Regla de Simpson. Aproximación de integrales. Ejemplo 1
Summary
TLDREn este video tutorial, Jesús Grajeda muestra cómo resolver una integral utilizando la Regla de Simpson, una técnica de aproximación para calcular áreas bajo la curva de una función. Jesús explica que la integral no se puede resolver de manera directa ni con sustituciones comunes, y por ello, se requiere un método de aproximación. A través de una gráfica y un paso a paso detallado, Jesús guía al espectador en el proceso de calcular el área utilizando la fórmula de Simpson, incluyendo la elección del número de rectángulos y la evaluación de la función en puntos clave. Finalmente, compara el resultado aproximado con el valor exacto obtenido mediante una calculadora, demostrando la precisión de la aproximación.
Takeaways
- 😀 Jesús Grajeda presenta un nuevo video tutorial sobre cómo resolver una integral utilizando la Regla de Simpson.
- 📚 La integral mostrada en el video no puede ser resuelta de manera directa ni con métodos de sustitución, por partes o fracciones parciales, ni con sustitución trigonométrica.
- 📉 La Regla de Simpson es un método de aproximación para calcular integrales, y el video explica cómo aplicarla paso a paso.
- 🔢 La fórmula de la Regla de Simpson se presenta en detalle, con una explicación de los coeficientes y cómo se aplican a los valores de la función evaluada en puntos específicos.
- 📈 Se ilustra la Regla de Simpson con una gráfica que muestra cómo se aproxima la curva de la función con rectángulos y parábolas.
- 📝 El video detalla el proceso de calcular el área bajo la curva de una integral definida, utilizando la fórmula de Simpson.
- 📐 Se menciona que 'n' debe ser un número par para aplicar la Regla de Simpson, y se selecciona n=10 como ejemplo.
- 🔢 El cálculo de 'delta de x' se muestra como un paso importante para determinar los valores incrementales de 'x'.
- 📊 Se realiza un ejemplo práctico de cálculo, donde se sustituyen los valores de la función evaluada en puntos 'x0' a 'xn' en la fórmula de Simpson.
- 🤔 Se recomienda realizar la suma de los términos dentro de la fórmula antes de multiplicar por 'delta de x' para evitar errores en la calculadora.
- 📊 Al final del video, se compara el resultado aproximado de la integral utilizando la Regla de Simpson con el resultado obtenido directamente por la calculadora, mostrando una buena concordancia.
Q & A
¿Quién es el presentador del video y qué tema trata?
-El presentador del video es Jesús Grajeda y trata sobre cómo resolver una integral utilizando la regla de Simpson.
¿Por qué no se pueden utilizar métodos tradicionales para resolver la integral mostrada en el video?
-No se pueden utilizar métodos tradicionales como la integración directa, sustitución, método de partes o fracciones parciales trigonométricas porque la integral no se ajusta a esas técnicas.
¿Qué es la regla de Simpson y para qué se usa?
-La regla de Simpson es un método numérico para aproximar el valor de una integral definida. Se usa para calcular el área bajo la curva de una función en un intervalo dado cuando no se puede integrar analíticamente.
¿Cuál es la fórmula básica de la regla de Simpson mencionada en el video?
-La fórmula básica de la regla de Simpson es ∫(a a b) f(x) dx = (Δx/3) * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + ... + 4f(x_{n-1}) + f(xn)] donde Δx = (b - a)/n y n es el número de subintervalos.
¿Cómo se representa gráficamente la aproximación de la regla de Simpson?
-Se representa gráficamente trazar rectángulos y parábolas para aproximar el área bajo la curva de la función. La regla de Simpson usa parábolas para cerrar los rectángulos en lugar de las curvas de la función.
¿Cuántos rectángulos se trazan en el ejemplo dado en el video?
-En el ejemplo dado en el video, se trazan 8 rectángulos para aproximar el área bajo la curva.
¿Cómo se calcula Δx en la regla de Simpson según el video?
-Δx se calcula como (b - a)/n, donde b es el límite superior, a es el límite inferior y n es el número de rectángulos o subintervalos.
¿Cuál es el número de subintervalos (n) que se elige para el ejemplo en el video?
-Para el ejemplo en el video, se elige n = 10 subintervalos para aplicar la regla de Simpson.
