UNIDAD 3: Integrales triples en coordenadas cilíndricas - Masa de un sólido
Summary
TLDREn este ejercicio se calcula la masa de un sólido determinado por un cilindro y dos planos. El cilindro está definido por la ecuación x^2 + y^2 = 1, mientras que los planos son 7 = 2 - x y el plano objetivo al eje Z, que es el plano XY. La densidad del sólido es dada por ρ(x, y) = √(x^2 + y^2). Primero, se traza el sólido en un sistema tridimensional y luego se proyecta en el plano XY, revelando un círculo de radio 1. A continuación, se describe el sólido en coordenadas cilíndricas, donde se determinan las magnitudes r, θ y z. Finalmente, se calcula la masa del sólido a través de una integral triple, considerando la densidad y las coordenadas cilíndricas, lo que resulta en una masa aproximada de 8,38 kilogramos.
Takeaways
- 📐 Se presenta un ejercicio para calcular la masa de un sólido limitado por un cilindro y dos planos específicos.
- 📏 La densidad del sólido es dada por la fórmula ρ(x, y) = √(x² + y²), con las unidades en kilogramos/cúbico metro.
- 📏 Las variables x e y están en metros y la densidad varía en función de estas coordenadas.
- 🎨 Se inicia la solución con la representación gráfica del sistema tridimensional y las superficies que definen el sólido.
- 🔢 Se describen las ecuaciones de las superficies: cilindro (x² + y² = 1), plano oblicuo (z = 2 - x) y plano horizontal (z = 0).
- 📈 Se proyecta el sólido en el plano xy, obteniendo un círculo de radio 1, que se utiliza para describir el sólido en coordenadas cilíndricas.
- 🧮 Se cambian las ecuaciones de las superficies al sistema de coordenadas cilíndricas para facilitar el cálculo.
- 📉 Se determina la variación del radio en el plano xy, que varía desde el origen hasta la circunferencia del cilindro.
- 📐 Se establece la descripción del sólido en coordenadas cilíndricas, con r variando de 0 a 1 y θ de 0 a 2π.
- ∫ Se utiliza la integral triple para calcular la masa del sólido, integrando la densidad multiplicada por el diferencial de volumen.
- 🧮 Se desarrolla la integral triple paso a paso, integrando primero respecto a zeta (z), luego a r y finalmente a θ.
- 📌 Se evalúa la integral triple para obtener la masa del sólido, resultando en aproximadamente 8.38 kilogramos.
Q & A
¿Cuál es el límite del sólido que se está calculando la masa?
-El sólido está limitado por el cilindro x^2 + y^2 = 1, el plano oblicuo 7 = 2 - x y el plano horizontal z = 0 que es el plano xy.
¿Cómo se representa gráficamente el cilindro en el espacio tridimensional?
-El cilindro se representa gráficamente como una circunferencia de radio 1 con sus generatrices paralelas al eje z.
¿Cuál es la ecuación del plano oblicuo que limita el sólido?
-La ecuación del plano oblicuo es z = 2 - x, y se denota como superficie S1 en el texto.
¿Cómo se describen las coordenadas cilíndricas en el contexto del ejercicio?
-Las coordenadas cilíndricas son r, θ y z, donde r es el radio desde el eje z hasta el punto en el plano xy, θ es el ángulo en el plano xy y z es la coordenada axial.
¿Cómo se determina la densidad del sólido en el ejercicio?
-La densidad del sólido se describe como ρ(x, y, z) = √(x^2 + y^2), y en coordenadas cilíndricas, dado que y = r * sen(θ), la densidad se convierte en ρ(r, θ, z) = 2√(r^2) = 2r.
¿Cuál es la proyección del sólido en el plano xy?
-La proyección del sólido en el plano xy es un círculo de radio 1, ya que el cilindro x^2 + y^2 = 1 proyecta como tal en el plano xy.
¿Cómo se calcula el volumen del sólido?
