El concepto de derivada. ¿Qué es y para qué sirve la derivada?
Summary
TLDREl guión explora la definición de la derivada en cálculo diferencial, desmitificando su concepto como una 'tasa de cambio instantánea'. A través de un ejemplo de competencia de robótica, se ilustra cómo calcular la velocidad en cada instante para asegurar que no se supere un límite de velocidad. Se explica que la derivada es la mejor aproximación a la pendiente de la recta tangente en un punto, y cómo esta técnica permite obtener una gráfica de velocidad que describe el cambio de velocidad a lo largo del tiempo, sin necesidad de conocer la función original.
Takeaways
- 😀 La derivada se describe como una 'tasa de cambio instantánea' para cada punto de una función.
- 🤔 Se cuestiona cómo es posible medir una tasa de cambio en un solo instante, lo que parece contradictorio.
- 🤓 La derivada es a menudo enseñada como una operación mágica sin una comprensión profunda de su significado.
- 🤖 Se utiliza el ejemplo de una competencia de robótica para ilustrar la necesidad de entender la derivada para evaluar si un robot ha superado un límite de velocidad.
- 📈 Se discute cómo la velocidad promedio calculada a lo largo de un intervalo de tiempo no puede representar la velocidad instantánea.
- 🔍 Se explora la idea de que la derivada es una aproximación a la recta tangente en un punto específico de una función.
- 📉 Se muestra que al dividir el tiempo en intervalos más pequeños, las velocidades promedio calculadas se acercan más a la velocidad real del robot.
- 📘 Se explica que la derivada es una forma de medir el cambio en el eje vertical de una función (cambio en y) por el cambio en el eje horizontal (cambio en x).
- 📊 Se utiliza el concepto de límites para definir formalmente la derivada, donde se considera lo que sucede cuando el cambio en el eje horizontal se hace muy pequeño.
- 🏁 Se concluye que la derivada es una herramienta poderosa para entender cómo cambia una función a lo largo del tiempo, permitiendo evaluar reglas como límites de velocidad sin conocer la función completa.
Q & A
¿Qué es una derivada y cómo se relaciona con la tasa de cambio instantáneo?
-Una derivada es una operación matemática que, dada una función, devuelve otra función que representa la mejor aproximación a la recta tangente en un punto específico. Se relaciona con la tasa de cambio instantáneo porque muestra cómo cambia una cantidad respecto a otra en un instante específico, en lugar de un promedio sobre un intervalo de tiempo.
¿Por qué es difícil entender la noción de tasa de cambio instantáneo en una función?
-Es difícil porque la tasa de cambio tradicionalmente implica un cambio entre dos momentos, mientras que la derivada busca describir el cambio en un único instante, lo cual parece contradictorio al principio.
¿Cuál es la diferencia entre la velocidad promedio y la velocidad instantánea?
-La velocidad promedio es el cambio en la posición de un objeto dividido por el tiempo transcurrido entre dos puntos en el tiempo, mientras que la velocidad instantánea es la velocidad en un solo punto en el tiempo, que se obtiene tomando el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
¿Cómo se utiliza el concepto de derivada en la competencia de robótica mencionada en el guion?
-En la competencia de robótica, el concepto de derivada se utiliza para determinar si el robot ha sobrepasado el límite de velocidad en algún momento de su recorrido, analizando la gráfica de posición contra tiempo y calculando la pendiente (velocidad instantánea) en diferentes puntos.
¿Qué es la pendiente en el contexto de la derivada y cómo se relaciona con la velocidad?
-La pendiente en el contexto de la derivada es el coeficiente que multiplica al cambio en el eje horizontal (tiempo) para obtener el cambio en el eje vertical (posición), y se relaciona con la velocidad porque representa la tasa de cambio de la posición con respecto al tiempo.
¿Qué significan los símbolos 'delta' (Δ) y 'd' en el contexto de las derivadas?
-El símbolo 'delta' (Δ) representa la diferencia entre dos valores, mientras que 'd' se utiliza cuando se considera un cambio infinitesimalmente pequeño, aproximándose a cero, y es una forma de notar diferencias cuando se analiza la derivada.
