Cómo y cuándo usar el Teorema del Coseno - Parte 1

Summary

Este video ofrece una explicación detallada sobre cómo y cuándo utilizar el teorema de coseno, también conocido como la ley del coseno, en triángulos de cualquier tipo. Se muestra cómo aplicar el teorema para encontrar la medida de un lado o un ángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, o cuando se conocen los tres lados. A través de ejemplos prácticos, se ilustra el proceso de resolución de un triángulo utilizando fórmulas y calculadora, y se demuestra cómo usar el teorema de coseno junto con el teorema de seno para encontrar todos los ángulos y lados de un triángulo, proporcionando una guía clara y didáctica para entender y aplicar estos conceptos matemáticos.

Takeaways

• 📚 El Teorema de Coseno, también conocido como Ley del Coseno, es aplicable en cualquier tipo de triángulo.
• 🔍 Se puede utilizar el Teorema de Coseno si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, o si se conocen los tres lados del triángulo.
• 📐 El Teorema de Coseno se enuncia en tres formas distintas, dependiendo del lado o el ángulo que se quiera encontrar.
• 🔢 La fórmula del Teorema de Coseno es similar al Teorema de Pitágoras, pero incluye el coseno del ángulo opuesto al lado que se busca.
• 📝 En el primer ejemplo, se resuelve un triángulo dado dos lados y el ángulo entre ellos, utilizando la fórmula del Teorema de Coseno.
• 🧮 Para encontrar un lado desconocido, se realiza una operación que involucra la suma y diferencia de los cuadrados de los otros dos lados, multiplicados por el coseno del ángulo dado.
• 📉 Se utiliza una calculadora para realizar los cálculos, especialmente para ángulos que no son notables y no se pueden calcular mentalmente.
• 📌 Una vez se conoce un lado, se puede usar el Teorema de Seno para encontrar los ángulos restantes, ya que se tiene una pareja de lado y ángulo.
• 📉 El Teorema de Seno se aplica para hallar el ángulo opuesto a un lado dado, utilizando la relación entre el lado y el seno del ángulo.
• 🔢 Al final del proceso, se utiliza la suma de los ángulos del triángulo, que debe ser 180 grados, para encontrar el último ángulo desconocido.
• 👍 El video ofrece un tutorial práctico y detallado para entender cómo aplicar el Teorema de Coseno y el Teorema de Seno en problemas de triángulos.

Q & A

¿Qué es el teorema de coseno y cómo se utiliza?

El teorema de coseno, también conocido como ley del coseno, es una fórmula matemática utilizada para resolver triángulos. Se puede utilizar en cualquier tipo de triángulo para encontrar la medida de un lado o un ángulo, dependiendo de los datos dados.

¿Cuáles son los criterios para aplicar el teorema de coseno?

El teorema de coseno se puede aplicar en dos casos: cuando se conocen dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos, o cuando se conocen los tres lados del triángulo y se desea encontrar las medidas de los ángulos.

¿Cómo se describe un triángulo en términos de sus lados y ángulos en el script?

En el script, se describe un triángulo nombrándolos con letras mayúsculas para los vértices y minúsculas para los lados y ángulos opuestos, por ejemplo, lado a, lado b, ángulo a, ángulo b.

¿Qué es el primer ejemplo que se presenta en el script para aplicar el teorema de coseno?

El primer ejemplo es resolver un triángulo dado dos lados y el ángulo entre ellos. Se busca encontrar la medida del lado opuesto a dicho ángulo utilizando la fórmula del teorema de coseno.

¿Cómo se enuncia la fórmula del teorema de coseno para encontrar un lado desconocido?

La fórmula del teorema de coseno para encontrar un lado desconocido es c² = a² + b² - 2ab * cos(γ), donde a y b son los lados conocidos, y γ es el ángulo entre ellos.

¿Cómo se calcula el lado opuesto al ángulo dado en el primer ejemplo del script?

Se utiliza la fórmula del teorema de coseno, reemplazando los valores conocidos de los lados y el ángulo, y luego se realiza la operación matemática correspondiente para encontrar el valor de c², y finalmente se toma la raíz cuadrada para obtener la medida del lado c.

¿Cuál es el segundo caso en el que se puede aplicar el teorema de coseno según el script?

El segundo caso es cuando se conocen los tres lados de un triángulo y se desea encontrar las medidas de los ángulos. En este caso, se utiliza la fórmula del teorema de coseno para cada uno de los ángulos.