¿Cómo se evalúa la integral utilizando la regla de Simpson en el ejemplo del video?
-Se evalúa sustituyendo los valores de x (x0 a x8) y las funciones correspondientes en la fórmula de la regla de Simpson y realizando las operaciones matemáticas necesarias para obtener el resultado aproximado.
¿Cuál es el resultado aproximado de la integral mostrada en el video utilizando la regla de Simpson?
-El resultado aproximado de la integral utilizando la regla de Simpson en el video es 1.4626.
¿Cómo se compara el resultado de la regla de Simpson con el resultado de una calculadora en el video?
-Se compara integrando la función dada (f(x) = x^2) en un intervalo de 0 a 1 utilizando una calculadora, obteniendo el mismo resultado de 1.4626 que con la regla de Simpson, lo que valida la aproximación.
Outlines
📚 Introducción a la Regla de Simpson
El primer párrafo presenta al profesor Jesús Grajeda y su intención de enseñar cómo resolver una integral utilizando la Regla de Simpson. Se menciona que la integral no puede ser resuelta de manera directa ni con otros métodos comunes. La explicación de la fórmula de Simpson se presenta de forma detallada, incluyendo el proceso de aproximación de la integral a través de rectángulos y parábolas. Además, se ofrece una gráfica para ilustrar cómo se aproxima la integral a la curva de la función.
🔢 Aplicación de la Regla de Simpson
En el segundo párrafo, se procede a aplicar la Regla de Simpson para aproximar el área bajo la curva de una integral definida. Se elige un número par 'n' para el número de rectángulos, en este caso, n=10, y se calcula 'delta de x'. Se describe el proceso de evaluación de la función en los puntos x0 hasta xn, y se sustituyen estos valores en la fórmula de Simpson. Se realiza una suma detallada y se multiplica por 'delta de x' dividido por 3 para obtener el resultado aproximado de la integral. Al final, se compara este resultado con el obtenido utilizando una calculadora, mostrando una buena concordancia.
🎉 Conclusión y Despedida
El último párrafo concluye el video con un mensaje de agradecimiento y una llamada a seguir las redes sociales del profesor. Se menciona que las matemáticas están respaldadas y se cierra el video con música, dejando una nota positiva y motivadora para los espectadores.
Mindmap
Keywords
💡Integral
💡Regla de Simpson
💡Aproximación
💡Rectángulos
💡Delta de x (Δx)
💡Función f(x)
💡Coeficientes
💡Parábola
💡n
💡A
💡B
💡X0, X1, ..., Xn
Highlights
El video enseña a resolver una integral utilizando la regla de Simpson.
La integral presentada no puede resolverse mediante métodos directos, sustitución, partes o fracciones parciales trigonométricas.
La regla de Simpson es un método para aproximar integrales.
Se describe la fórmula de la regla de Simpson y su interpretación.
Se ilustra cómo la regla de Simpson aproxima una curva con rectángulos y parábolas.
Se explica el proceso de calcular el área bajo la curva usando rectángulos y parábolas.
Se menciona la importancia de elegir un número par de rectángulos para la regla de Simpson.
Se calcula el delta de x y se describe su significado en el proceso de integración.
Se muestra cómo evaluar la función en los puntos x0, x1, x2, etc., para aplicar la fórmula.
Se detalla el proceso de sustitución en la fórmula de la regla de Simpson.
Se enfatiza el orden de los coeficientes en la fórmula y su importancia.
Se calcula el valor aproximado de la integral usando la regla de Simpson.
Se recomienda hacer la suma antes de multiplicar por delta de x/3 para evitar errores en la calculadora.
Se presenta el resultado aproximado de la integral, 1.4626, utilizando la regla de Simpson.
Se compara el resultado de la regla de Simpson con el de una calculadora para verificar la precisión.
Se concluye el video con una revisión de los pasos y una llamada a suscribirse y seguir en redes sociales.
Se enfatiza la importancia de las matemáticas y se despide al público.
