Introducción al Análisis de Sensibilidad
Summary
TLDREl script del video ofrece una presentación sobre el análisis de sensibilidad en problemas de optimización, basándose en el método simplex matricial. Se recomienda que los espectadores vean un video sobre este método antes de continuar. El análisis de sensibilidad comienza con la solución final del problema, obteniendo vectores y matrices clave. Se discute cómo los cambios en los coeficientes de la función objetivo y los recursos afectan la solución, y se muestra cómo calcular el precio sombra de un recurso y el rango de variación de los coeficientes. El video también menciona cómo los programas computacionales, como Lindo, pueden reportar información de sensibilidad, incluyendo el rango de variación de coeficientes y recursos.
Takeaways
- 📚 El análisis de sensibilidad es una técnica utilizada para entender cómo los cambios en los parámetros del problema afectan la solución óptima de un modelo matemático.
- 🔍 Se recomienda ver el video sobre el 'método simplex matricial' antes de entender el análisis de sensibilidad, ya que este método es la base para el análisis de sensibilidad.
- 📐 El primer paso en el análisis de sensibilidad es transformar el problema en un sistema de ecuaciones mediante la incorporación de variables de holgura, variables de exceso y variables artificiales.
- 📈 Se utilizan vectores y matrices para representar las variables del problema, los coeficientes de la función objetivo y las restricciones.
- 🧩 El análisis de sensibilidad comienza con la solución final del problema, identificando la base y las columnas correspondientes en la matriz A.
- 📊 La representación tabular del método simplex es esencial para realizar operaciones con matrices y llenar la última tabla del método simplex.
- 🔎 El análisis de sensibilidad se enfoca en los cambios reflejados en la tabla final del método simplex, especialmente cuando hay cambios en la función objetivo o en la columna de recursos.
- ✅ Es importante asegurarse de que los valores del lado derecho de la tabla y los valores en la parte superior sean no negativos para garantizar que se haya alcanzado el óptimo.
- 📉 El rango de variación de los valores del lado derecho de las restricciones se analiza para determinar en qué medida pueden cambiar sin afectar la solución del problema.
- 💡 El precio sombra de un recurso es una medida del impacto en la función objetivo al tener una unidad adicional de ese recurso, y se calcula al modificar ligeramente el vector de recursos.
- 🛠 Los cambios en los coeficientes de las variables en la función objetivo también se analizan, pero no se pueden modificar los coeficientes de las variables de holgura, exceso o artificiales.
Q & A
¿Qué es el análisis de sensibilidad en el contexto del script proporcionado?
-El análisis de sensibilidad es un proceso utilizado para evaluar cómo los cambios en los parámetros del problema, como los coeficientes de la función objetivo o los valores del lado derecho de las restricciones, afectan la solución óptima y la viabilidad de la solución actual.
¿Por qué se sugiere ver el video sobre el método simplex matricial antes de entender el análisis de sensibilidad?
-El método simplex matricial es la base del análisis de sensibilidad, por lo que comprender este método es crucial para entender cómo se realiza el análisis de sensibilidad y cómo se transforman los problemas en sistemas de igualdades.
¿Qué son las variables de holgura, variables de exceso y variables artificiales en el contexto del análisis de sensibilidad?
-Las variables de holgura, variables de exceso y variables artificiales son elementos que se incorporan al problema original para transformarlo en un sistema de ecuaciones, lo cual es necesario para aplicar el método simplex matricial y posteriormente realizar el análisis de sensibilidad.
¿Cuáles son los vectores y matrices clave en el método matricial que se utilizan para el análisis de sensibilidad?
-Los vectores y matrices clave incluyen el vector x que representa las variables del problema, el vector c que contiene los coeficientes de la función objetivo, la matriz A con los coeficientes de cada variable en las restricciones y el vector b que tiene los valores del lado derecho de las restricciones.
¿Cómo se determina la solución final del problema antes de realizar el análisis de sensibilidad?
-La solución final se determina mediante el método simplex matricial, obteniendo una base que forma la solución óptima. En el script, la solución final está formada por las variables x1, s3 y x2.
