Demostración de la fórmula de Herón. Parte 1
Summary
TLDREl guión de este video educativo se enfoca en demostrar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo, utilizando solo las longitudes de sus lados. Comienza introduciendo una variable auxiliar 'x' para la distancia del vértice al pie de la altura, y luego aplica el teorema de Pitágoras en dos triángulos rectángulos. Tras resolver un sistema de ecuaciones, se encuentra la expresión para la altura 'H' en función de 'A', 'B' y 'C'. Finalmente, se simplifica para obtener una fórmula de área que solo depende de los lados del triángulo, comparando los resultados con un ejemplo concreto y confirmando la precisión de la fórmula obtenida.
Takeaways
- 📐 El script trata sobre cómo determinar el área de un triángulo dado sus lados A, B y C sin conocer la altura.
- 🚫 No se puede utilizar la fórmula clásica de área (base × altura / 2) debido a la falta de información sobre la altura.
- 📉 Se introduce una variable auxiliar 'x' para representar la distancia de un vértice al pie de la altura.
- 🔍 Se aplica el teorema de Pitágoras a dos triángulos rectángulos formados por la altura y los lados del triángulo.
- 🧩 Se establece un sistema de ecuaciones con dos variables (x y H) para encontrar la altura en términos de los lados del triángulo.
- ✂️ Se simplifica algebraicamente para despejar H y luego x, obteniendo una expresión para la altura H en función de A, B y C.
- 📈 Se utiliza la expresión de H para calcular el área del triángulo, derivando una fórmula que depende únicamente de A, B y C.
- 🔢 Se muestra que la fórmula obtenida es equivalente a la fórmula de Herón, aunque en una forma menos común.
- 📚 Se propone continuar con la simplificación algebraica en un próximo video para llegar a la fórmula de Herón más conocida.
- 📝 Se compara la nueva fórmula con un ejemplo del video anterior, utilizando los lados de 9, 11, 16 y 16, para verificar la consistencia y corrección de la fórmula.
Q & A
¿Qué fórmula clásica se menciona para encontrar el área de un triángulo?
-La fórmula clásica mencionada para encontrar el área de un triángulo es: Área = 1/2 * base * altura.
¿Por qué no se puede utilizar la fórmula clásica de área en este problema?
-No se puede utilizar la fórmula clásica porque, aunque se conoce la longitud de un lado como base, no se tiene información sobre la altura perpendicular a esta base.
¿Qué fórmula se propone utilizar en lugar de la fórmula clásica para calcular el área del triángulo?
-Se propone utilizar la fórmula de Herón para calcular el área del triángulo, dado que se conocen las longitudes de los lados A, B y C.
¿Qué es el teorema de Pitágoras y cómo se relaciona con el problema?
-El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Se utiliza en el problema para relacionar la altura con las longitudes de los lados del triángulo.
¿Qué variable auxiliar se introduce para simplificar el problema?
-Se introduce la variable auxiliar 'x', que representa la distancia de un vértice al pie de la altura.
¿Cómo se relaciona la variable 'x' con la longitud de la base 'c' y la altura 'H'?
-La variable 'x' se relaciona con la base 'c' y la altura 'H' de la siguiente manera: si 'x' es la distancia del vértice al pie de la altura, entonces la longitud desde el pie de altura a ese vértice es 'c - x'.
¿Cómo se aplicó el teorema de Pitágoras para obtener una ecuación en términos de 'x' y 'H'?
-Se aplicó el teorema de Pitágoras a los dos triángulos rectángulos formados por la altura, obteniendo dos ecuaciones: x^2 + H^2 = A^2 y (c - x)^2 + H^2 = B^2.
¿Cómo se simplificó la ecuación para encontrar el valor de 'x' en términos de A, B y C?
-Se simplificó al eliminar H^2 de ambas ecuaciones, lo que llevó a una expresión que involucra A^2, B^2, C^2 y x, y luego se resolvió para encontrar x = (A^2 + C^2 - B^2) / (2C).
¿Cómo se encontró el valor de la altura 'H' en términos de A, B y C?
-Se sustituyó el valor de 'x' en la ecuación de H^2 = A^2 - x^2, lo que resultó en H = sqrt(A^2 - (A^2 + C^2 - B^2)^2 / (4C^2)).
¿Cómo se relaciona el área del triángulo con la fórmula de Herón y la altura 'H' encontrada?