¿Cómo se define formalmente una derivada en términos de límites?
-Una derivada se define formalmente como el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero de la razón entre el cambio en el eje vertical (Δy) y el cambio en el eje horizontal (Δx), es decir, la pendiente de la recta tangente en el punto de interés.
¿Qué es la recta tangente y cómo se relaciona con la derivada?
-La recta tangente es la línea que toca la curva de una función en un punto sin cruzarla, y se relaciona con la derivada porque la pendiente de esta recta es igual a la derivada de la función en ese punto, representando la mejor aproximación a la tasa de cambio instantánea.
¿Cómo se puede visualizar el proceso de aproximación a la derivada a través de la división en intervalos más pequeños?
-A medida que se divide la gráfica de posición en intervalos más pequeños, las velocidades promedio calculadas para cada intervalo se aproximan más a la velocidad instantánea real, lo que se visualiza en la gráfica de velocidad creando una aproximación cada vez más precisa a la función de velocidad.
¿Qué conclusiones se pueden sacar sobre la velocidad de los robots en la competencia basadas en las gráficas de velocidad obtenidas?
-Las gráficas de velocidad obtenidas a partir de las derivadas nos permiten determinar si un robot ha violado el límite de velocidad en algún momento de su recorrido, pudiendo así descalificarlo si es necesario.
Outlines
🤖 Introducción a la derivada y su significado
El primer párrafo introduce el concepto de la derivada como una operación matemática que transforma una función en otra, relacionando la derivada con la idea de una tasa de cambio instantánea en cada punto de una función. Se plantea la dificultad de entender cómo se puede hablar de una tasa de cambio en un solo instante, y se sugiere que esta es la definición que muchos estudiantes aprenden sin comprender completamente su significado. El vídeo utiliza un ejemplo de una competencia de robótica para ilustrar la necesidad de entender la derivada como una velocidad instantánea, y cómo los jueces de la competencia necesitan determinar si el límite de velocidad fue superado en algún momento. Se describe el proceso de registrar la posición del robot en diferentes momentos y cómo se podría usar esta información para calcular una gráfica de velocidad, planteando la dificultad de relacionar una velocidad instantánea con un único punto en el tiempo.
📈 La derivada como aproximación a la recta tangente
El segundo párrafo profundiza en la idea de la derivada como la mejor aproximación a la recta tangente en un punto específico de una función. Se explica que al dividir el tiempo de recorrido en intervalos más pequeños y calcular las velocidades promedio para cada uno de estos intervalos, se puede obtener una aproximación más precisa a la velocidad real del robot. Se hace un paralelismo con los matemáticos que desarrollaron el cálculo y cómo se enfrentaron al mismo problema de encontrar una función que relacione el cambio en el tiempo de otra. Se introduce la notación diferencial y se explica cómo la derivada se puede entender como el límite de la pendiente cuando el intervalo de tiempo se hace muy pequeño. Finalmente, se describe cómo, al analizar la pendiente de la función de posición, se puede obtener la gráfica de velocidad que describe cómo cambia la velocidad del robot a lo largo del tiempo, y cómo este conocimiento se puede aplicar para determinar si un robot ha superado el límite de velocidad en una competencia.
Mindmap
Keywords
💡Derivada
💡Tasa de cambio instantáneo
💡Velocidad promedio
💡Pendiente
💡Recta tangente
💡Límite de velocidad
💡Cálculo diferencial
💡Función
💡Límite
💡Diferencia
💡Aproximación
Highlights
La derivada es a menudo definida como una tasa de cambio instantáneo en cada punto de una función.
La tasa de cambio instantánea parece contradictoria al principio, pero es esencial para entender la derivada.
La derivada se puede entender mejor a través de un ejemplo práctico, como una competencia de robótica.
La velocidad promedio y la velocidad instantánea son conceptos clave para entender la derivada.
La velocidad instantánea es una aproximación de la velocidad real del robot en un punto específico del tiempo.
