Physics 68 Lagrangian Mechanics (18 of 32) Two Mass - Two Spring System

Summary

En esta conferencia en línea, se explora el uso de variables generalizadas para resolver problemas de mecánica donde dos objetos se mueven de manera independiente. Se busca encontrar dos ecuaciones de movimiento independientes utilizando la técnica de Lagrange, que es ideal para sistemas con múltiples grados de libertad. Se calcula la energía cinética y potencial del sistema, y se derivan las ecuaciones de movimiento para ambas masas, demostrando cómo el enfoque de Lagrange simplifica el proceso en comparación con el método tradicional de la segunda ley de Newton.

Takeaways

• 📚 La lección trata sobre la aplicación de la técnica de Lagrangiana para resolver problemas de mecánica con dos variables independientes, x1 y x2.
• 🔍 Se buscan dos ecuaciones de movimiento independientes debido a la presencia de dos objetos que se mueven de manera independiente.
• 🤔 Se utiliza la energía cinética y potencial del sistema para construir el Lagrangiano, que es la suma de la energía cinética menos la energía potencial.
• 📐 La energía cinética del sistema se expresa en términos de las variables x1 y x2, considerando la velocidad relativa a su punto de equilibrio.
• 🔄 La energía potencial se calcula a partir de las distancias estiradas o comprimidas de las molas, relacionadas con las variables x1 y x2.
• 🧩 Se multiplica la expresión de la energía potencial para simplificar su forma y facilitar su uso en el Lagrangiano.
• ⚖️ El Lagrangiano se define como la diferencia entre la energía cinética y potencial del sistema.
• 🔢 Se derivan las ecuaciones de movimiento para cada variable (x1 y x2) a través de la derivada parcial del Lagrangiano con respecto a las velocidades y posiciones.
• 📉 Las derivadas parciales del Lagrangiano con respecto a las velocidades dan la masa multiplicada por la aceleración de cada masa.
• 📈 Las derivadas parciales con respecto a las posiciones proporcionan las fuerzas restauradoras de las molas en el sistema.
• 🔧 El uso del Lagrangiano facilita el hallazgo de las ecuaciones de movimiento para sistemas complejos, en comparación con el enfoque de Newton.

Q & A

¿Qué son las variables generalizadas en el contexto de la física de la mecánica?

Las variables generalizadas son coordenadas utilizadas en la mecánica para describir el movimiento de un sistema de manera independiente de las fuerzas que lo causan. En el script, se mencionan x1 y x2 como ejemplos de variables generalizadas.

¿Por qué se necesitan dos ecuaciones de movimiento independientes para dos variables generalizadas?

Se necesitan dos ecuaciones de movimiento independientes porque hay dos objetos que se mueven de manera independiente, y cada uno debe ser determinado por su propia ecuación.

¿Qué técnica se utiliza para encontrar las ecuaciones de movimiento cuando hay variables generalizadas?

Se utiliza la técnica de Lagrange, que es adecuada para sistemas con variables generalizadas, ya que permite encontrar las ecuaciones de movimiento a partir de la energía cinética y potencial del sistema.

¿Cómo se expresa la energía cinética del sistema en términos de las variables x1 y x2?

La energía cinética del sistema se expresa como la suma de la energía cinética de cada objeto, que depende de la velocidad relativa a su punto de equilibrio, que se define por las variables x1 y x2.

¿Cómo se relaciona la energía potencial con las variables x1 y x2 en el caso de dos resortes?

La energía potencial se relaciona con las variables x1 y x2 a través de la distancia comprimida o alargada de los resortes. Cuando un objeto se mueve, la energía potencial de un resorte se calcula como la mitad del producto de su constante de molimiento y el cuadrado de la distancia alargada o comprimida, que se expresa en términos de x1 y x2.

¿Qué es el Lagrangiano y cómo se define en el script?

El Lagrangiano es una función que representa la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial del sistema. En el script, se define como la energía cinética menos la energía potencial, y se utiliza para encontrar las ecuaciones de movimiento.

¿Cómo se obtienen las ecuaciones de movimiento a partir del Lagrangiano?

Se obtienen las ecuaciones de movimiento tomando las derivadas parciales del Lagrangiano con respecto a las variables generalizadas y sus derivadas temporales, y luego estableciendo que estas derivadas sean iguales a cero.

¿Qué significa 'x1 dot' y 'x2 dot' en el contexto del script?

'x1 dot' y 'x2 dot' representan la derivada temporal de las variables generalizadas x1 y x2, es decir, la velocidad de los objetos en el sistema.

¿Cómo se relaciona la ecuación de movimiento para la masa 1 con la variable x1?

La ecuación de movimiento para la masa 1 se relaciona con x1 a través de la derivada parcial del Lagrangiano con respecto a x1 y su derivada temporal, lo que resulta en una ecuación que involucra la aceleración de la masa 1 y las fuerzas de los resortes.

¿Cómo se relaciona la ecuación de movimiento para la masa 2 con la variable x2?

La ecuación de movimiento para la masa 2 se relaciona con x2 de manera similar a la masa 1, pero tomando en cuenta las derivadas parciales del Lagrangiano con respecto a x2 y su derivada temporal, lo que da una ecuación que involucra la aceleración de la masa 2 y las fuerzas de los resortes.

¿Por qué el enfoque de Lagrange es más adecuado para este tipo de problemas que el método de Newton?

El enfoque de Lagrange es más adecuado para problemas con variables generalizadas porque permite encontrar las ecuaciones de movimiento de manera más sencilla y sistemática, sin necesidad de aplicar Newton's second law directamente a cada fuerza en el sistema.