¿Qué es la representación tabular del método simple y cómo se relaciona con el análisis de sensibilidad?
-La representación tabular del método simple es una forma de organizar y mostrar los datos del problema de optimización, incluyendo las variables básicas y las no básicas, y sus coeficientes. Esta representación se utiliza para realizar operaciones con matrices y es fundamental para el análisis de sensibilidad, ya que permite observar cómo los cambios en los parámetros afectan la solución.
¿Qué se entiende por 'rango de variación' de los valores del lado derecho de las restricciones en el análisis de sensibilidad?
-El rango de variación se refiere al intervalo de valores que los parámetros del problema, como los valores del lado derecho de las restricciones, pueden tomar sin que la solución óptima cambie. Se determina analizando cómo se ven afectadas las variables básicas por cambios en estos parámetros.
¿Cómo se calcula el precio sombra de un recurso en el análisis de sensibilidad?
-El precio sombra de un recurso es el cambio en la función objetivo por unidad adicional de ese recurso. Se calcula modificando la cantidad de un recurso en una unidad y observando el impacto en la función objetivo, como se muestra en el script donde se aumenta en una unidad el primer recurso de 20 a 21.
¿Qué cambios se pueden realizar en los coeficientes de las variables en la función objetivo y cómo afecta esto el análisis de sensibilidad?
-En el análisis de sensibilidad, es posible modificar los coeficientes de las variables básicas en la función objetivo, pero no los de las variables de holgura, exceso o artificiales. Estos cambios se utilizan para determinar el rango en que estos coeficientes pueden variar sin afectar la solución óptima.
¿Cómo se actualiza la solución del problema cuando se realizan cambios en los parámetros del problema?
-Para actualizar la solución, se multiplica el vector de coeficientes de la base por el vector resultante de las operaciones con las matrices y los nuevos valores del lado derecho de las restricciones, lo que proporciona el nuevo valor de la función objetivo y, por lo tanto, la solución actualizada.
¿Qué información se puede obtener de los reportes de análisis de sensibilidad generados por los programas computacionales?
-Los reportes de análisis de sensibilidad proporcionan información valiosa, como el valor óptimo de la función objetivo, los valores óptimos de las variables, los precios sombra de los recursos, y los rangos de variación de los coeficientes de las variables en la función objetivo y los valores del lado derecho de las restricciones.
Outlines
📚 Introducción al Análisis de Sensibilidad en el Método Simplex
El primer párrafo presenta una breve introducción al análisis de sensibilidad dentro del contexto del método simplex matricial. Se recomienda ver un video sobre este método antes de continuar. El análisis comienza transformando un problema en un sistema de ecuaciones mediante la adición de variables de holgura, de exceso y artificiales. Se describen los componentes clave del método matricial: el vector x de variables, el vector c de coeficientes en la función objetivo, la matriz A con coeficientes de las restricciones y el vector b de valores derechos. Se enfatiza la importancia de la solución final del problema para iniciar el análisis de sensibilidad, destacando la obtención de la matriz B y su inversa, así como el vector de coeficientes de la base en la función objetivo. Finalmente, se menciona la representación tabular del método simplex y cómo se relaciona con el análisis de sensibilidad, destacando la importancia de que los valores en la tabla sean no negativos para garantizar la óptima solución.
🔍 Procedimiento para el Análisis de Sensibilidad y Ejemplos
El segundo párrafo detalla el proceso para realizar el análisis de sensibilidad, enfocándose en cómo los cambios en los valores del problema original afectan la solución. Se ilustra cómo se pueden variar los valores del lado derecho de las restricciones (el vector b) sin alterar la solución actual, utilizando la matriz inversa de la base para calcular nuevos valores. Se proporciona un ejemplo práctico donde el valor de un recurso varía y se actualiza la solución correspondientemente. Además, se introduce el concepto de 'precio sombra' de un recurso, que es el impacto en la función objetivo al agregar una unidad adicional de ese recurso. Se abordan también los cambios en los coeficientes de las variables en la función objetivo, con un ejemplo específico para la variable x1, y se describe cómo se pueden calcular los rangos de variación aceptables para mantener la solución óptima. El párrafo concluye con una mención de los programas computacionales que ofrecen análisis de sensibilidad y cómo estos programas pueden reportar información relevante para la toma de decisiones.