Transcripts
hola qué tal cómo están bienvenidos a
este nuevo vídeo yo soy jesus grajeda y
en esta ocasión les voy a enseñar a
resolver esta integral utilizando la
regla de simpson así que sin más
preámbulo comenzamos
la integral que he puesto aquí no le
podemos hacer ni directa ni con el
método de sustitución
tampoco la podemos hacer por partes ni
por fracciones parciales no es
trigonométricas ni tampoco la podemos
hacer por sustitución trigonométricas
por lo tanto requerimos un método para
aproximar integrales en este caso vamos
a trabajar con la llamada regla de
simpson la regla de simpson establece lo
siguiente que la integral desde aaa
hasta b de una función fx de x es igual
a berta de x sobre 3 que multiplica a
efe evaluada en x0 más 4 veces de f
evaluado en x 1 + 2 veces
efe de x 2 +
otra vez 4
fx 3 noten empezamos con un 1 f x 0
luego el coeficiente es 4 luego esto no
va a ser 4 lo va a volver a hacer todos
lo que voy a poner más voy a poner 3
puntitos como esto sigue y bueno voy a
continuar acá más luego sería 2
efe de x n menos dos más cuatro f de x
en el -1 y más
efe de x m y voy a cerrar el corchete
donde delta de x es igual a de menos a
sobre n&n es
esta fórmula aunque parezca complicada
realmente no lo es tanto para que les
pueda quedar claro voy a hacer una
pequeña gráfica para que puedan entender
a qué se refiere cada término vamos a
considerar que tenemos la gráfica de una
función f de cualquiera pues esta
gráfica nosotros cuando hacemos la regla
de simpson lo que realmente estamos
intentando hacer es trazar muchos
rectángulos
para poder aproximar estaré bajo la
curva en el intervalo ave entonces aquí
sería desde a hasta el intervalo por
ejemplo hasta aquí pues pero vamos a
seguir trazando rectángulos
y por ejemplo aquí contamos 1 2 3 4 5 6
7 y 8 rectángulos cuando nos dice que en
spa se está refiriendo a eso al número
de rectángulos que están trazados aquí
lo que hace la regla de simpson es que
aproxima a este segmento de curva a una
parábola que se parezca a esta otra a
esta otra a esta otra otra otra otra ya
otra veta o sea que es decir un lugar de
cerrarlos como rectángulos arriba cierra
con un segmento de parábola entonces
cuando nosotros hacemos esto el modelo
queda así nosotros lo que tenemos que
hacer únicamente es sustituir en esta
fórmula para poder resolver lo que hizo
acá sin su ahora vamos a analizar esta
expresión que dice que el integral desde
hasta bdf x de x es igual a delta de x
entre 3 donde delta de x es venenosa
entre n es decir el límite superior
menos de límite inferior entre n que es
el número de rectángulos o sea en 9
rectángulos que yo estoy poniendo acá
esto lo vas a multiplicar por la función
evaluada en x 0 x 0 se refiera al primer
valor es decir x 0 será el valor que
está aquí estaría x 0 este sería x 1 x 2
entonces te está diciendo que evaluarse
a la función en x 0 entonces tú quieres
realmente este valor la función evaluada
en x será la cuarta luego son más cuatro
veces f x uno o sea cuatro veces la
función evaluar en x uno o sea cuatro
veces la función evaluada aquí luego más
dos veces la función habla de requisitos
o sea dos veces la función evaluar aquí
y así continuó fíjate que aquí el
coeficiente es un medio luego siguen
cuatro luego dos luego cuatro y va a
seguir así es decir siempre va a ser 1
4242 42 y encima continua siempre los
extremos debe empezar con 1 no iba a
terminar con un nulo como coeficiente
por eso aquí quedó 1 f x 0 y al final 1
fx n después sigue 4 y sigue 4 y luego
sigue 2 y sigue 2 o sea siempre vamos a
empezar con unos a las orillas luego 4
luego 2
4 luego 2 y así siempre como en spa
entonces en este caso btr en era parco
que teníamos 8 rectángulos en total aquí
teníamos un x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
x 7 y x 8 en total tenemos entonces
desde x 0 hasta x 8 ahora sí con la
información que tenemos ya podemos
aproximar el área bajo la curva de esta
integral que es lo mismo resolver esta
integral definida nosotros tenemos que
escoger un n par muchas veces ese n ya
está dado en este caso nosotros vamos a
