Movimiento armónico simple | El péndulo simple
Summary
TLDREn este video se explica cómo modelar el movimiento de un péndulo simple considerándolo como un movimiento armónico simple. Se analiza el péndulo compuesto por una cuerda con masa en su extremo y se identifican las fuerzas que actúan sobre él: la tensión radial de la cuerda, el peso del objeto y su componente tangencial. Se establece que la fuerza responsable del movimiento es la componente tangencial, que se mantiene en equilibrio con la tensión radial. A través de la segunda ley de Newton y la aproximación de la distancia curva 's' como 'l * seno(theta)', se llega a la ecuación diferencial que describe el movimiento del péndulo. Al considerar ángulos pequeños, se simplifica la ecuación para modelar el movimiento del péndulo como armónico simple, donde el ángulo es proporcional al coseno del ángulo de frecuencia 'omega', que se relaciona con la longitud del péndulo y la gravedad.
Takeaways
- 📚 El video trata sobre cómo modelar el movimiento de un péndulo simple como un movimiento armónico simple.
- 🌟 Se considera un péndulo compuesto por una cuerda con masa en un extremo y una longitud \( l \), donde la masa de la cuerda es despreciable.
- 📐 El ángulo que forma la cuerda con la vertical se denota como \( \theta \).
- 🧲 Las fuerzas que actúan sobre el péndulo son la tensión radial, el peso de la masa y su componente tangencial.
- ⚖️ La fuerza de tensión radial y la componente radial del peso están en equilibrio, dejando la componente tangencial como la responsable del movimiento.
- 📉 Según la segunda ley de Newton, la aceleración es igual a la fuerza dividida por la masa, y la fuerza es la masa por la gravedad por el seno de \( \theta \).
- 🔄 La posición del péndulo se describe como una distancia curva \( s \), y la aceleración es la segunda derivada de \( s \) con respecto al tiempo.
- 📐 Para ángulos pequeños, se puede aproximar \( \sin(\theta) \approx \theta \), lo que simplifica las ecuaciones del movimiento.
- 🔗 La segunda derivada de la posición angular con respecto al tiempo es proporcional a \( -\theta \), lo que es similar a la ecuación de un sistema masa-resorte.
- 🌀 El ángulo del péndulo se puede modelar como un movimiento armónico simple, donde el ángulo es igual al ángulo máximo por el coseno de la frecuencia angular \( \omega \).
- 📉 La frecuencia angular \( \omega \) para un péndulo simple se puede calcular como \( \sqrt{\frac{g}{L}} \), donde \( g \) es la gravedad y \( L \) es la longitud del péndulo.
Q & A
¿Qué es un péndulo simple y cómo se modela su movimiento en el video?
-Un péndulo simple es un sistema físico compuesto por una masa conectada a un extremo de una cuerda de masa despreciable y longitud fija 'l'. Su movimiento se modela como un movimiento armónico simple, lo cual se aproxima cuando el ángulo de desplazamiento 'theta' es pequeño.
¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple durante su movimiento?
-Las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple son la fuerza de tensión de la cuerda, que es radial y apuntando hacia el centro, y el peso de la masa, que se descompone en dos componentes: una tangencial y otra radial.
¿Cómo se relaciona la tensión de la cuerda con el movimiento del péndulo?
-La tensión de la cuerda es radial y apuntando hacia el centro del movimiento circular que tendría la masa si no tuviera en cuenta la gravedad. Esta tensión no es la fuerza responsable del movimiento del péndulo, sino que se equilibra con la componente radial del peso de la masa.
¿Cuál es la componente de la fuerza de gravedad que causa el movimiento del péndulo?
-La componente de la fuerza de gravedad que causa el movimiento del péndulo es la componente tangencial, que es perpendicular a la tensión de la cuerda y tiene un valor de 'masa por gravedad por seno de theta'.
¿Cómo se define la posición inicial del péndulo en el video?
-La posición inicial del péndulo se define como ligeramente desplazado hacia la izquierda de su estado de reposo, lo cual se llama 'a' y es la distancia curva que recorre la masa en ese punto inicial.
Según la segunda ley de Newton, ¿qué relación existe entre la fuerza y la aceleración del péndulo?
-Según la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración. En el caso del péndulo, la fuerza es la componente tangencial de la gravedad, y la aceleración es proporcional a esta fuerza con signo negativo.
¿Cómo se relaciona la aceleración del péndulo con su posición?
-La aceleración del péndulo está relacionada con su posición a través de la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, que es igual a menos g (la aceleración debido a la gravedad) por el seno de theta.
¿Cómo se aproxima el seno de theta en el caso de ángulos pequeños en el video?
-Cuando el ángulo theta es pequeño, se puede aproximar el seno de theta por el ángulo theta mismo. Esta aproximación se utiliza para simplificar las ecuaciones y modelar el movimiento del péndulo como armónico simple.
¿Cuál es la relación entre la longitud del péndulo 'l' y el ángulo 'theta' en el contexto de la aproximación del seno?