¿Cómo se utiliza el teorema de seno para resolver el triángulo después de aplicar el teorema de coseno?

Después de encontrar un lado desconocido con el teorema de coseno, se utiliza el teorema de seno para encontrar los ángulos restantes. Se aplica la relación seno(opuesto)/adjacente para cada lado-ángulo desconocido.

¿Cómo se calcula el ángulo a en el ejemplo dado, después de aplicar el teorema de coseno?

Se utiliza el teorema de seno, donde seno(a) = opuesto(lado b) / hipotenusa(lado c). Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de seno(a) y luego se utiliza la función inversa del seno (arcsen) para encontrar el ángulo a.

¿Cómo se encuentra el ángulo b en el triángulo después de conocer los ángulos a y c?

Dado que la suma de los ángulos en un triángulo es 180 grados, se resta el ángulo a y el ángulo c de 180 grados para obtener el ángulo b restante.

¿Por qué es importante el orden de los lados y ángulos al describir un triángulo en el script?

El orden de los lados y ángulos es importante para aplicar correctamente las fórmulas del teorema de coseno y del teorema de seno, ya que estas fórmulas dependen de la posición relativa de los lados y ángulos en el triángulo.

Outlines

00:00

📚 Introducción al Teorema del Coseno

Este primer párrafo introduce el Teorema del Coseno, también conocido como la Ley del Coseno, que es aplicable en cualquier tipo de triángulo. Se explica que el teorema se puede enunciar de tres formas distintas dependiendo del lado o ángulo que se desee encontrar. Se menciona que el teorema puede ser aplicado si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, o si se conocen los tres lados del triángulo. Se describe el proceso de cómo se utiliza el teorema con ejemplos específicos, iniciando con el caso de dos lados y el ángulo entre ellos, y se detalla cómo se nombra a los lados y ángulos en el triángulo. Se menciona el uso del teorema para encontrar un lado específico cuando se conoce el ángulo opuesto y los otros dos lados.

05:02

🔢 Ejemplo de Aplicación del Teorema del Coseno

En este segundo párrafo, se desarrolla un ejemplo práctico para aplicar el Teorema del Coseno. Se describe el proceso de cómo se calcula el cuadrado de un lado desconocido (sea) utilizando el teorema, teniendo en cuenta los lados conocidos (18 metros y 26 metros) y el ángulo entre ellos (65 grados). Seguidamente, se explica el cálculo paso a paso, incluyendo la realización de operaciones algebraicas y la introducción de los valores en una calculadora para obtener el resultado aproximado. Se destaca la importancia de realizar la raíz cuadrada del resultado para obtener la medida exacta del lado sea, que se calcula como 24.58 metros. Posteriormente, se utiliza el valor obtenido para resolver el resto del triángulo, utilizando el Teorema del Seno para encontrar los ángulos restantes.

10:03

🎓 Conclusión y Solución Completa del Triángulo

El tercer párrafo concluye el tutorial explicando cómo se resuelve completamente el triángulo después de aplicar el Teorema del Coseno. Se menciona que, una vez encontrado el lado faltante, se puede utilizar el Teorema del Seno para determinar los ángulos restantes. Se calcula el ángulo 'a' utilizando el valor de sea y el ángulo opuesto, y se resuelve el ángulo 'b' restando los ángulos conocidos del total de 180 grados en un triángulo. Se obtiene un ángulo 'b' de 73.42 grados. El vídeo finaliza con un resumen de los conceptos tratados y un llamado a la acción para que el espectador suscriba al canal y deje un 'me gusta' si le gustó el contenido.

Keywords

💡Teorema de Coseno

El Teorema de Coseno, también conocido como la Ley del Coseno, es una fórmula matemática utilizada para calcular la longitud de un lado de un triángulo o el valor de un ángulo cuando se conocen otras medidas del triángulo. En el video, se presenta como una herramienta fundamental para resolver triángulos, ya sea para encontrar un lado desconocido o para determinar los ángulos restantes, siempre y cuando se cuente con dos lados y el ángulo entre ellos o con los tres lados del triángulo.

💡Triángulo

Un triángulo es una figura geométrica compuesta por tres lados y tres ángulos. En el contexto del video, el triángulo es el objeto de estudio principal, ya que el Teorema de Coseno se aplica para resolver problemas relacionados con sus lados y ángulos. El script menciona triángulos en varias situaciones, como cuando se dan dos lados y el ángulo entre ellos, o cuando se conocen los tres lados.