-El área del triángulo se relaciona con la fórmula de Herón y la altura 'H' mediante la expresión: Área = 1/2 * base * H, donde 'base' es el lado C y 'H' es la altura perpendicular a este lado.
¿Cómo se verificó que la fórmula obtenida da el mismo resultado que la fórmula de Herón para un triángulo con lados 9, 11 y 16?
-Se sustituyeron los valores de los lados en la fórmula obtenida y se calculó el área, resultando en 47.62375, el cual es igual al área obtenido con la fórmula de Herón, lo que confirma la validez de la fórmula.
Outlines
📐 Demostración de la fórmula de Herón a través del teorema de Pitágoras
El primer párrafo introduce el problema de calcular el área de un triángulo dado sus lados A, B y C. Se menciona que la fórmula clásica de área (base por altura) no se puede aplicar debido a la falta de información sobre la altura. En su lugar, se sugiere la utilización de la fórmula de Herón, que se demostrará a través del uso del teorema de Pitágoras y simplificaciones algebraicas. Se introduce una variable auxiliar 'x' para representar la distancia de un vértice al pie de la altura y se establecen dos ecuaciones utilizando el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos formados. La sección concluye con la resolución de un sistema de ecuaciones para encontrar la altura 'H' en función de los lados del triángulo.
🔍 Determinación de la altura y el área del triángulo
Este párrafo sigue el proceso de demostración de la fórmula de Herón. Se despeja la ecuación para encontrar la altura 'H' en términos de 'x' y los lados del triángulo. Luego, se sustituye el valor de 'x' y se resuelve para obtener 'H'. Con la altura obtenida, se procede a calcular el área del triángulo utilizando la fórmula 1/2 * base * altura. Se simplifica la expresión algebraicamente para obtener una fórmula de área que depende únicamente de los lados del triángulo (A, B y C). Se menciona que esta fórmula es equivalente a la de Herón, aunque tiene una apariencia diferente. Finalmente, se prueba la fórmula con un ejemplo de triángulo con lados de 9, 11, 16 y 16, obteniendo el mismo resultado de área que en un video anterior (18√7).
🎯 Validación de la fórmula de área y预告 del siguiente video
El tercer párrafo comienza con la confirmación de que la fórmula de área obtenida es correcta, ya que da el mismo resultado que el de un video anterior para un triángulo específico. Se recalca la importancia de esta fórmula, ya que permite calcular el área de un triángulo solo con la información de sus lados. El video parece estar en proceso de simplificar aún más la expresión algebraica para una fórmula más fácil de memorizar. El párrafo termina con una anticipación al siguiente video, donde se promete continuar con la simplificación y demostración de la fórmula de Herón.
Mindmap
Keywords
💡Triángulo
💡Área
💡Teorema de Pitágoras
💡Fórmula de Herón
💡Altura
💡Variable auxiliar
💡Sistema de ecuaciones
💡Simplificación algebraica
💡Raíz cuadrada
💡Ecuación
Highlights
Se presenta un método para determinar el área de un triángulo dado sus lados A, B y C sin utilizar la fórmula clásica de base por altura.
Se introduce la fórmula de Herón como una alternativa para calcular el área del triángulo.
Se propone demostrar la fórmula de Herón utilizando el teorema de Pitágoras y simplificaciones algebraicas.
Se introduce una variable auxiliar 'x' para la distancia del vértice al pie de la altura.
Se aplica el teorema de Pitágoras a dos triángulos rectángulos para establecer un sistema de ecuaciones.
Se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar la expresión de 'H' en términos de A, B y C.
Se simplifica la expresión de 'H' y se obtiene una fórmula para calcular la altura del triángulo.
Se utiliza la fórmula de la altura para determinar el área del triángulo en función de sus lados.
Se muestra que la fórmula obtenida es equivalente a la fórmula de Herón, aunque en una forma menos conocida.
Se realiza una comparación con un ejemplo de un triángulo con lados de 9, 11, 16 y 16 para validar la fórmula.
Se calcula el área del triángulo del ejemplo utilizando la nueva fórmula y se obtiene un resultado coherente con el anterior.
Se sugiere que la fórmula obtenida puede ser memorizada y utilizada para calcular áreas de triángulos sin necesidad de la altura.
Se destaca la importancia de las simplificaciones algebraicas en el proceso de demostración de la fórmula de Herón.
Se planifica para el próximo video la simplificación de la expresión algebraica para que coincida con la fórmula de Herón más común.