-La relación entre la longitud del péndulo 'l' y el ángulo 'theta' es que la distancia efe (la distancia que recorre la masa) es igual a 'l' multiplicado por el seno de theta, y para ángulos pequeños, esto se aproxima a 'l' multiplicado por theta.
¿Cómo se relaciona el movimiento del péndulo simple con el movimiento armónico simple en el video?
-El movimiento del péndulo simple se relaciona con el movimiento armónico simple porque, en la aproximación donde los ángulos son pequeños y sene de theta se reemplaza por theta, la segunda derivada de la posición angular con respecto al tiempo es proporcional al ángulo con signo negativo, lo cual es una característica del movimiento armónico simple.
¿Cómo se define la frecuencia angular 'omega' del péndulo simple en el video?
-La frecuencia angular 'omega' del péndulo simple se define como la raíz cuadrada de la aceleración debido a la gravedad 'g' dividida por la longitud del péndulo 'l', es decir, 'omega' igual a sqrt(g/l).
¿Cómo se describe el ángulo del péndulo en términos del movimiento armónico simple en el video?
-El ángulo del péndulo se describe como el valor máximo de ángulo (amplitud) multiplicado por el coseno de la frecuencia angular 'omega' t, donde 't' es el tiempo y 'omega' es la frecuencia angular del péndulo.
Outlines
📚 Introducción al movimiento del péndulo
El primer párrafo introduce el tema del video, que es el modelado del movimiento de un péndulo como un movimiento armónico simple. Se describe que el péndulo consiste en una cuerda con una masa en su extremo y que la masa de la cuerda es despreciable. Se menciona que el ángulo formado con la vertical se denotará por theta (teta) y se analizarán las fuerzas que actúan sobre el péndulo: la tensión radial de la cuerda, el peso de la masa y su descomposición en componentes paralela y perpendicular a la tensión. La fuerza tangencial es la responsable del movimiento y se establece que esta es igual a la masa por la gravedad por el seno de teta. El video comienza con el péndulo en una posición ligeramente desplazada de su estado de reposo y se observa cómo se comporta la fuerza a lo largo del movimiento.
🔍 Análisis de la fuerza y la aceleración del péndulo
Este párrafo se enfoca en el análisis de la fuerza y la aceleración que rigen el movimiento del péndulo. Se describe que la fuerza que impulsa el movimiento es la componente tangencial de la gravedad, que es igual a la masa por la gravedad por el seno de teta. Se establece que la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, y se relaciona con la fuerza a través de la segunda ley de Newton. Se simplifica la ecuación utilizando la aproximación de que la distancia desplazada (s) es igual a la longitud del péndulo (l) multiplicada por el seno de teta, lo que lleva a una ecuación donde la segunda derivada de s es igual a menos g por el seno de teta.
📐 Aproximación del movimiento del péndulo
En este segmento, se discute cómo se puede aproximar el movimiento del péndulo cuando los ángulos son pequeños, permitiendo así modelar el péndulo como un movimiento armónico simple. Se utiliza la aproximación de que el seno de un ángulo pequeño es igual al ángulo en radianes, lo que simplifica la ecuación a una forma donde la segunda derivada del ángulo con respecto al tiempo es proporcional al ángulo mismo, pero con signo negativo. Se compara este resultado con el movimiento armónico simple de una masa y un resorte, donde la posición es proporcional a la amplitud y al coseno del ángulo de frecuencia angular (omega). Se concluye que si el ángulo de movimiento es pequeño, el movimiento del péndulo puede ser considerado como armónico simple, con la frecuencia angular omega igual a la raíz cuadrada de la relación entre la gravedad y la longitud del péndulo.
Mindmap
Keywords
💡Péndulo
💡Movimiento armónico simple
💡Cuerda de masa despreciable
💡Longitud l
💡Ángulo teta (θ)
💡Fuerza de tensión
💡Peso del objeto
💡Segunda ley de Newton
💡Aceleración
💡Posición
💡Frecuencia angular (ω)
💡Aproximación del seno
Highlights
El video explica cómo modelar el movimiento de un péndulo simple.
Se considera un péndulo compuesto por una cuerda con masa en un extremo y una longitud l.
La cuerda tiene masa despreciable y forma un ángulo teta con la vertical durante el movimiento.
Las fuerzas en el sistema incluyen tensión radial, peso y componentes tangenciales del peso.
La fuerza tensión radial está en equilibrio con la fuerza radial del peso.
La fuerza tangencial del peso es responsable del movimiento del péndulo.
La aceleración del objeto es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza aplicada.
La segunda ley de Newton se aplica para describir la relación entre fuerza y aceleración.
La posición del péndulo se describe como una distancia curva s.
La aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo.
La ecuación de movimiento del péndulo es la segunda derivada de s igual a menos g por seno de teta.
Se utiliza la aproximación de que el seno de un ángulo pequeño es igual al ángulo en radianes.
El movimiento del péndulo se modela como armónico simple para ángulos pequeños.
La ecuación diferencial del movimiento es similar a la del sistema masa-resorte.