💡Lado

En el script, 'lado' se refiere a una de las distancias lineales que unen dos vértices de un triángulo. Los lados son fundamentales para aplicar el Teorema de Coseno, ya que este teorema permite hallar la medida de un lado desconocido si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, o si se conocen los tres lados y se quiere encontrar un ángulo.

💡Ángulo

El 'ángulo' es la medida del espacio entre dos lados de un triángulo que se encuentran en un mismo vértice. En el video, el ángulo es otro elemento clave para la aplicación del Teorema de Coseno, ya que permite calcular la medida de un ángulo desconocido si se conocen los lados adyacentes y, en algunos casos, el lado opuesto.

💡Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es mencionado en el script como una referencia para entender el Teorema de Coseno, ya que ambos teoremas se relacionan con la relación entre los lados de un triángulo. Aunque no es el foco principal del video, se utiliza para comparar y contrastar con el Teorema de Coseno, destacando que el Teorema de Pitágoras se aplica a triángulos rectángulos, mientras que el de Coseno es más versátil y se puede usar en cualquier triángulo.

💡Seno

El 'seno' es una función trigonométrica que relaciona la medida de un ángulo en un triángulo con la longitud de un lado opuesto a ese ángulo y la hipotenusa. En el video, el seno se menciona como una herramienta para resolver el triángulo una vez que se conoce la medida de un lado y un ángulo, y se busca calcular otro ángulo.

💡Cálculo

El 'cálculo' se refiere a la resolución matemática de problemas, como el hallazgo de la medida de un lado o un ángulo en un triángulo. En el script, el cálculo es un proceso clave en el uso del Teorema de Coseno y se ilustra con ejemplos detallados, donde se realiza la sustitución de valores y el uso de la calculadora para obtener resultados precisos.

💡Ángulo Notable

Un 'Ángulo Notable' es un ángulo cuyo valor se puede recordar o calcular mentalmente debido a su frecuencia de uso o su importancia en trigonometría. En el video, se menciona que 65 grados no es un ángulo notable, lo que implica que para calcular el seno o el coseno de este ángulo, es necesario recurrir a herramientas como una calculadora.

💡Raíz Cuadrada

La 'Raíz Cuadrada' es una operación matemática que se utiliza para encontrar el valor que, al elevarse al cuadrado, da como resultado un número dado. En el script, la raíz cuadrada es usada para determinar la longitud de un lado después de calcular su valor al cuadrado mediante el Teorema de Coseno.

💡Hipotenusa

La 'Hipotenusa' es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Aunque el script no se centra en triángulos rectángulos específicamente, la hipotenusa se relaciona con el concepto de seno y la aplicación del Teorema de Coseno, ya que este último puede ser derivado del Teorema de Pitágoras, que involucra a la hipotenusa.

Highlights

El video explica cómo y cuándo utilizar el teorema de coseno en triángulos.

El teorema de coseno se puede utilizar en cualquier tipo de triángulo.

Se presentan tres formas de enunciar el teorema de coseno según el lado o ángulo a encontrar.

El primer criterio de aplicación es tener dos lados y el ángulo entre ellos.

El segundo criterio es conocer los tres lados del triángulo para hallar los ángulos.

Se describe el proceso de resolver un triángulo dado dos lados y el ángulo entre ellos.

Se menciona la importancia de la nomenclatura de los vértices y lados en el triángulo.

Se ejemplifica el uso del teorema de coseno para encontrar un lado desconocido.

Se detalla la fórmula del teorema de coseno y cómo aplicarla.

Se muestra cómo realizar operaciones algebraicas para aplicar el teorema de coseno.

Se sugiere la aproximación de cálculos para facilitar el proceso antes de usar una calculadora.

Se explica cómo encontrar el valor de un lado usando la raíz cuadrada de un resultado.

Se demuestra el uso del teorema de seno para resolver el resto del triángulo una vez conocido un lado.

Se calcula el ángulo opuesto a un lado dado utilizando el teorema de seno.

Se resuelve el ángulo restante utilizando la propiedad de que la suma de los ángulos en un triángulo es 180 grados.

Se concluye el tutorial mostrando cómo se ha resuelto completamente el triángulo utilizando ambos teoremas.

Se anuncia una segunda parte del video para mostrar otro caso de aplicación del teorema de coseno.

