Movimiento armónico simple | El péndulo simple

Summary

En este video se explica cómo modelar el movimiento de un péndulo simple considerándolo como un movimiento armónico simple. Se analiza el péndulo compuesto por una cuerda con masa en su extremo y se identifican las fuerzas que actúan sobre él: la tensión radial de la cuerda, el peso del objeto y su componente tangencial. Se establece que la fuerza responsable del movimiento es la componente tangencial, que se mantiene en equilibrio con la tensión radial. A través de la segunda ley de Newton y la aproximación de la distancia curva 's' como 'l * seno(theta)', se llega a la ecuación diferencial que describe el movimiento del péndulo. Al considerar ángulos pequeños, se simplifica la ecuación para modelar el movimiento del péndulo como armónico simple, donde el ángulo es proporcional al coseno del ángulo de frecuencia 'omega', que se relaciona con la longitud del péndulo y la gravedad.

Takeaways

• 📚 El video trata sobre cómo modelar el movimiento de un péndulo simple como un movimiento armónico simple.
• 🌟 Se considera un péndulo compuesto por una cuerda con masa en un extremo y una longitud \( l \), donde la masa de la cuerda es despreciable.
• 📐 El ángulo que forma la cuerda con la vertical se denota como \( \theta \).
• 🧲 Las fuerzas que actúan sobre el péndulo son la tensión radial, el peso de la masa y su componente tangencial.
• ⚖️ La fuerza de tensión radial y la componente radial del peso están en equilibrio, dejando la componente tangencial como la responsable del movimiento.
• 📉 Según la segunda ley de Newton, la aceleración es igual a la fuerza dividida por la masa, y la fuerza es la masa por la gravedad por el seno de \( \theta \).
• 🔄 La posición del péndulo se describe como una distancia curva \( s \), y la aceleración es la segunda derivada de \( s \) con respecto al tiempo.
• 📐 Para ángulos pequeños, se puede aproximar \( \sin(\theta) \approx \theta \), lo que simplifica las ecuaciones del movimiento.
• 🔗 La segunda derivada de la posición angular con respecto al tiempo es proporcional a \( -\theta \), lo que es similar a la ecuación de un sistema masa-resorte.
• 🌀 El ángulo del péndulo se puede modelar como un movimiento armónico simple, donde el ángulo es igual al ángulo máximo por el coseno de la frecuencia angular \( \omega \).
• 📉 La frecuencia angular \( \omega \) para un péndulo simple se puede calcular como \( \sqrt{\frac{g}{L}} \), donde \( g \) es la gravedad y \( L \) es la longitud del péndulo.

Q & A

¿Qué es un péndulo simple y cómo se modela su movimiento en el video?

Un péndulo simple es un sistema físico compuesto por una masa conectada a un extremo de una cuerda de masa despreciable y longitud fija 'l'. Su movimiento se modela como un movimiento armónico simple, lo cual se aproxima cuando el ángulo de desplazamiento 'theta' es pequeño.

¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple durante su movimiento?

Las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple son la fuerza de tensión de la cuerda, que es radial y apuntando hacia el centro, y el peso de la masa, que se descompone en dos componentes: una tangencial y otra radial.

¿Cómo se relaciona la tensión de la cuerda con el movimiento del péndulo?

La tensión de la cuerda es radial y apuntando hacia el centro del movimiento circular que tendría la masa si no tuviera en cuenta la gravedad. Esta tensión no es la fuerza responsable del movimiento del péndulo, sino que se equilibra con la componente radial del peso de la masa.

¿Cuál es la componente de la fuerza de gravedad que causa el movimiento del péndulo?

La componente de la fuerza de gravedad que causa el movimiento del péndulo es la componente tangencial, que es perpendicular a la tensión de la cuerda y tiene un valor de 'masa por gravedad por seno de theta'.

¿Cómo se define la posición inicial del péndulo en el video?

La posición inicial del péndulo se define como ligeramente desplazado hacia la izquierda de su estado de reposo, lo cual se llama 'a' y es la distancia curva que recorre la masa en ese punto inicial.

Según la segunda ley de Newton, ¿qué relación existe entre la fuerza y la aceleración del péndulo?

Según la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración. En el caso del péndulo, la fuerza es la componente tangencial de la gravedad, y la aceleración es proporcional a esta fuerza con signo negativo.

¿Cómo se relaciona la aceleración del péndulo con su posición?

La aceleración del péndulo está relacionada con su posición a través de la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, que es igual a menos g (la aceleración debido a la gravedad) por el seno de theta.

¿Cómo se aproxima el seno de theta en el caso de ángulos pequeños en el video?

Cuando el ángulo theta es pequeño, se puede aproximar el seno de theta por el ángulo theta mismo. Esta aproximación se utiliza para simplificar las ecuaciones y modelar el movimiento del péndulo como armónico simple.

¿Cuál es la relación entre la longitud del péndulo 'l' y el ángulo 'theta' en el contexto de la aproximación del seno?

La relación entre la longitud del péndulo 'l' y el ángulo 'theta' es que la distancia efe (la distancia que recorre la masa) es igual a 'l' multiplicado por el seno de theta, y para ángulos pequeños, esto se aproxima a 'l' multiplicado por theta.

¿Cómo se relaciona el movimiento del péndulo simple con el movimiento armónico simple en el video?

El movimiento del péndulo simple se relaciona con el movimiento armónico simple porque, en la aproximación donde los ángulos son pequeños y sene de theta se reemplaza por theta, la segunda derivada de la posición angular con respecto al tiempo es proporcional al ángulo con signo negativo, lo cual es una característica del movimiento armónico simple.

¿Cómo se define la frecuencia angular 'omega' del péndulo simple en el video?

La frecuencia angular 'omega' del péndulo simple se define como la raíz cuadrada de la aceleración debido a la gravedad 'g' dividida por la longitud del péndulo 'l', es decir, 'omega' igual a sqrt(g/l).

¿Cómo se describe el ángulo del péndulo en términos del movimiento armónico simple en el video?

El ángulo del péndulo se describe como el valor máximo de ángulo (amplitud) multiplicado por el coseno de la frecuencia angular 'omega' t, donde 't' es el tiempo y 'omega' es la frecuencia angular del péndulo.