-Para calcular el volumen del sólido, se utiliza la integral triple de la densidad sobre el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas.
¿Cuál es la integral triple que se utiliza para calcular la masa del sólido?
-La integral triple utilizada es ∫₀²∫₀¹∫₀²−rcos(θ) ρ(r, θ, z) r dz dr dθ, con ρ(r, θ, z) = 2r.
¿Cómo se evalúa la integral triple para encontrar la masa del sólido?
-Se evalúa la integral triple de la siguiente manera: primero se integra con respecto a z, luego con respecto a r, y finalmente con respecto a θ. Esto resulta en una masa del sólido de aproximadamente 8.38 kilogramos.
¿Cuál es la masa final del sólido que se calculó?
-La masa final del sólido, después de evaluar la integral triple, es aproximadamente 8.38 kilogramos.
¿Por qué se utilizan coordenadas cilíndricas para describir el sólido?
-Las coordenadas cilíndricas son útiles para describir figuras que tienen simetría cilíndrica, como es el caso del cilindro en el ejercicio. Facilitan la descripción y el cálculo del volumen y la masa del sólido.
¿Cómo se determina el rango de variación del radio r en las coordenadas cilíndricas?
-El rango de variación del radio r se determina de 0 a 1, ya que el radio varía desde el polo (origen) hasta el radio del cilindro, que es 1.
Outlines
📐 Ejercicio de cálculo de masa de sólido
El primer párrafo describe un ejercicio de cálculo de la masa de un sólido determinado por un cilindro y dos planos. Se introduce la densidad del sólido como una función de 'x' y 'y', y se pide que se dibuje el sistema tridimensional. Se grafican las superficies que limitan el sólido y se proyecta el sólido en el plano xy, revelando una circunferencia de radio 1. Luego, se describe el sólido en coordenadas cilíndricas, donde se determinan las magnitudes 'r', 'z' y 'θ', y se establece la forma del sólido en estas coordenadas.
📉 Proyección en el plano y cálculo de la masa
Este párrafo aborda la proyección del sólido en el plano de crisis para observar la variación del radio 'r' y el ángulo 'θ'. Se nota que la proyección está en los cuatro cuadrantes y el radio varía desde el origen hasta la curva. Se escribe el sólido en coordenadas cilíndricas, con 'θ' variando de 0 a 2π y 'r' de 0 a 1. Se calcula la densidad en cualquier punto del sólido como una función de 'x' y 'y'. Con esta información, se procede a calcular la masa del sólido a través de una integral triple, integrando la función de densidad sobre el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas.
🔢 Evaluación de la integral triple para encontrar la masa
El tercer párrafo se enfoca en la evaluación de la integral triple para determinar la masa del sólido. Se realiza la integración en el orden 'zeta', 'r' y 'theta', respectivamente, y se aplican las coordenadas cilíndricas para transformar la función de densidad y el diferencial de volumen. Después de realizar los cálculos, se obtiene una expresión para la masa del sólido en términos de 'r' y 'theta'. Finalmente, se evalúa la integral para encontrar la masa total del sólido, que se aproxima a 8.38 kilogramos.