📊 Resultados del Análisis de Sensibilidad y su Interpretación
El tercer párrafo presenta los resultados típicos de un análisis de sensibilidad, obtenidos a través de softwares como Lindo, y cómo se interpretan. Se discuten los valores óptimos de la función objetivo (z) y las variables, así como los precios sombras de los recursos y su significado. Se describe el rango de variación para los coeficientes de las variables en la función objetivo, mostrando cómo estos coeficientes pueden cambiar sin afectar la solución óptima. También se explica el rango de variación para los recursos, proporcionando un ejemplo específico para el primer recurso. El video finaliza con una reseña de los resultados obtenidos y una esperanza de que el contenido haya sido útil para el espectador.
Mindmap
Keywords
💡Análisis de Sensibilidad
💡Método Simplex Matricial
💡Variables de Holgura
💡Matriz A
💡Vector de Costos
💡Tabla Simplex
💡Precio Sombra
💡Variables Básicas
💡Valores del Lado Derecho
💡Rango de Variación
Highlights
Introducción al análisis de sensibilidad como extensión del método simplex matricial.
Recomendación de ver el video sobre el método simplex matricial antes de continuar.
Explicación del primer paso en el análisis de sensibilidad: transformar el problema en un sistema de igualdades.
Incorporación de variables de holgura, variables de exceso y variables artificiales al problema.
Obtención de vectores y matrices esencial para el método matricial.
Identificación del vector x como representante de las variables del problema.
Descripción del vector a como coeficientes de las variables en la función objetivo.
Introducción de la matriz a y el vector b en el contexto de las restricciones.
Inicio del análisis de sensibilidad con la solución final del problema.
Construcción de la matriz b y su inversa para el análisis.
Uso del vector de coeficientes de la base en la función objetivo.
Representación tabular del método simplex y su importancia en el análisis de sensibilidad.
Transformación de la tabla simplex a través de operaciones matriciales.
Relación del análisis de sensibilidad con los cambios en la tabla final del método simplex.
Importancia de que los valores del lado derecho y la parte superior de la tabla sean no negativos.
Análisis del rango de variación del valor del primer recurso sin afectar la solución.
Uso de la matriz inversa de la base para determinar los nuevos valores del lado derecho de la tabla.
Actualización de la solución y el valor de la función objetivo al cambiar el vector b.
Concepto de precio sombra y su cálculo en el análisis de sensibilidad.
Ejemplo de cómo calcular el precio sombra del primer recurso al variar una unidad.
Discusión sobre los cambios en los coeficientes de las variables en la función objetivo.
Análisis del rango de variación del coeficiente de la variable x1 sin alterar la solución.
Utilización de diferentes programas computacionales para el análisis de sensibilidad.
Resultados del análisis de sensibilidad usando el paquete LINDOL.
Reporte detallado de los precios sombra de los recursos y su impacto en la función objetivo.
Intervalos de variación aceptable para los coeficientes de las variables y los recursos.
Conclusión del análisis de sensibilidad y su utilidad en la toma de decisiones.
