x^2)?

Le script explique que l'expérience yale de x^2 e^(-x^2) est intégrable car sa primitive en l'infini est connue, ce qui est utilisé pour simplifier le calcul de l'intégrale de Gauss.

Quelle est la signification de l'expression 'l'intégrale en l'infini et l'infini de lambda e^(-x^2)' utilisée dans le script?

Cette expression fait référence à l'intégrale de Gauss elle-même, où 'lambda' est utilisé comme une variable de substitution pour 'x', et l'intégrale est évaluée sur l'intervalle allant de -∞ à +∞.

Comment le script conclut-il la valeur de l'intégrale de Gauss?

Le script conclut que la valeur de l'intégrale de Gauss est strictement positive et implique la racine carrée de π, en utilisant des techniques de changement de variables et des propriétés des intégrales doubles.

Outlines

00:00

🔢 Introduction au calcul d'intégrales complexes

Dans cette section, l'auteur présente la difficulté de calculer l'intégrale de Gauss, une intégrale qui ne peut pas être résolue analytiquement à cause de l'absence de primitives en fonctions élémentaires pour l'exponentielle de -x². Il explique que les valeurs de cette intégrale sont connues numériquement pour des points spécifiques, mais qu'une méthode est nécessaire pour l'évaluer entre -∞ et +∞. Il introduit une approche basée sur le carré de l'intégrale pour simplifier le calcul.

05:03

🔀 Utilisation des intégrales doubles et changement de variables

L'auteur développe la stratégie pour calculer l'intégrale en discutant l'utilisation d'une intégrale double. Il introduit le changement de variable en coordonnées polaires comme méthode clé pour résoudre l'intégrale. Il rappelle les conditions nécessaires pour effectuer un changement de variable et définit les nouvelles variables x et y en termes de r et θ, tout en mentionnant l'importance du déterminant jacobien pour cette transformation.

10:04

📐 Calcul du déterminant jacobien et résolution de l'intégrale

Cette section décrit en détail le calcul du déterminant jacobien pour les coordonnées polaires, en dérivant chaque composante par rapport aux nouvelles variables. L'auteur montre comment le jacobien simplifie à r, ce qui permet de reformuler l'intégrale initiale. Ensuite, il explique comment intégrer par rapport à θ et r, en indiquant que l'intégrale sur θ donne 2π, et que l'intégrale sur r nécessite une primitive pour résoudre l'exponentielle de -r².

🔍 Résultat final et conclusions

L'auteur conclut le calcul en montrant que l'intégrale donne √π, après avoir évalué les limites de l'intégrale. Il souligne que l'intégrale est positive car l'exponentielle est toujours positive. Il termine en récapitulant les étapes principales du processus, tout en invitant les spectateurs à poser des questions pour clarifier certains concepts. L'intégrale finale est confirmée comme étant √π.

Keywords

💡intégrale

L'intégrale est un concept fondamental de l'analyse mathématique qui représente la surface sous la courbe d'une fonction dans un plan. Dans la vidéo, l'intégrale est utilisée pour calculer des valeurs spécifiques liées à l'expérience de Gauss, montrant comment elle est essentielle pour résoudre des problèmes complexes d'intégration.

💡expérience de Gauss

L'expérience de Gauss, ou intégrale de Gauss, fait référence à une intégrale définie sur l'ensemble des réels qui apparaît fréquemment en statistique et en physique. Dans la vidéo, elle est utilisée pour illustrer la difficulté de calculer certaines intégrales qui n'ont pas de primitives élémentaires.

💡primitive

Une primitive d'une fonction est une fonction dont la dérivée est la fonction considérée. Dans le contexte de la vidéo, il est mentionné qu'il n'existe pas de primitives élémentaires pour l'expérience de Gauss, ce qui rend le calcul de l'intégrale complexe.

💡fonction élémentaire

Les fonctions élémentaires sont les fonctions de base comme les polynômes, les fonctions exponentielles, logarithmes, trigonométriques, etc. La vidéo explique que l'expérience de Gauss ne possède pas de primitives parmi les fonctions élémentaires, ce qui complique son intégration.

💡valeurs numériques

Les valeurs numériques sont des approximations numériques de la solution d'un problème mathématique. Dans la vidéo, il est mentionné que l'intégrale de l'expérience de Gauss est connue uniquement par ses valeurs numériques, indiquant qu'elle ne peut être exprimée qu'approximativement.