Se invita a los espectadores a dar 'me gusta' y suscribirse para más contenido.

Transcripts

[Música]

hola en este vídeo les voy a explicar

cómo y cuándo podemos utilizar el

teorema de coseno el teorema o también

llamado ley del coseno al igual que el

del seno lo podemos utilizar en

cualquier tipo de triángulo este teorema

se enuncia de la siguiente manera

tenemos estas tres formas de denunciarla

dependiendo si yo quiero encontrar el

lado a el lado b o el lado c o

dependiendo si quiero encontrar el

ángulo ángulo b o ángulos ya cuando

veamos los ejemplos les enseñaré cómo se

utiliza esta fórmula cuando podemos

aplicar teorema del coseno un primer

criterio para poder utilizarlo es si nos

dan dos lados del triángulo y el ángulo

que está entre dichos lados cuando esto

pase podemos utilizar teorema de coseno

y un segundo criterio para poderlo

utilizar es si nos dan los tres lados

del triángulo en este caso empezaríamos

a hallar las medidas de los ángulos les

voy a mostrar un ejemplo de este caso y

otro ejemplo de este caso empezaremos

cuando nos dan dos lados del triángulo y

el ángulo que está entre ellos

vamos con el primer ejemplo nos piden

resolver este triángulo es decir

encontrar la medida de todos sus lados y

todos sus ángulos como en este ejercicio

no vienen nombrar los lados y los

ángulos lo hacemos nosotros podemos

describir a

ve

hice pero este orden no importa usted lo

puede describir como ustedes quieran

hubiera podido escribir a acabé acá se

acaba no interesa lo que sea importar es

que siempre los vértices van con letra

mayúscula luego al igual que electro mal

se nos hacemos un listado lo que debemos

buscar a minúscula d minúscula y se

minúscula y por otro lado a mayúscula be

mayúscula y se mayúscula es decir lados

y ángulos en nuestro ejercicio nos están

dando el ángulo c fíjense porque

nosotros así lo nombramos que sería 65

grados y recordemos que si este es el

ángulo c este es el lado c si este es el

ángulo a este es el lado a el opuesto se

llama igual y si este es el ángulo b

este lado se llama lado b luego

podríamos saber que el lado de 18 metros

y que la v de 26 metros

esto es lo primero que hacemos en el

ejercicio miramos qué es lo que tenemos

en ese momento notamos que nos están

dando todos lados del triángulo y

precisó el ángulo que forman esos lados

siempre que tengamos ese criterio

podemos utilizar el teorema del con cero

entonces recordemos cómo viene

denunciado el teorema y ccoo se no puede

empezar con la letrada de 12 dependiendo

de qué lado quiere buscar vamos a buscar

este lado es decir el lado sé que nos

falta acá luego vamos a empezar

enunciando lo como sea al cuadrado si

quisiera buscar a empezaríamos al

cuadrado y si quisiera buscar b

empezaríamos b al cuadrado

al otro lado del igual colocamos las dos

letras que faltan como en una especie de

teorema de pitágoras aquí tenemos la

letra c entonces voy a colocar la letra

y la letra b pero en pitágoras van

siempre al cuadrado y entonces colocamos

el signo + por eso les digo que es como

una especie estilo de teorema de

pitágoras siempre va si todos van

elevados al cuadrado aquí va el lado que

queremos buscar y acá los otros dos que

faltan y siempre con el signo más

continuamos con la fórmula luego sigue

el signo menos dos veces estos dos lados

que tenemos acá la multiplicación de dos

por esos dos lados pero ya sin elevar al

cuadrado entre sería todos por a por b y

siempre rematamos por el coseno del

ángulo opuesto al lado que tenemos acá

es decir como acá está la 12 pues aquí

colocamos el ángulo si de nuevo que pasa

si hubiera tenido acá a al cuadrado

porque quiero buscar pues simplemente

que caería b al cuadrado más sea al

cuadrado menos dos veces esos lados osea

ps por el co seno del ángulo que

busca la capa es decir el ángulo a en

este caso siempre seno memorizan de esa

forma ahora lo que tenemos que hacer es

reemplazar pues ello no sé qué medida

tiene por eso lo dejamos así pero así lo

tengo

dijimos que medía 18 estos serían 18 al

cuadrado más 26 al cuadrado

- 2 que multiplica acuérdese que el