Mindmap
Keywords
💡Cálculo de Masa
💡Cilindro
💡Planos
💡Densidad
💡Coordenadas Cilíndricas
💡Integral Triple
💡Volumen Diferencial
💡Proyección en el Plano xy
💡Curva de Interacción
💡Coordenadas Cartesianas
💡Función de Densidad
Highlights
Ejercicio de cálculo de la masa de un sólido limitado por el cilindro x^2 + y^2 = 1 y los planos 7 = 2 - x y 70° si se conoce la densidad como √(x^2 + y^2)
Representación tridimensional del sistema y gráfico del cilindro con la curva directriz como una circunferencia de radio 1
Desarrollo del cilindro en coordenadas cartesianas y su interacción con los planos dados
Identificación de las superficies limitantes del sólido: cilindro, plano oblicuo y plano z = 0
Proyección del sólido en el plano xy revelando un círculo de radio 1
Elección de describir el sólido en coordenadas cilíndricas para facilitar el cálculo
Conversión de las superficies a coordenadas cilíndricas para obtener ecuaciones en r, θ, z
Detección de que la proyección en el plano rz varía en los cuatro cuadrantes, con r variando de 0 a 1
Establecimiento de las coordenadas cilíndricas del sólido con θ variando de 0 a 2π, r de 0 a 1 y z de 0 a 2 - r cos(θ)
Densidad del sólido expresada como una función de las coordenadas x e y
Cálculo de la masa del sólido utilizando la integral triple sobre el volumen del sólido con la densidad dada
Transformación de la función de densidad a coordenadas cilíndricas para integrar
Determinación del diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas como r dr dz dθ
Evaluación de la primera integral con respecto a z, obteniendo una expresión en términos de r
Integración siguiente con respecto a r, resultando en una expresión que incluye r al cubo
Integración final con respecto a θ, proporcionando un resultado en términos de π
Cálculo de la masa del sólido que resulta en aproximadamente 8.38 kilogramos
Explicación detallada y paso a paso del proceso de cálculo, facilitando la comprensión del método
Transcripts
estimados estudiantes a continuación
veamos un ejercicio sobre el cálculo de
la masa de un sólido y dice calculé la
masa del sólido limitado por el cilindro
x cuadrado más si cuadra igual uno y los
planos 7 igual 2 - x 70 si se conoce que
la densidad es robo de x y z igualados
por la raíz cuadrada de x cuadrado más y
cuadrado las unidades están en
kilogramos sobre metros cúbicos y las
variables x y z están en metros solución
dibujamos nuestro sistema tridimensional
y vamos a empezar dibujando graficando
el cilindro x cuadrado más y cuadrado
igual 1 donde la curva directriz es una
circunferencia de radio 1
y la génesis son paralelas al eje z
entonces el desarrollo de siguiendo
tiene esta forma donde como hemos dicho
el corte aquí con el eje
es cierto xy baja de 3 1
muy bien ahora vamos a graficar el plano
set
2 - x la traza de este plano en el plano
xz en esta forma
ahí donde si hacemos x 07 es igual a 2
entonces aquí vamos a marcar los cortes
se activó al 2
si hacemos 70 x también acá es igual a 2
y este plano es paralelo al eje
entonces la gráfica este plano tiene
esta forma
a continuación ahora vamos a graficar la
curva de interacción entre estas dos
superficies y esa curva en dirección
tiene esta forma
ahora el sólido debe estar limitado por
estas tres superficies el cilindro x
cuadrado más chico hará igual uno este
plano oblicuo 7 igual 2 - x y el plano
objetivo al 0 que es el plan xy entonces
así nos queda pues que el sólido tiene
esta forma
entonces ahí vemos la gráfica del sólido
que vamos a continuación ahora a
describir
empezaremos colocando las ecuaciones de
las superficies en este caso este plano
que está por aquí
su ecuación
72 - x vamos a llamarle s 1
z igual
2 - x
esta otra superficie que está por acá
vamos a llamarle s 2
y ocasiones x al cuadrado más y al
cuadrado igual 1
vamos a borrar este punto de interacción
que ya no son de nuestro interés para
que se pueda visualizar mejor es sólido
y ahora veamos lo siguiente
si nosotros proyectamos este sólido en