Se enfatiza la consistencia y la precisión en el proceso matemático como una buena indicación de que se está siguiendo el camino correcto.
Se concluye que la demostración de la fórmula de Herón es un buen ejemplo de cómo se pueden derivar fórmulas matemáticas a partir de teoremas clásicos.
Transcripts
supongamos que tenemos un triángulo Aquí
voy a pintar el triángulo en color
naranja y que sabemos que las longitudes
de sus lados son A B y C y que a partir
de esta información queremos determinar
el área del triángulo tenemos una
fórmula muy clásica para encontrar esto
el área que nos dice que el área el área
es igual a 1/2 del producto de la base
de la base con la altura altura
altura sin embargo no podemos utilizar
esta Fórmula en este problema de aquí
porque aunque sepamos por ejemplo que c
es la base que esto de acá mide c pues
no tenemos información acerca de la
altura la altura es una recta pues rara
diferente a estas que pasa por el medio
del triángulo y que baja
perpendicularmente que si le ponemos que
mide H pues no sabemos todavía Cómo
relacionarla con A B y C Sale ahora si
viste el video anterior Seguramente me
vas a decir Bueno pues podemos utilizar
la fórmula de herón Sí sí podemos
utilizarla pero justo la idea de este
video yide el siguiente es demostrar esa
fórmula es decir lo que queremos hacer
es ver por qué siempre es cierta vale Y
para hacer eso lo que vamos a hacer es
utilizar el teorema de Pitágoras un par
de veces y luego vamos a hacer algunas
simplificaciones algebraicas vamos a
empezar con esto Primero déjame
introducir una variable auxiliar que le
vamos a poner x que va a ser la
distancia de este vértice al pie de la
altura este de aquí este Cachito de Aquí
vamos a poner que mide x eso es un truco
muy común en geometría
sale Y entonces si este Cachito de acá
mide x lo que va de este pie de altura a
este vértice de acá es c - x para que
entre los dos sumen C Que es la longitud
de este lado es c - x y con estas
longitudes Ahora sí déjame aplicar el
teorema de Pitágoras a este triángulo
rectángulo de acá y a este de acá déjame
ponerlo por acá para ver qué queda nos
quedaría que x cu + H cu es ig a a cu
eso es este triángulo y que c - x cu c -
x elevado cuad + H cu cuad es = a b
cuadr eso es este triángulo rectángulo
de acá Bueno Observa que aquí tenemos un
sistema de ecuaciones en dos variables y
que consta de dos ecuaciones las
variables son x y H Y entonces con un
poco de suerte podemos encontrar el
valor de h en términos de A B y C y
después sustituirlo aquí arriba para ver
qué nos queda y avanzar hacia la fórmula
de eron vamos a hacer eso déjame empezar
despejando H de aquí nos queda que H cu
es igual a a cu - x cu y ahora este
valor de H cuadrada lo voy a a sustituir
aquí abajo es decir nos quedaría c - x
cu que lo voy a desarrollar de una vez
es un binomio al cuadrado nos quedaría c
cu - 2 veces c x + x cu + H cu que es
esta expresión que encontramos + a cu -
x cu al cuadrado es igual a b cu es
igual a b cu y aquí ya no tenemos H
entonces podemos despejar x vamos a
hacer esto pero primero déjame Cancelar
x cu con - x cu y ahora lo que
tendríamos que hacer es pasar lo que
tiene x de un lado y lo que no de otro
déjame sumar dos veces c x de ambos
lados de la igualdad + 2 veces 2 veces x
y restar b cu - B cu - B cu entonces B
cu se cancela con - b cu - 12 x con 12x
y obtenemos lo siguiente obtenemos que c
cu + a cu c cu + a cu - B cu - B cu es =
a 2 veces CX y para despejar x
simplemente dividimos entre 2c nos queda
que x x es = a c cuada + a cu
a a cuada - B cu dividido entre 2 veces
c este de aquí es el valor de X este
valor de X lo podemos sustituir aquí
arriba para determinar el valor de H
vamos a hacer eso nos quedaría que H cu
H cu es = a cu - x cu Déjame abrir un
paréntesis para escribir esta expresión
x cu y ese x es c cu
+ a cu - - B cu / 2c Pero esto es h
cuada y nosotros queremos H Así que voy