Los matemáticos del cálculo se enfrentaron al mismo problema de encontrar una función que relacione el cambio en el tiempo.
La derivada se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto dado.
La derivada es una aproximación de la recta tangente cuando el intervalo de tiempo se hace muy pequeño.
La notación 'd' en lugar de 'delta' se usa para diferencias que se hacen muy pequeñas y se aproximan a cero.
La definición formal de la derivada involucra el concepto de límites y cómo se comporta una función cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero.
La derivada no es exactamente la recta tangente, sino la mejor aproximación a la misma en un punto específico.
La gráfica de velocidad se obtiene asignando la pendiente de la recta tangente a cada punto de la función de posición contra el tiempo.
El análisis de la gráfica de velocidad ayuda a determinar si un robot ha violado el límite de velocidad en una competencia.
La derivada permite obtener aproximaciones de la tasa de cambio sin conocer la función primitiva.
El video explica cómo la derivada se relaciona con la velocidad y el cambio en el tiempo en contextos prácticos.
El concepto de derivada se demuestra con ejemplos visuales y se explica de manera sencilla y clara.
Transcripts
seguramente hayas escuchado el término
derivada ya sea en sus clases
refiriéndose esta operación mágica que
toma como entrada una función y te
devuelve a otra o simplemente ese
misterioso término matemático que hace
escuchaba en discusiones de personas
mayores sea cual sea tu caso es muy
probable que te hayan definido esta
operación como una tasa de cambio
instantáneo para cada uno de los puntos
individuales de una función pero qué
significa exactamente una tasa de cambio
instantáneo a priori parece no tener
sentido cómo es posible que podamos
hablar de una tasa de cambio de un único
instante en el tiempo si por su propia
definición una tasa de cambio implica
interpretar que tanto varía algo entre
un instante y un instante ve no parece
esto contradictorio
a pesar de ello esta es la idea que la
mayoría de los estudiantes adoptan como
la definición formal de una derivada y
proceden a resolver los ejercicios que
sus profesores proponen sin antes dar un
paso atrás y asegurarse que lo que están
haciendo sea razonable o incluso obvio
debemos saber que hay una gran
diferencia entre ser enseñado sobre por
qué algo es verdadero y desarrollarlo
desde cero
para entender entonces cómo nace la
necesidad de crear el concepto de
derivada partiremos del siguiente
ejemplo estamos participando en una
competencia de robótica donde nuestro
robot debe viajar de un punto a a un
punto b en el menor tiempo posible con
la única regla de no sobrepasar el
límite de velocidad de 4 metros por
segundo en caso de hacerlo quedarás
descalificado el trabajo de los jueces
es determinar si es que en algún momento
el límite de velocidad es sobrepasado
para ello coloca en una cámara que graba
el recorrido y registra la posición del
robot en cada momento de su trayecto
estos datos se pueden visualizar en una
gráfica de posición contra tiempo la
meta entonces es encontrar una segunda
gráfica que describa la velocidad del
robot en cada instante de tiempo y ver
si es que en algún momento se vieron la
única regla del concurso esto suena muy
ambiguo o no dado que por definición
sabemos que la velocidad es igual a la
distancia entre el tiempo es evidente
que para computar la velocidad del robot
debemos considerar un intervalo de
tiempo y el cambio de posición del robot
en ese lapso el resultado será la
velocidad promedio que debería llevar el
robot para cubrir la distancia que
cubrió en el tiempo analizado bajo este
hecho podemos decir que es imposible
relacionar a cada valor de tiempo una
velocidad instantánea y en realidad sólo
podemos una velocidad promedio para dos
puntos separados en el tiempo
y qué hacemos ahora dejamos el problema
sin solucionar y cancelamos la
competencia pues bienvenido este es el
mismo problema al que se enfrentaron los
padres del cálculo bueno evidentemente
en su época los robots no estaban ni
concebidos pero no pierdan la idea de
una forma más general la pregunta que