El ángulo del péndulo se expresa como el valor máximo del ángulo por el coseno de la frecuencia angular.
La frecuencia angular omega se relaciona con la gravedad y la longitud del péndulo.
El movimiento del péndulo simple se puede modelar como armónico simple bajo ciertas condiciones.
Transcripts
en este vídeo vamos a ver cómo es que se
modela el movimiento de un péndulo
simple como un movimiento armónico
simple para esto vamos a calcular el
movimiento de un péndulo y vamos a
considerar los siguientes factores
primero el péndulo está formado por una
cuerda que tiene una masa en su extremo
la cuerda es de masa despreciable y
tiene una longitud l el péndulo se va a
mover y cuando haga esto la cuerda va a
formar un ángulo con la vertical que le
llamaremos teta y las fuerzas que van a
actuar sobre este sistema van a ser las
siguientes la fuerza de tensión de la
cuerda que va a tener una dirección
radial apuntando hacia el centro el peso
del objeto que es igual a la masa por la
gravedad y el peso lo vamos a separar en
dos componentes una componente que va a
ser paralela pero de signo contrario a
la atención entre el vector de peso y
esta componente el ángulo que se forma
es el mismo ángulo teta que habíamos
mencionado y entonces esta componente
tiene un valor de masa por gravedad por
coseno de teta la otra componente es
esencial perpendicular a la atención y
es igual a masa por gravedad por seno de
teta en este sistema la componente
radial del peso está en equilibrio con
la atención por lo tanto la fuerza que
es responsable del movimiento del
péndulo es la componente tangencial masa
por gravedad por seno de teta vamos a
ver lo que sucede con esta fuerza
conforme el péndulo se va moviendo vamos
a iniciar en una posición en la cual el
péndulo está ligeramente hacia la
izquierda de su estado de reposo vamos a
llamarle ese a la distancia curva que
recorre la masa que está en ese péndulo
y vamos a observar lo que sigue
cuando el péndulo se mueve hacia la
derecha la fuerza apunta hacia la
izquierda y viceversa según la segunda
ley de newton la suma de las fuerzas es
igual a la masa por la aceleración del
objeto como el movimiento del objeto es
en dirección contraria a la fuerza
entonces podemos decir que la masa por
la aceleración es igual a la fuerza con
signo negativo y qué fuerza se está
habíamos dicho que es la masa por la
gravedad por el seno de teta como
tenemos más a ambos lados
cancelar y recordando que la aceleración
es la segunda derivada de la posición
con respecto al tiempo en este caso la
posición es esa distancia curva
efe entonces podemos escribir lo
siguiente la segunda derivada de s con
respecto al tiempo es igual a menos g
por el seno de teta a continuación vamos
a observar lo siguiente si formamos un
triángulo rectángulo donde la hipotenusa
vale la longitud de la cuerda del
péndulo es decir l
y queremos calcular la distancia efe
esta sería el cateto opuesto al ángulo
teta por lo tanto ese sería igual a l x
seno de teta y resulta que si el ángulo
theta es pequeño podemos aproximar el
seno de pret a ese mismo ángulo por
ejemplo el seno de punto 01 radiales es
igual a punto 00 99 es aproximadamente
punto 01 el seno de punto 1 radiales es
igual a punto 0 998 también es una muy
buena aproximación pero si agarramos
ángulos más grandes por ejemplo un
radial vemos como ya la aproximación no
es tan buena por lo tanto cuando el
ángulo es p
nosotros podemos equivaler el seno de 30
a el deporte está entonces con esta
consideración vamos a modificar nuestra
ecuación en vez de poner ese ponemos el
deporte está en vez de seno de 30
ponemos simplemente teta y nos queda los
siguientes si pasamos la longitud de
viviendo tenemos que la segunda derivada
del ángulo con respecto al tiempo es
igual a menos g sobre el portet como
podemos ver lo que acabamos de obtener
es que la segunda derivada de la
posición que está veces angular pues es
un ángulo es proporcional al mismo
ángulo pero con signo negativo esta
ecuación diferencial es muy parecida a
la ecuación que se obtiene del sistema
masa resorte que tiene un movimiento
armónico simple donde la segunda
derivada de la posición también es
proporcional a la posición con signo
negativo así como en el sistema masa
resorte tenemos un movimiento armónico
simple donde la posición es igual a la
amplitud por el coseno de la frecuencia
angular omega por t más y donde omega es
igual a la raíz de k / m
si nosotros modelamos el movimiento de
un péndulo simple como
movimiento armónico simple tenemos que
el ángulo va a ser igual a el valor
máximo de ángulo que sería equivalente a
la amplitud por el coseno de omega temas
y donde esta vez omega va a ser igual a
la raíz de la gravedad entre la longitud
por lo tanto si nosotros consideramos
que el ángulo de movimiento del péndulo
es pequeño de forma que nosotros podamos
decir que el seno de teta es
aproximadamente teta podemos modelar el
movimiento de un péndulo simple como un
movimiento armónico simple
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