💡changement de variables

Le changement de variables est une technique utilisée pour simplifier l'intégration d'une fonction复合通过引入新的 variables. La vidéo explique comment utiliser le changement de variables pour calculer l'intégrale de l'expérience de Gauss, ce qui montre l'importance de cette technique dans la résolution d'intégrales complexes.

💡variables polaires

Les variables polaires sont un système de coordonnées dans lequel chaque point dans le plan est déterminé par un angle et une distance du centre. Dans la vidéo, le changement de variables polaires est utilisé pour simplifier l'intégrale double liée à l'expérience de Gauss.

💡intégrale double

Une intégrale double est une intégrale qui intègre une fonction sur un domaine qui dépend de deux variables. La vidéo utilise le concept d'intégrale double pour aborder la complexité de l'intégration de l'expérience de Gauss sur l'ensemble des réels.

💡matrice jacobienne

La matrice jacobienne est utilisée en analyse multivariable pour décrire怎么样一个函数的变量变化影响另一个函数的变量. Dans le contexte de la vidéo, elle est cruciale pour le changement de variables dans le calcul de l'intégrale de l'expérience de Gauss.

💡fonction exponentielle

Les fonctions exponentielles sont des fonctions de la forme e^x où e est la base de l'exponentielle (environ 2,71828). La vidéo mentionne l'intégration d'une fonction exponentielle, ce qui est un exemple de l'utilisation de ces fonctions dans le calcul d'intégrales.

Highlights

Présentation d'une méthode pour calculer l'intégrale de Gauss

Explication de l'intégrale de Gauss et de sa difficulté à calculer

Mention de l'absence de primitives élémentaires pour l'intégrale de Gauss

Introduction de la seule primitive connue pour l'intégrale de Gauss

Discussion sur la valeur numérique de l'intégrale et l'absence de version analytique

Utilisation de tables pour les valeurs de l'intégrale de Gauss pour certains x

Introduction de la technique de calcul pour l'intégrale entremont a fini et l'infini

Lien entre l'intégrale au carré et la valeur définie

Explication du produit de l'intégrale avec elle-même

Substitution de x par y pour montrer l'indépendance par rapport à la variable d'intégration

Introduction de la notion d'intégrale double

Transformation de l'intégrale en une forme qui permet de réduire la complexité

Utilisation des propriétés de l'expérience pour simplifier l'intégrale

Importance du changement de variables dans le calcul de l'intégrale

Description du changement de variables et de son application

Introduction du changement de variables polaire pour calculer l'intégrale

Explication du changement de variables polaire et de la matrice jacobine

Calcul du déterminant de la matrice jacobine pour le changement de variables polaire

Transformation de l'intégrale en utilisant le changement de variables polaire

Définition des nouvelles bornes d'intégration après le changement de variables

Calcul de l'intégrale en utilisant la nouvelle forme et les nouvelles bornes

Détermination de la primitive de la fonction pour l'intégration

Calcul de la limite de l'intégrale趋于无穷大时的值

Conclusion sur la valeur de l'intégrale de Gauss et son interprétation

Invitation aux questions et commentaires pour une meilleure compréhension

Transcripts

bonjour à tous donc dans cette vidéo je

vous présentais comment calculer

l'intégrale de gaz donc l'intégrale de

klaus que fait appeler y est les données

par l'intégrale en tout on a fini et

l'infini de l'expérience yale de miles

carrés et x et cette intégrale est très

difficile à calculer puisqu'il n'existe

pas de primitives en fonctions

élémentaires de l'expérience et de maïs

et riz c'est à dire la seule primitive

de pub puissance miles carrés c'est

l'intégrale en l'infini et x 2'