estos grandes matemáticos se pudieron
haber hecho es cómo podemos encontrar
una nueva función que relaciona el
cambio en el tiempo de otra en nuestro
caso específico queremos encontrar la
velocidad a partir del cambio de
posición pero esta idea se puede
expandir a muchas otras áreas cómo
encontrar que tanto que es una población
el beneficio de una empresa en función
del tiempo etcétera ahora volvemos a
nuestro ejemplo anterior y veamos cómo
fue que estos matemáticos lograron
resolver el problema si partimos del
hecho de que podemos calcular una
velocidad promedio entre dos instantes
de tiempo y sabemos que este resultado
representa la velocidad constante que se
debe llevar para cumplir la distancia
que se recorrió en el mismo tiempo nos
damos cuenta de dos cosas la primera es
que la velocidad constante calculada se
ve muy diferente a la velocidad real del
robot y la segunda es que no podemos
llamar a nuestra velocidad calculada una
función ya que sólo es una constante
gráfica da la mejor forma de visualizar
cómo los padres del cálculo llegaron a
esa solución es con él ejemplo dividamos
el tiempo de recorrido en 4 y calculemos
las velocidades promedio para cada uno
de estos intervalos
podemos ver que tenemos dos pares
simétricos pero dentro de cada par
encontramos dos velocidades promedio
diferentes si comparamos las animaciones
del robot real y el robot con la
velocidad que calculamos vemos que ambos
robots se parecen un poco más si bien no
son exactamente iguales ya podemos notar
en ambos un cambio de velocidad entre
los extremos y el centro del trayecto
sigamos este mismo enfoque pero ahora
apartamos nuestra gráfica en 8
calculemos las velocidades promedio para
cada intervalo y comparemos la
simulación con el robot real ahora es
mucho más evidente que el robot está
incrementando incrementando su velocidad
y se acercan más a la animación real del
robot esto nos sugiere una idea
interesante si seguimos partiendo
nuestra gráfica en más y más intervalos
la velocidad calculada se aproximará la
velocidad real en sí esta idea de
dividir en muchos pedazos pequeños las
funciones y analizar cómo cambian es la
esencia de lo que representa una
derivada pero volvamos a nuestra gráfica
de posición y llamemos a las cosas por
su nombre a esto que hemos estado
llamando velocidad en realidad es la
distancia recorrida del robot entre el
tiempo de muestra o de forma más general
podemos verlo como el cambio en el eje
vertical de la función / el cambio en el
eje horizontal esta división es lo mismo
que se conoce como pendiente si miramos
a la fórmula de la pendiente entre dos
puntos vemos que el numerador 2 y 1 es
la diferencia en el eje vertical delta x
y x2 menos x1 es la diferencia en el eje
horizontal del tate por lo tanto
calcular la pendiente de una función es
lo mismo que obtener su tasa de cambio y
en nuestro caso calcular la pendiente de
la función de posición es lo mismo que
encontrar la velocidad con estos nuevos
términos definidos podemos ir al ejemplo
donde partimos la gráfica en cuatro y en
vez de computar la velocidad como
distancia entre tiempo veámoslo como la
pendiente entre los puntos de corte de
la gráfica delta x entre delta t ya que
entendimos este concepto podemos
quedarnos con uno solo de estos
fragmentos y ver qué pasa con
formaciones que del tate se haga más
pequeño cuando este valor se acerca
mucho a cero la pendiente de la recta
entre los dos puntos se vuelve casi
tangente ya que están separados por un
intervalo inimaginablemente pequeño y
así es como debemos interpretar a la
derivada no es más que la mejor
aproximación a la recta tangente sobre
el punto de análisis de la función y
nótese que estoy diciendo la mejor
aproximación a la recta tangente sobre
un punto específico de la gráfica en
ningún momento dije que sea exactamente
la recta tangente porque queríamos en el
mismo problema con el que comenzamos al
inicio del vídeo ni tampoco estoy
diciendo que esta es la recta que se
consigue cuando el tate pequeño porque
reitero que haríamos en el mismo
problema de tratar de obtener un valor
de salida para una sola entrada cuando
estamos analizando el cambio entre dos
puntos con esto dicho nos debe estar