el plano xy observamos que la proyección
es un círculo de radio 1 entonces en
este caso vamos a optar por describir
este sólido en coordenadas y líneas
entonces la proyección tenemos que es un
círculo de radio 1
vamos a marcar acá los puntos de
interacción
radio 1 verdad
entonces para determinar
la descripción del sólido en coordenadas
cilíndricas debemos determinar las
magnitudes rz y z
entonces para ello es necesario cambiar
las superficies a coordenadas
cilíndricas es lo que vamos a hacer a
continuación
entonces ese 1 es igual a z antigua
lados menos x donde x en coordenadas
cilíndricas es r kosen etc entonces aquí
la ecuación tiene esta forma
entonces ese uno tiene esta forma
z igual
2 - r
cocino etc
ahora ese 2
x cuadrados y cuadrados iguales
recuadrado tendríamos el recuadro igual
1 entonces la superficie s 2 en
coordenadas cilíndricas es r igual
1
ahora necesitamos la proyección en el
plan de crisis para ver cómo varía el
radio r y el ángulo teta
observamos aquí que mi proyección está
en los cuatro cuadrantes entonces la
variación de la biblioteca aquí es d
0 a 2
y el radio
y el radio pero que podemos crecer un
radio
nos damos cuenta que el radio
y está variando del polo o del origen
hacia la curva entonces el radio va de 0
a 1
así entonces ya podemos escribir el
sólido en coordenadas cilíndricas
entonces el sólido
quedará pues de esta forma
es igual a todos los puntos en este caso
ere teta zeta
tal qué
el ángulo teta varía de 0 a 2 pi
ahí está de 0 a 2 y r va de 0 a 1
pero de 0 a 1
y z inicia en este caso
si vemos aquí
inicia en 0 70 y va hasta mi plan
oblicuo y ecuaciones 7 igual 2 - r
coseno ya dada en coordenadas y clínicas
entonces a qué tenemos que zeta d
de 0
a 2012 r
con seno etc
y listo
tenemos también por dato que la densidad
sin la densidad
en cualquier punto del sólido
es igual
a dos veces la raíz cuadrada de x al
cuadrado más y al cuadrado
con esta información ya podemos calcular
la masa de sólido recordemos que la masa
del sólido es igual vamos a percibir por
aquí
es igual a la integral triple
sobre sólido y de la función densidad
xy zeta
diferencial de volumen
ahora vamos a escribir la integral
triple que permite calcular la masa de
sólido integrales y tiradas es decir
aquí me va a quedar esta forma
hacer la integral de 0 a 2
de 0 a 1
la integral acaba de cero
a 2 - r coseno etc
de la función densidad la función
densidad también tengo que cambiar las
coordenadas cilíndricas en este caso la
función densidad cambiando a coordenadas
y clínicas será igual a quien estoy aquí
es el re cuadrado recordada r va a
quedar 12 r
y entonces aquí la función en ciudad va
a ser 12 r
el diferencial de volumen en coordenadas
cilíndricas es r
de dz
ddr
de teta
ahora vamos a evaluar la primera
integral
en este caso respecto a la zeta
entonces acá nos queda pues el
integrando 12 recuadrado integramos
respecto a esta va a ser 2 que es
recordada por se está evaluando y ya en
este caso vamos a que de esta manera
no va a quedar de 0 a 2
la integral de 0 a 1
y aquí nos va a quedar esta forma 4 de
cuadrado
- 2 r cubo
por el coche no etc
diferencial de r diferencial de t
ahora seguido vamos a integrar respecto
a r
y en este caso pues integrando tenemos
sería r al cubo sobre tres hacia cuatro
r al cubo sobre tres menos aquí queda
era la cuarta sobre cuatro que daría era
la cuarta sobre dos por el coche n te
está evaluando de 0 a 1 tenemos acá lo
siguiente esto nos va a quedar
de esta manera la integral de 0 a 2 pi
de cuatro tercios
- un medio
por el coche no etc
diferencial etc
de forma análoga desarrollamos esta
entrada al respecto theta será cuatro
tercios de teta menos un medio por el
cnt está evaluado de 0 a 2 pi esto es
igual a
8 pi tercios
que aproximadamente es
8,38
entonces decimos lo siguiente la masa
la masa del sólido
838
kilogramos aproximadamente
y eso es
todo respecto a la solución a este
ejercicio gracias
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