puissance augmentée car et été et cette

intégrale là on ne la connaît que

numériquement on peux pas en donner une

version analytique

donc on a des tables qui nous donne les

valeurs pour x égal 1 pour x et gâteaux

etc

mais on ne connaît pas une fonction

explicite donc pour calculer l'intérêt

lentement à l'infini et l'infini de

l'expérience et de maïs cas il va

falloir trouver des techniques qui vont

nous permettre de calculer cette

intégrale entremont a fini et l'infini

donc pour ça on va considérer hic est

lié au carré et remarquer que cette

intégrale au carré a une valeur définie

et ensuite on va pouvoir trouver du coup

y donc y au carré ça va être du coup le

produit de l'intégrale avec elle même

donc l'expérience celle de maxi reddick

ce produit avec la même la même chose

donc les princes de dexia dx

ensuite j'ai remplacé ici x par y

donc ça ne change absolument rien

puisque je change simplement le nom de

la variable et ça m'est utile pour en

gros montrer que ça ça ne dépend pas de

ce paramètre d'intégration donc je peux

appeler ça lambda est rentré le

lendemain dans cette intégrale

donc on va voir cette intégrale

qui était quelle est la part on a fini

et l'infini de lambda ex white sky

on va rentrer du coup la valeur de

l'onda donc c'est simplement que je

rentre cette intégrale hormones a fini

et l'infini et comment y arriver grec a

multiplié avec moi exquis ray intégré

par rapport au x et et maintenant on

remarque qu'on a

l'intégrale d'une intégrale et ça c'est

en fait l'intégrale double puisque je

peux encore rentrer explique ce qui a

réduit cette intégrale on a vraiment

l'intégra lentement a fini et l'infini

de l'intégrale anton a fini et l'infini

de l'expérience celle de mois x car est

exponentielle demain y carré dx des

grecs

et là c'est une intégrale double donc

j'ai simplement dit que le produit de

deux intégrales et n'a trial double ce

qui est un fait direct dans le calcul

les intégrales double donc maintenant on

a ceci je pourrais écrire comme la

dynamique donc manage raté j'ai dire que

c'est l'intégrale sur r2 puisque c'est

les deux bornes soit exactement la fine

il a fini donc c'est l'intérêt sur r2 de

l'expérience l2 - x carré plus y aller

par les propriétés d'expérience yale

intégré par ares 1 x est paranoïaque et

maintenant intervient la partie la plus

importante de ce calcul c'est le

changement de variables parce qu'on va

vouloir changer de variables on va

vouloir changer encore donné polaire

pour pouvoir calculer cette intégrale et

donc il faut se souvenir de ce qu'un

seulement deux variables

donc j'ai rappelé par la même occasion

ce qui est un changement de variable

donc supposons qu'on veut intégrer sur

un ensemble v une fonction qui dépend de

xy

donc on va noter x et y comme une

fonction d'autres variables c'est ça le

changement de variables on va noter xy

comme une fonction fille de r&d de ta

par exemple et donc le changement ne va

pas donner par une intégrale sur une

housse v6 fier spécifié après qu'elle

ait l'ensemble plus de f évalué en fit

de r est et a donc on remplace xy par

air et état et il faut multiplier sa

part la dérive et qui va être le jacquot

bien de notre changement de variable

donc le déterminant de la matrice

jacquot bienne deux filles en l'air et

états et donc il faut maintenant intégré

par rapport à des aides d'état

donc en fait pour voir cette formule il

faut que le changement de variables soit

une fonction de hull dans v directives

et continuer dérive abl donc et c'est un

dû

donc ça c'est la condition mais cette

condition d'être vérifiées tant d'autres

changements de variables encore donné

polaire parce que le changement encore

donné polaire il est donné par xy égale

ag2r deux états je vais appeler phi phi

de r2 teta qui a des qui va être donnée

par casco stay here cimt et a donc notre

fille de l'air et et à sa lettre r que

cette 1ère cet état et du coup notre

ensemble vela cr2 donc quelle va être

notre ensemble plus si on veut avoir xy

si on veut avoir comme n'importe quel

point dans notre espace r2 soit décrit

par un angle d'état et une distance

r il faut que m soit entre zéro et

l'infini et que tu es tu as entre 0 et 2

pi et si on n'a que air et en zéro et

l'infini était à antero hadopi alors on

peut décrire n'importe quel point r2

donc ça ça va être une façon de lui ça

va être le produit de zéro à l'infini

pour air produits cartésien avec zéro

hadopi porte et à mannheim en cas

déterminé le jacquot bien donc

le déterminant de la matrice château

bienne deux filles lyon est donc ça

c'est la valeur à tous les déterminants

de la matrice jacobine d'amatrices