explotando la cabeza al darnos cuenta de
la sencillez que está detrás de las
derivadas pero aún no hemos acabado hay
una pequeña convención de notación
cuando hablamos de diferencias que se
hacen pequeñas hasta aproximarse a cero
como en el caso de del tate en estas
situaciones dejamos de llamar a las
diferencias por el símbolo delta y
usamos la letra d entonces cuando veamos
la letra de seguida de una variable
quiere decir que estamos esperando en
algún momento analizar qué pasa cuando
la diferencia de la misma se hace tan
pequeña que se aproxima 0 ya tenemos un
concepto visual y claro de que es una
derivada pero es momento de entender su
definición formal uno de los primeros
temas cuando tomamos un curso de cálculo
diferencial son los límites pero una vez
concluimos nos queda la duda de que
tuvieron que ver los límites con todo
esto por ello pongamos la definición
formal de derivada en pantalla y
analicemos la gráficamente usaremos de
función de ejemplo nuestra función de
posición contra tiempo en la fórmula
primero tenemos jefe de temas h esto
quiere decir que tomaremos el valor de
la función en un punto de interés de más
un tamaño de paso h este h es lo mismo
que el del tate que vimos anteriormente
por ello cambiaremos de variable para
entender mejor al valor obtenido le
restamos ft que es el valor de la
función evaluada en el punto de interés
el resultado de esta resta no es más que
la diferencia de alturas / efe dt y f de
temas h en otras palabras delta de x
entonces llegamos a la misma expresión
de pendiente que ya teníamos delta de x
entre delta de t pero con un término
extraño extra eso que ven ahí es un
límite y esencialmente nos sirve para
saber qué le pasó una función con un
determinado valor de entrada sin tener
que computar directamente ese valor en
la función sé que suena raro pero
quedará más claro con el siguiente
ejemplo nuestra función se ve de la
siguiente forma el límite cuando el tdt
tiende a cero de delta de x entre delta
de t y da como resultado lo que le pasa
a la función cuando delta de t se acerca
0 esto suena similar o no el límite
viene ayudarnos expresar de forma
escrita algo que ya sabemos y es este
concepto de hacer del tate más y más
pequeño para que el cálculo de la
pendiente se aproxime de mejor manera a
la pendiente de la recta tangente en el
punto de interés si nos damos cuenta no
hay nada nuevo en realidad esta
definición formal de derivada sólo es
una forma más elegante de plasmar todo
lo que explicado en el vídeo hasta el
momento después de todo esto aún nos
queda una incógnita que tienen que ver
estas aproximaciones a rectas con la
función de velocidad que estamos
buscando si sabemos que las pendientes
de estas rectas nos dicen la mejor
aproximación a la tasa de cambio de un
punto de una función es más que evidente
que este valor es igual a la mejor
aproximación para la velocidad para ese
punto es decir si recorremos toda la
función y en una nueva gráfica a cada
valor de t le asignamos un valor de bt
igual a la pendiente de la recta en este
instante obtenemos finalmente la gráfica
de velocidad que mejor describe cómo
cambia la velocidad del robot a lo largo
del tiempo gracias a esta técnica
podemos decir que este primer robot no
violó en ningún momento la regla del
límite de velocidad ahora analizaremos
un segundo robot que produce la
siguiente gráfica de posición para ello
haremos uso del enfoque anterior donde
calculamos las mejores aproximaciones a
la recta tangente y recorremos toda la
gráfica mientras grabamos los valores de
pendiente en otro sistema coordenada de
esta forma obtenemos la gráfica de
velocidad para este segundo competidor y
nos damos cuenta que sobrepasó el límite
de velocidad por lo que quedará
descalificado hemos aprendido que
gracias a saber qué significa una
derivada podemos obtener aproximaciones
de la misma sin siquiera conocer la
función primitiva que la describe ni
mucho menos tuvimos que resolver ningún
tipo de lo más maravilloso de todo esto
es que en unos minutos logras te
entender de forma más clara que la
mayoría de los estudiantes
universitarios lo que realmente
representa una derivada felicidades
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