Área bajo la curva por Extremos Derechos

Motamaticas

24 Mar 202010:14

Summary

TLDREn este video se explica cómo calcular el área bajo una curva en un intervalo específico utilizando el método de los rectángulos. Se toma la función f(x) = x^2 + 1 y se determina su área bajo la curva en el rango [-3, 3] con 6 rectángulos. Se detalla cómo se calcula el delta x, se grafican los puntos correspondientes y se suman las áreas de los rectángulos por extremos derechos para obtener una aproximación del área total, que resulta ser 25 unidades cuadradas.

Takeaways

📊 El objetivo es calcular el área bajo la curva de la función f(x) = x^2 + 1 en el intervalo cerrado de -3 a 3 utilizando 6 rectángulos.
📐 La función f(x) es una parábola que se describe en el guion y se visualiza en el video.
📈 Se utiliza el método de los rectángulos para aproximar el área bajo la curva, eligiendo 6 rectángulos para cubrir el intervalo dado.
🔢 El cálculo de la base de los rectángulos se realiza mediante la fórmula Δx = (b - a) / n, donde a = -3, b = 3, y n = 6.
📝 Se establece que la base de cada rectángulo es de 1 unidad, ya que el intervalo se divide en 6 partes iguales.
📉 Los valores de x para los rectángulos son -3, -2, -1, 0, 1, 2, y 3, correspondiendo a los puntos de evaluación de la función.
📌 Se calculan los valores de la función f(x) para cada punto de x, y se establecen las alturas de los rectángulos correspondientes.
📐 Se grafican los puntos obtenidos y se conectan para visualizar la aproximación de la parábola.
📏 Se calcula el área de cada rectángulo individualmente, multiplicando la base por la altura correspondiente.
🔢 El área total aproximada se obtiene sumando el área de todos los rectángulos, resultando en 25 unidades cuadradas.

Q & A

¿Qué método se utiliza para encontrar el área bajo la curva en el ejemplo proporcionado?
-Se utiliza el método de los rectángulos, donde se divide el área en segmentos rectangulares para calcular la aproximación del área bajo la curva.
¿Cuál es la función f(x) que se está analizando en el ejemplo?
-La función que se está analizando es f(x) = x^2 + 1.
¿Cuál es el intervalo de análisis para el área bajo la curva en el ejemplo?
-El intervalo de análisis es el cerrado desde -3 hasta 3.
¿Cuántos rectángulos se utilizan para aproximar el área en el ejemplo?
-Se utilizan 6 rectángulos para aproximar el área bajo la curva.
¿Cómo se calcula el valor de Δx (delta x) para los rectángulos?
-El valor de Δx se calcula como (b - a) / n, donde b es el valor final del intervalo, a es el valor inicial y n es el número de rectángulos.
¿Cuál es la base de los rectángulos utilizados en el cálculo del área?
-La base de los rectángulos es de 1 unidad, ya que el intervalo se divide en 6 partes iguales.
¿Cómo se determina la altura de cada rectángulo en el método de los rectángulos?
-La altura de cada rectángulo se determina sustituyendo el valor de x en la función f(x) y calculando el resultado.
¿Qué significa 'extremos derechos' y cómo se relaciona con el cálculo del área?
-Extremos derechos significa que se toma la altura del rectángulo desde el valor actual de x hasta el siguiente valor de x, lo que se utiliza para calcular la aproximación del área bajo la curva.
¿Cuál es la fórmula general para calcular el área de un rectángulo en este contexto?
-La fórmula general para calcular el área de un rectángulo es base por altura, donde la base es el intervalo y la altura es el valor de la función en ese intervalo.
¿Cómo se calcula el área total aproximada bajo la curva utilizando el método de los rectángulos?
-El área total aproximada se calcula sumando el área de cada uno de los rectángulos, que es la base (1 unidad) multiplicada por la altura correspondiente de cada rectángulo.
¿Cuál es el resultado final del área bajo la curva utilizando el método de los rectángulos con 6 rectángulos?
-El área total aproximada bajo la curva es de 25 unidades cuadradas.

Outlines

00:00

📊 Análisis de Área Bajo la Curva

Este párrafo explica cómo calcular el área bajo una curva en un intervalo dado utilizando rectángulos. Se presenta un ejemplo donde se busca el área bajo la curva de la función f(x) = x^2 + 1 entre -3 y 3 utilizando 6 rectángulos. Se describe el proceso de encontrar la base de los rectángulos a través de la fórmula delta x = (b - a) / n, donde b y a son los extremos del intervalo y n es el número de rectángulos. Se calcula delta x como (3 - (-3)) / 6, lo que da como resultado 1. Luego, se describe cómo se obtienen los valores de x y cómo se sustituyen en la función para obtener los valores de y, los cuales se utilizan para graficar la parábola y calcular el área aproximada debajo de la curva.

05:03

📐 Cálculo del Área por Extremos Derechos

En este párrafo se detalla cómo calcular el área bajo la curva utilizando el método de los extremos derechos. Se explica que se inicia por el último punto y se trabaja hacia la izquierda para formar los rectángulos. Se menciona que la base de los rectángulos es constante y se calcula como 1, ya que delta x es igual a 1. Se describe el proceso de multiplicar la base por la altura de cada rectángulo para obtener el área de cada uno y luego sumar todas estas áreas para obtener el área total aproximada. Se enfatiza que este método proporciona una aproximación del área real porque no se consideran todos los fragmentos por encima de la curva. Finalmente, se calcula el área total aproximada sumando las áreas de los seis rectángulos y se obtiene un resultado de 25 unidades cuadradas.