escoger lo vamos a poner cuando n es
igual a 10 para que nos pueda funcionar
este modelo tenemos que escoger por
fuerza un número par de datos porque eso
lo está especificando el modelo entonces
ahora sí vamos a sustituir los datos
vamos a empezar primero por calcular a
delta de x delta de x va a ser igual a b
menos a entre n b vale 1 vean que está
en la misma posición que sería uno menos
a o sea menos 0
en donde era el número de rectángulos o
sea sobre 10 esto me quedaría entonces
simplemente un décimo que a su vez esto
es cero punto el hecho de que delta de x
valga 0.1 significa que eso es lo que va
a ir aumentando en x es decir tú vas a
empezar primero con el 0 que es el valor
más bajo que tiene después vas a poner
0.1 luego 0.2 0.3 y así hasta llegar a
alguno por lo tanto entonces tuve efe de
x 0 va a ser la función evaluada en x 0
o sea evaluada en 0 después tu x 1 va a
ser punto uno entonces f x uno va a ser
la función evaluar de punto 1 f x 2 base
la función evaluada en punto 2 me sigues
entonces como ya tenemos todo
simplemente vamos a sustituir en esta
expresión entonces me quedara que esto
es igual o sea ya la respuesta de
integral a delta de x centro de 3
perfecta de que será 0.1 que sería 0.1
entre 3 luego voy a abrir un corchete y
voy a poner la función evaluada en x
pero quedamos que quisieron hacer porque
parte entonces sería la función evaluada
en 0 pero está mi función quedando
entonces en a la 0 al cuadrado ok estoy
sustituyendo a la x por un 0 porque de
parte y le voy aumentando cada punto uno
o que hasta llegar al 1 entonces luego
sigue más 4
por la función de valor en x1 la función
era la x cuadrada entonces sería el 40.1
al cuadrado ya que es el siguiente valor
acuérdense 00.10 punto 2 y sibaya
continua entonces luego seguirían más
todos eran las 0.2 al cuadrado 40 puntos
todos en 0.4 para 240 puntos a 2 y al
hacer puntos 6 a cuadrados más 40.7
cuadrados más 2 a 0
4
0.9 al cuadrado y luego más fíjense que
el penúltimo era el 4 por la función
evaluada en el valor antes del último o
sea en el penúltimo valor entonces aquí
después del coeficiente 4 sigue en
coeficiente 1 entonces aquí ya no voy a
ponerle número simplemente vamos a
dejarlo así sería nada más y después del
punto 9 sigue 1 entonces sería a la 1 al
cuadrado y aquí voy a cerrar mi corchete
y ahora si lo podemos hacer en la
calculadora yo les recomiendo que
primero hagan esto que está aquí adentro
y una vez que ya tengan lo que está en
el corchete ya multiplican por punto 1
entre 3 un error común es que empiezan
poniendo primero esta parte y después
empiezan a sumar pero luego la
calculadora no caben tantas operaciones
entonces ya no les da espacio para poner
más entonces ustedes pueden empezar
primero poniendo la suma si se te llena
no le das igual y continuas y una vez
que hagas toda la suma ahora si
multiplicas por punto 1 entre 3 yo ya he
hecho la suma de lo que está en el
consciente y esto me da 43.88 el puesto
sería igual a quedamos que era punto 1
entre el 3
punto 1 / 3 que multiplica a 43 puntos
88 04 42 bueno pues de todos los
decimales para que me quede más exacto y
si yo multiplico por punto 1 y divido
entre 3 me va a quedar 1.46 26 ese sería
el valor aproximado de esta integral
utilizando la regla de simpson vamos a
hacer ahora lo integral utilizando la
calculadora para ver qué tanto difiere
el resultado con la calculadora que con
lo que acabamos de hacer para eso
entonces me voy a cádiz e integral y voy
a meter a la función la función era
la equis cuadrada que tengo la equis y
la voy a elevar al cuadrado y esto dice
que va desde el intervalo desde 0 hasta
12 igual y me dice que me da un 1.46 26
y nosotros tenemos justo esa respuesta
también vemos hasta aquí el vídeo de hoy
espero que les haya servido y que les
haya gustado si les gustó no olvides
suscribirse al canal recomendárselo a
todos los compañeros y seguirme en todas
mis redes sociales nos vemos en el
siguiente vídeo y nunca olvides pero
nunca olvides que las matemáticas está
respaldada chao
[Música]
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