a sacar una raíz cuadrada de ambos lados
nos quedaría que H es igual a la raíz
cuadrada de a cuadrada a cuadrada menos
aquí va este paréntesis grande grande
elevado al cuadrado dividido entre el
denominador es 2c y arriba nos queda C
cu + a cu - B cu muy bien y con eso
obtenemos el valor de H Ahora sí podemos
regresar a determinar el área déjame
ponerle aquí abajo área otra vez
área área y eso nos queda igual a 1/2 de
c multiplicado por este valor de H que
encontramos lo voy a poner acá nos
quedaría 1/2 de c por la raíz cuadrada
de A cuada menos abro paréntesis aquí va
a quedar elevado al cuadrado c cu + a
cuad - b cu Y eso dividido entre dos
veces c y esto está superpadre ya
tenemos una expresión del área en
términos de los lados de A B y C esto ya
es un muy buen paso para avanzar hacia
hacia hacia la fórmula de eron de hecho
esto básicamente es la fórmula de eron
es una expresión equivalente a lo mejor
no parece la fórmula de eron pero
después de algunas manipulaciones
algebraicas vamos a obtener la fórmula
que vimos en el video pasado Sale ahora
una cosa buena es que esto ya es una
fórmula que depende únicamente de A B y
C Entonces si quisieras si te dieran
ganas de aprenderte esta fórmula que se
ve un poco más fea Ya ya podrías
encontrar el área de un triángulo
conociendo sus lados vale Bueno vamos a
dejar la simplificación algeb para el
próximo video pero lo que vamos a hacer
ahorita es ver que vamos avanzando bien
comprobando que obtenemos la misma área
para el Triángulo del video pasado
utilizando esta fórmula de acá vale
Bueno entonces déjame poner el Triángulo
del video pasado era un triángulo más o
menos
así algo de este estilo donde dijimos
que los lados medían 9 11 y 16 y 16 sale
y según la fórmula de de herón que
utilizamos en el video pasado nos
quedaba que el área era 18 √7 lo que
vamos a hacer es ver si esta misma
fórmula que obtuvimos a partir de los
teoremas de Pitágoras y y esta fórmula
de área nos da la misma área Vale
entonces déjame hacer las sustituciones
en esta fórmula de acá lo voy a poner
aquí abajo en color amarillo en color
amarillo el área es igual a 1/2 de c C
es 16 Entonces es igual a 8 multiplicado
por la raíz cuadrada voy a necesitar
aquí espacio de a al cuadrado o sea 81 9
cu es 81 menos aquí va un paréntesis
grande elevado al cuadrado menos c cuada
C cu es 16 cu o sea
256 + a cu o sea +
81
81 -1 cu o sea 121 dividido entre dos
veces c o sea entre 2 * 16 entre 32
Bueno déjame simplificar un poco esto
nos quedaría que el área es igual a 8
veces la raíz cuadrada de
81 menos y vamos a ver qué queda dentro
del paréntesis dentro del paréntesis
queda
256 + 81 - 121 81 - 121 es -40 Entonces
nos queda 216 216
Divo 32 y eso tenemos que elevarlo al
cuadrado si te das cuenta aquí la
aritmética las cuentitas van a salir muy
difíciles pero ya le avanzamos bastante
déjame meter esto en la calculadora para
ver si obtenemos lo mismo que aquí
arriba Entonces voy a sacar la
calculadora déjame ponerla por aquí y
vamos a ver primero Cuánto es 18 √7
18 por la raíz cuadrada raíz cuadrada
7 eso es
47.62 35 Ok Ese es el área que obtuvimos
en el V pasado ahora vamos a ver cuál es
el área que obtuvimos utilizando esta
fórmula a la cual ya le avanzamos nos
quedaría 8 8 multiplicado por la raíz
cuadrada de
81 menos y aquí hay que abrir paréntesis
216 divido
32 cierro paréntesis eso lo elevo al
cuadrado y Cierro la raíz cuadrada y nos
queda lo mismo
47.62 35 entonces Esta es una muy buena
indicación y de hecho está padre que que
haya salido lo mismo porque porque a lo
mejor cometí un error Pero bueno ya
vimos que no lo hice Entonces esto en
efecto nos dice que vamos por buen
camino para demostrar la fórmula la
fórmula de herón vamos a ver como a
partir de de algunas cuentas
simplificamos esta expresión a la del
video pasado que es más fácil de
memorizar y está más bonita Vale Nos
vemos en el próximo video
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