10:04

📢 Conclusión y Llamado a Acción

Este párrafo es un breve cierre del video donde se hace un llamado a la acción para que los espectadores den like y se suscriban al canal. No contiene información relevante al cálculo del área bajo la curva, sino que sirve como una invitación a interactuar y seguir el contenido del canal.

Mindmap

Keywords

💡Área bajo la curva

La 'Área bajo la curva' es un concepto fundamental en matemáticas que se refiere a la medida del espacio que se encuentra debajo de una curva y por encima del eje horizontal en un plano cartesiano. En el video, se busca calcular esta área para la función f(x) = x^2 + 1 en el intervalo [-3, 3], utilizando un método de aprobación numérica con rectángulos para aproximar la integral definida.

💡Rectángulos

En el guion, los 'Rectángulos' son utilizados para aproximar la área bajo la curva a través del método de los rectángulos. Se divide el intervalo en segmentos iguales y se calcula el área de rectángulos cuyas bases son las longitudes de estos segmentos y cuyas alturas son los valores de la función en los puntos de evaluación. En el ejemplo, se utilizan 6 rectángulos para aproximar la área.

💡Delta x (Δx)

El 'Delta x' (Δx) es la distancia entre los puntos de división en el intervalo de integración y es crucial para determinar la base de los rectángulos en el método de los rectángulos. En el video, se calcula como (b - a) / n, donde b y a son los extremos del intervalo y n es el número de rectángulos. En este caso, se divide el intervalo [-3, 3] en 6 rectángulos, haciendo que Δx sea 1.

💡Función f(x)

La 'Función f(x)' es la relación matemática que se está integrando. En el guion, la función dada es f(x) = x^2 + 1, una parábola. La función define los valores que se utilizan para calcular las alturas de los rectángulos en el método de aproximación.

💡Intervalo cerrado

Un 'Intervalo cerrado' es un conjunto de números que incluye ambos extremos. En el video, el intervalo cerrado [-3, 3] indica que se están considerando todos los valores entre -3 y 3, inclusive. Esto es importante para asegurarse de que toda la área bajo la curva esté incluida en el cálculo.

💡Extremos derechos

Los 'Extremos derechos' se refieren a un método específico de aproximación numérica donde se utilizan los valores de la función en los extremos de cada subintervalo para calcular la altura de los rectángulos. En el video, se describe cómo se calcula la área utilizando este método, lo que resulta en una aproximación de la integral.

💡Aproximada

La palabra 'Aproximada' indica que el cálculo realizado no es exacto, sino que es una estimación de la verdadera área. En el video, se menciona que el área calculada es una aproximación porque se utiliza el método de los rectángulos, que solo puede aproximar la forma real de la curva.

💡Base de los rectángulos

La 'Base de los rectángulos' es la distancia horizontal entre los puntos de cada subintervalo en el método de los rectángulos. En el guion, se calcula como Δx y se usa para determinar el ancho de cada rectángulo en la aproximación de la área bajo la curva.

💡Altura de los rectángulos

La 'Altura de los rectángulos' es el valor de la función f(x) en los puntos de evaluación, que se utiliza para determinar la altura de cada rectángulo en el método de los rectángulos. En el video, se calculan las alturas utilizando la función f(x) = x^2 + 1 en los puntos correspondientes a los extremos derechos de cada subintervalo.

💡Método numérico

Un 'Método numérico' es una técnica utilizada para resolver problemas matemáticos que no pueden ser resueltos analíticamente, como el cálculo de áreas o integrales. En el video, el método de los rectángulos es un ejemplo de un método numérico empleado para aproximar el área bajo la curva de una función.

Highlights

Exploración del área bajo la curva por extremos derechos utilizando el ejemplo de la función f(x) = x^2 + 1 en el intervalo [-3, 3].

Descripción de la parábola que representa la función f(x) = x^2 + 1.

Análisis de cómo se calcula el área bajo la curva a través de la tabulación de valores.

Explicación del cálculo de la base de los rectángulos usando la fórmula delta x = (b - a) / n.

Determinación de la base de los rectángulos para un intervalo cerrado de 6 rectángulos.

Cálculo de la base de los rectángulos, que resulta en 1 unidad para cada rectángulo.

Tabulación de los valores de x y la función f(x) para los puntos -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Graficación de los puntos obtenidos en el plano cartesiano para visualizar la parábola.

Descripción de cómo se calcula el área de los rectángulos por extremos derechos.

Explicación de la fórmula de cálculo del área de un rectángulo (base x altura).

Cálculo del área total aproximada por extremos derechos sumando las áreas de los seis rectángulos.

Observación de que el área calculada es una aproximación y no exacta debido a los fragmentos no considerados.

Importancia de recordar que la base de los rectángulos es constante y es igual a 1 en este ejemplo.

Multiplicación de la base constante por las alturas de los rectángulos para obtener el área total aproximada.

Resultado final del cálculo, que es un área total aproximada de 25 unidades cuadradas.

Invitación a los espectadores a comentar, dar like y suscribirse al canal.