Transcripts
[Música]
bienvenidos nuevamente el día de hoy
haremos una breve presentación sobre lo
que es el análisis de sensibilidad antes
de abordar este tema te recomiendo ver
un vídeo denominado método simplex
matricial que aparece en este canal la
razón de esta sugerencia es debido a que
el método simplex matricial es la base
del análisis de sensibilidad iniciaremos
la presentación retomando el problema
que presentamos en ese vídeo
el primer paso consiste en transformar
este problema en un sistema de
igualdades esto se hace incorporando al
problema variables de holgura variables
de exceso y variables artificiales
una vez que tenemos el sistema de
ecuaciones debemos de obtener los
vectores y matrices que se utilizan en
el método matricial x es el vector que
nos representa las variables que están
involucradas en el problema se nos
representa el vector de coeficientes de
estas variables en la función objetivo a
es la matriz con los coeficientes de
cada variable en las restricciones y b
es el vector con los valores del lado
derecho en las restricciones el análisis
de sensibilidad siempre inicia
considerando la solución final del
problema para este problema habíamos
llegado a que la solución final está
formada por la base x 1 s 3 y x 2 con
las columnas de estas variables en la
matriz a obtenemos la matriz b
y obtenemos su inversa
sólo nos falta agregar el vector de
coeficientes de la base en la función
objetivo
[Música]
este vector está formado por los valores
de los coeficientes de x 1 s 3 y x2 en
la función objetivo y que también se
reflejan en el vector c ahora bien
recordemos que la representación tabular
del método simples es de la siguiente
manera
es decir si sabemos cuáles son las
variables que pertenecen a la solución y
realizamos estas operaciones con
matrices entonces podemos llenar la
última tabla del método simples
al hacer estas operaciones la tabla
simplex se transformará en la siguiente
tabla
[Música]
el análisis de sensibilidad está
relacionado con los cambios que se
reflejan en esta tabla al cambiar alguno
de los valores del problema original en
particular los reportes del análisis de
sensibilidad de los diferentes softwares
tienden a mostrarnos los cambios que se
producen en la tabla final cuando
existen cambios en la función objetivo o
en la columna de recursos
cuando analices estos cambios recuerda
siempre que los valores que aparecen en
el lado derecho de la tabla y los que
aparecen en la parte superior de la
tabla deben ser no negativos
recuerda que los valores que aparecen
del lado derecho representan el valor
que toman las variables en la solución y
por definición las variables deben ser
mayores o iguales que 0 por otra parte
si existiesen valores negativos en la
parte superior de la tabla esto
significa que no hemos llegado al óptimo
valor de la función objetivo reacomodar
e la información para tener más espacio
iniciemos analizando el rango en el que
pueden variar los valores del lado
derecho de las restricciones por ejemplo
analicemos hasta dónde puede variar el
valor del primer recurso actualmente el
valor de ese recurso es 20 pero
investiguemos hasta donde podría variar
sin afectar la solución del problema
esto es en qué rango de valores de este
recurso las variables básicas que forman
la solución seguirán siendo básicas para
esto haremos lo siguiente nuestro vector
b es el vector 2018 12
ahora lo cambiaremos por el vector b 1
18 12
multiplicaremos ahora a la matriz
inversa de la base por b prima
el resultado de la multiplicación es el
siguiente
este resultado refleja los valores que
aparecen en el lado derecho de la tabla
por ejemplo si b 1 es 20 entonces los
resultados coinciden con los que tenemos
en la tabla como se había mencionado
todos estos valores deben ser mayores o
iguales que 0 por lo tanto llegamos a
las siguientes desigualdades
al incorporar la gráfica con la solución
de estas desigualdades observamos que
las tres desigualdades se cumplen si el
valor debe uno está entre 18 y 36 y este
es el rango en el que puede oscilar este
valor
por ejemplo si el valor de b1 es 25
entonces podemos llegar rápidamente a la
solución de este problema sustituimos al
vector b por 25-18
12
hacemos la multiplicación de la matriz
inversa de la base por b prima
el resultado son los nuevos valores del
lado derecho de la tabla
si queremos actualizar totalmente la
solución ahora debemos multiplicar al
vector de los coeficientes de la base
por este vector
[Música]
el valor que se obtiene corresponde al
nuevo valor de la función objetivo
y de esta manera habremos actualizado la
solución si b 1 es igual a 25 otro de
los datos que regularmente son