jacques aubaine pour rappel choco bn de

fi erté tas c'est la matrice première

ligne on va dériver uniquement la

première composante de fille pourra

dériver

fille 1 par rapport à dr ensuite on va

dériver fille deux filles 1 par rapport

à l'état pardon et ensuite on va dériver

figure par rapport à air et fit 2 par

rapport à tête

prayssas m à combien du coup la fille

fille c'est à dire que c'est à ercis et

a donc fait un seiler costa et fille de

cr7 a donc la matrice jacobine de filles

dans ce cas là ça va être tout

simplement la dlv de fillon qui va être

par rapport à air qui va être que cet

état dérivés par rapport à petacchi m -

rsync et à dériver par rapport à air qui

va être du coup sint états et des

limites 8,2 par rapport à tes tachymètre

r.costa donc le déterminant de cette

matrice en valeur absolue du coup ça va

donner par la valeur absolue

deux aires que ce qui a été ta plus air

qui a réussi à redon est un signe qu'ils

arrêtaient pas tout simplement

multipliée air que c'est à costa et

soustraits par - rc une carte états qui

fait donc plus chers et donc ça puisque

que scary piscine car est égal à ça nous

donne la valeur absolue de m et puisque

l'air est positif ça nous donne

simplement rien donc on a trouvé le

jacquot bien on peut maintenant faire le

chemin de variables donc lhi carrés qui

était pour rappel intégral sur r2 de

l'expérience y l2 - ex carré plus y car

et intérêts par rapport à des x et y

ça va maintenant être intégrale sur

d'autres ensembles une de l'ex potentiel

de moins

le changement de variables fille qui va

nous donner du coup x ça va être sûrs

que c'est à dunkerque haricots scarlett

et à y sava etre rsync et a donc erquy

racing cars et état on doit multiplier

par le jacquot bien qui pour rappel est

tr et maintenant noté que par rapport à

des états donc puisque que ce qui arrive

piscine car est égale 1 ça nous donne

l'intégrale sur u2 l'exponentielle de

moi r carrés à x

r comme un jeu met devant tous un père

et par rapport à dr dette et a donc

maintenant je vais spécifié quels sont

les bornes d'intégration donc on intègre

airs par rapport à 0 entre zéro et

l'infini et en intègrent par rapport à

tu et à entre 0 et 2 bis et ça on

intègre du coup rx2 - m²

donc là c'est cette notation c'est

simplement pour spécifier les bandes

d'intégration mais là on nous a noté

groupe bien par rapport à tes tas et par

rapport à air notre fonction qui entre

parenthèses maintenant puisque ça ça

dépend pas tout état on peut sortir lève

l'intégrale de l'état

et multiplie du coup par l'intégrale

entre zéro et l'infini de m extraits p r

cette intégrale va simplement nous

donner de pin et cette intégrale donc du

coup fait égal à 2 pi soit l'intégrale

entre zéro et l'infini de air expo rdr

et il faut trouver un primitive de cette

fonction donc une primitive de l'air

expiré ce texte de molière carré puisque

on va dériver il va y avoir moins deux

heures donc il faut multiplier par moins

-1 et utilisé par dieu

donc on vérifie la dérive et ça par

rapport à air ça va être moins errecart

et pardon - donc la dérive et interne

qui va être moins 2 r x fois la fonction

dérivés qui va être du coup moins

experts carrés sur deux est donc ça a

tout simplement nous donner comme prévu

r ex - virtual assure de tout ça pour

dire qu'on a donc notre primitive à

intégrer avec les bornes donc qui est

qu'ils étaient moins ex mariah carey sur

deux intégrés entre air égal zéro et

régale l'infini donc ça nous donne de

pie x un air égale l'infini ceci vaut

zéro la limite entre scolaire tend vers

l'infini de l'ex demain l'exponentielle

dommage car il vaut zéro

et on soustrait par mois l'expérience

yale 2 0 sur deux donc ça nous donne

tout simplement de pie x une demi donc

pu donc on a montré que ecaré fopits ce

qui implique que ivo plus ou moins la

racine de pi or puisque il doit être

strictement positif pourquoi parce que

ceci est strictement positif

l'exponentielle d'un nombre est de toute

façon positive exponentielle positif

donc la racine elle parle l'intégrale

d'une positive positive donc c'est

intégral doit être positive

donc ça implique c'est ainsi que

l'intégrale est tout simplement racines

depuis donc j'espère que cette vidéo

vous a plu si jamais vous êtes des

questions pour une quelconque étape de

la vidéo n'hésitez pas à la pause et

donc voilà donc je réécris juste s'était

rassis copie donc n'hésitez pas à poser

votre question de ne pas sauter ce pas

ce commentaire si vous voulez que je

réexplique des concepts des intégrales

multiples faites le moi savoir

j'espère cette vidéo vous a plu et on se

retrouve à bientôt