paréntesis quiere decir también

multiplicación a o sea 18

o sea 26

por el coche no del ángulo sé cuál es el

ángulo de 65 grados esta sería la

operación que tendríamos que hacer para

encontrar sea al cuadrado entonces

hagamos la sea al cuadrado

sería igual podemos elevar estos

cuadrados

hagamos 18 al cuadrado

en una 324

más ahora 26 al cuadrado

nos dan 676

- podemos ir haciendo esta

multiplicación

que nos da 936

x con 0 de 65

todavía no hacemos esta multiplicación

porque la idea es aproximar lo menos

posible podemos ir haciendo esta suma

porque a pesar de que generar quiera

operaciones no mandan porque manda la

multiplicación esta suma de acá no

afecta a esta multiplicación entonces la

podemos ir haciendo tendríamos pse al

cuadrado

igual a 324 676

lo cual me daría a mí

- 936

por coser 965

como notamos 65 grados no es un ángulo

notable no es una cuenta que podamos

hacer mentalmente si queremos ya podemos

introducir todo esto en la calculadora

es más si ustedes hubieran querido

hubieran podido introducir todo esto en

la calculadora y ella ya le arroja o al

resultado que voy a colocar acá sea al

cuadrado es igual vamos a hacer esta

operación

esto nos da aproximadamente 600 4.42

pero aún no tenemos cuál es la medida de

ce tengan cuidado este no es el

resultado esto es se al cuadrado luego

si queremos saber quién es si debemos

sacar la raíz de este valor la raíz

cuadrada luego en nuestra calculadora

tenemos este resultado le damos hace es

de aguardar resultados y entonces vamos

a decir que vamos a sacar la raíz

cuadrada de als es decir de ese último

resultado esto nos daría 24 puntos 58

para que utilizó as para no aproximar

sino dejar el resultado que tenía y así

lograr que este resultado sea más exacto

entonces este sería el valor que tenemos

en ce 24 58

luego podríamos decir que la 12 mide 24

58 metros de esta forma ya aplicamos el

teorema del coseno para encontrar el

lado que nos faltaba esa es una de sus

aplicaciones si queremos seguir

resolviendo el triángulo ya no hay

necesidad de utilizar teorema del coseno

sino que podemos utilizar teorema del

seno que es más sencillo porque podemos

utilizar teorema del celo porque tenemos

ya una parejita podemos decir que 24 58

es al celo de 65 grados

como y ahora podemos buscar cualquiera

de estos dos ángulos entonces por

ejemplo voy a buscar el ángulo a como 18

es al seno de a

listo ahora resolvamos el teorema del

seno para resolverlo decimos que seno de

ea va a ser igual a resolver esta regla

de 3 multiplicamos los dos que están en

diagonal 18 por 0 e 65 y dividimos entre

24 puntos 58 o sea que se rodean

es igual hagamos esta cuenta 18 por 0 de

65

y este resultado lo dividimos entre 24

puntos 58

nos daría 0.66 aproximadamente

recordamos según lo que vemos el teorema

de seno que para saber cuál es el valor

de a aplicamos la función seno a la

menos 10 la menos 1 de 0.66 nos da

luego sería aplicar esta función

entonces nuestra calculadora ya tenemos

este valor

damos hace shift seno para encontrar

cero al menos uno de als el último valor

que teníamos es decir éste con todos sus

decimales eso nos daría 41.58 en este

caso grados

entonces ya tenemos la media del ángulo

a

sólo nos falta la media del ángulo b

pero esta ya es muy sencilla de hallar

como sabemos que los tres sumados deben

dar 180 grados

tomamos 180 grados y le restamos estos

dos ángulos entonces 180 grados menos 65

grados y 41 puntos 58

nos da este resultado en fracción pero

recuerden que lo podemos pasar a decimal

con la tecla sd nos daría a 73 punto 42

grados

de esta forma ya resolvimos el triángulo

aplicamos inicialmente el teorema del

coe seno para encontrar el lado faltante

y luego teorema al cero para terminar de

solucionar todo el triángulo en la

segunda parte de este vídeo les voy a

mostrar el segundo caso en el cual

podemos aplicar el teorema de ccoo cero

espero que hayas entendido el tema que

tratamos de explicar en este tutorial si

te gusto nuestro vídeo no olvides darle

me gusta y suscribirte a nuestro canal

espero que estés muy bien hasta un

próximo vídeo