reportados en los softwares es el precio
sombra el precio sombra de un recurso es
el número de unidades que se incrementa
la función objetivo al tener una unidad
extra de este recurso por ejemplo
supongamos que estamos buscando el
precio sombra del primer recurso
actualmente disponemos de 20 unidades
del primer recurso debemos observar cuál
es el cambio en la función objetivo si
en lugar de tener 20 unidades tuviésemos
21 esto en realidad es muy parecido a lo
que acabamos de realizar haremos que el
vector vez sea el vector 21 18 12
multiplicaremos la matriz inversa de la
base por b prima
[Música]
ahora multiplicamos el vector de
coeficientes de la base por este
resultado
si comparas este resultado con el valor
de la función objetivo en el problema
original
[Música]
entonces te darás cuenta de que la
función objetivo se ha incrementado una
unidad por lo tanto el precio sombra del
primer recurso es 1
ahora platicamos sobre los cambios que
se producen cuando se modifican los
coeficientes de las variables en la
función objetivo debes observar que en
la función objetivo no es posible
modificar los coeficientes de las
variables de holgura las variables de
exceso o las variables artificiales por
lo que en este ejemplo sólo es posible
modificar los valores de los
coeficientes de x1 y x2 investiguemos el
rango en el que puede variar el valor
del coeficiente de la variable x1 de tal
manera que las actuales variables
básicas sigan siendo parte de la
solución denominemos se 1 al coeficiente
de la variable x1 en la función objetivo
por lo tanto el vector c se representa
como
[Música]
además recuerda que ve a la menos uno
por a es la parte que se encuentra en
amarillo en la tabla final
[Música]
por otra parte dado que x1 es una
variable básica entonces el vector de
coeficientes de la base será ahora c 1 0
4 multiplicando este vector por la
matriz anterior se obtiene lo siguiente
[Música]
ahora debemos sustraer a este vector el
vector c
[Música]
como ya se había mencionado todos estos
valores deben ser mayores o iguales que
0 por lo tanto se 1 menos 4 y menos 18
deben ser mayores o iguales que 0 como
se puede observar en la gráfica el
intervalo en donde ambas desigualdades
se cumplen es el intervalo 48
[Música]
si deseamos cambiar el valor de c-1
dentro de este intervalo entonces
podemos actualizar el valor de la
función objetivo muy rápidamente por
ejemplo supongamos que el coeficiente de
x1 en la función objetivo es 7 entonces
el vector se será el vector 74 000 menos
m el vector de coeficientes de la base
será 70 4 este vector lo multiplicaremos
por la matriz b a la menos 1 por el
resultado de esta multiplicación es
y al restarle el vector se obtendremos
el renglón de la función objetivo estos
resultados sustituyen el primer renglón
de la tabla simples
esto es a lo que se le denomina análisis
de sensibilidad todos estos resultados
regularmente son los que ofrecen los
diferentes programas computacionales
por ejemplo cuando utilizamos el paquete
lindo y le pedimos que resuelva este
problema obtendremos el siguiente
reporte
[Música]
esa parte nos señala el valor óptimo de
z esta parte nos señala los valores
óptimos de las variables
en esta parte aparecen los precios
sombra de los recursos en cada una de
las restricciones recuerda que el precio
sombra del primer recurso es 1
[Música]
en esta parte se describe el rango en el
que pueden variar los coeficientes de
las variables en la función objetivo por
ejemplo el coeficiente actual de la
variable x1 en la función objetivo es 5
este coeficiente podría incrementarse
hasta tres unidades y podría disminuir
una unidad
esto significa que el valor de c-1 puede
variar entre 4 y 8
y este fue uno de los resultados a los
que llegamos en este vídeo
finalmente esta parte reporta el rango
en el que pueden variar los recursos por
ejemplo aquí nos señala que el valor del
primer recurso es 20
y que el recurso puede incrementarse
hasta en 16 unidades y decrementar se
hasta en dos unidades
es decir el primer recurso puede tomar
valores entre 18 y 36 unidades este fue
otro de los resultados a los que
llegamos en esta sesión
bien espero que este vídeo te haya
resultado útil y nos vemos pronto
[Música]
تصفح المزيد من مقاطع الفيديو ذات الصلة
Sistemas de Ecuaciones: Compatible Determinado, Compatible Indeterminado, Incompatible
Regresión lineal por mínimos cuadrados en Matlab: Tutorial paso a paso
BALANCEO POR TANTEO. BALANCEA FÁCIL Y DE FORMA SENCILLA CUALQUIER ECUACIÓN QUÍMICA
Método SIMPLEX Facil y Divertido con Memes - Investigación Operativa
Binomio de newton | Triángulo de Pascal | Potencias de un binomio
Ejercicio de solución de EDO's mediante Runge-Kutta 4to orden
5.0 / 5 (0 votes)