Función cuadrática. Gráfico: hallando vértice, raíces, ordenada al origen. Parte1/7
Summary
TLDREn este ejercicio, se aborda el análisis de una función cuadrática, comenzando por identificar los coeficientes a, b y c, donde a es el multiplicador de x^2, b el multiplicador de x y c el término independiente. Seguidamente, se describe cómo determinar la concavidad de la parábola en función del signo de 'a'. El siguiente paso es encontrar el vértice de la parábola utilizando la fórmula (-b/2a) para encontrar la coordenada x, y luego evaluar la función en ese punto para obtener la coordenada y. A partir de aquí, se calculan las raíces de la función, es decir, los valores de x que hacen que la función valga cero, utilizando la fórmula cuadrática estándar. Seguidamente, se trazan estas raíces junto con el vértice en un gráfico para visualizar la parábola. Finalmente, se evalúa la función en x=0 para determinar la ordenada al origen, lo que permite completar el gráfico de la función. El análisis incluye la identificación del conjunto de positividad y negatividad de la función, así como el intervalo de crecimiento y decrecimiento.
Takeaways
- 📌 Se realiza un ejercicio con una función cuadrática similar al número 14.
- 🔍 Se busca graficar la función y encontrar su conjunto de crecimiento y decrecimiento.
- 📐 Se identifica a (-1), b (2) y c (8) como los coeficientes de la función cuadrática.
- 📈 La concavidad de la parábola es determinada por el signo de 'a', que en este caso es negativo.
- 🔢 Se utiliza la fórmula de la parábola para encontrar el vértice: (-b/2a, f(-b/2a)).
- 🧮 Se calcula la coordenada x del vértice como -b/(2a), que resulta en 1.
- 📉 Se calcula la coordenada y del vértice sustituyendo x = 1 en la función, obteniendo y = 11.
- 🤔 Se resuelven las ecuaciones para encontrar las raíces de la función, que son los puntos donde la función se anula.
- 🔗 Se utiliza la fórmula de la raíz cuadrada para encontrar los valores de x que hacen que la función valga cero.
- 📍 Se encuentran las raíces x = -4 y x = 2, que son puntos aislados en el gráfico.
- 🏞 Se evalúa la función en x = 0 para encontrar el ordenada al origen, obteniendo y = 8.
- 📈 Se grafica la parábola teniendo en cuenta el vértice, las raíces y el ordenada al origen.
Q & A
¿Qué valores identifica para la función cuadrática en el script?
-En el script, se identifican los valores a, b y c para la función cuadrática. a es el número que multiplica a x^2 y en este caso es -1, b es el número que multiplica a x y es 2, y c es el número que está solo, que es 8.
¿Cómo se determina si la parábola es ascendente o descendente?
-La parábola es ascendente si el valor de 'a' es positivo y descendente si es negativo. En el script, como 'a' es -1, la parábola es descendente.
¿Cómo se encuentra la coordenada x del vértice de la parábola?
-La coordenada x del vértice se encuentra utilizando la fórmula -b/(2a). En el script, al reemplazar los valores se obtiene -2/(2*-1), que resulta en 1.
¿Cómo se calcula el valor de y en el vértice?
-Para encontrar el valor de y en el vértice, se reemplaza el valor de x del vértice en la fórmula de la función cuadrática. En el script, al reemplazar x = 1, se obtiene la fórmula -1*(1)^2 + 2*1 + 8, que resulta en 9.
¿Cuál es el vértice de la parábola descrita en el script?
-El vértice de la parábola es el punto (1, 9), lo que significa que el vértice tiene una coordenada x de 1 y una coordenada y de 9.
¿Cómo se determinan las raíces de la función?
-Para encontrar las raíces, se iguala la función a cero y se resuelve para x. En el script, se utiliza la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).
¿Cuáles son las raíces de la función cuadrática en el script?
-Las raíces de la función son los valores de x que hacen que la función valga cero. En el script, se resuelven las ecuaciones y se obtienen las raíces -4 y 2.
¿Cómo se encuentra el ordenada al origen de la parábola?
-Para encontrar el ordenada al origen, se evalúa la función en x = 0. En el script, al reemplazar x por 0 en la función, se obtiene -0^2 + 2*0 + 8, que resulta en 8.
¿Cuál es el punto de intersección de la parábola con el eje y?
-El punto de intersección de la parábola con el eje y se encuentra cuando x = 0. En el script, este punto es (0, 8).
¿Cómo se realiza un gráfico aproximado de la parábola?
-Para hacer un gráfico aproximado, se ubican los puntos clave como el vértice, las raíces y el ordenada al origen en el plano cartesiano y se conectan para formar la curva de la parábola. En el script, se describe este proceso usando los valores encontrados.
¿Cómo se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la parábola?
-Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se determinan por la concavidad de la parábola y su vértice. En el script, como la parábola es descendente (a negativo), el vértice es el punto máximo, y por lo tanto, la función crece antes de llegar al vértice y disminuye después.
¿Cómo se identifica el conjunto de positividad y negatividad de la función?
-El conjunto de positividad son los valores de x donde la función es mayor que cero, mientras que el conjunto de negatividad son los valores donde la función es menor que cero. En el script, se infiere de la posición del vértice y las raíces.
Outlines
📈 Identificación y análisis de una función cuadrática
Se describe un ejercicio para tratar con una función cuadrática, iniciando por identificar los coeficientes a, b y c. La función es de la forma ax^2 + bx + c, donde a es -1, b es 2 y c es 8. Se discute cómo la parábola se inclina dependiendo del signo de 'a'. Para encontrar el vértice, se utiliza la fórmula (-b/2a) para x y se sustituye en la función para encontrar y. Esto resulta en el vértice (1, 11). Luego, se abordan las raíces de la función, que son los puntos donde la función intersecta el eje x, y se resuelven usando la fórmula cuadrática estándar.
📊 Construcción de un gráfico a partir de la función cuadrática
Una vez identificados el vértice y las raíces, se procede a trazar un gráfico aproximado de la función. Se evalúa la función en x = 0 para encontrar el ordenada al origen, que resulta en y = 8. Con estos datos, se ubican el vértice, el origen y las raíces en el gráfico. Se describe cómo la parábola tiene una forma determinada dada su pendiente negativa. Finalmente, se discute cómo se pueden determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como los conjuntos de positividad y negatividad.
Mindmap
Keywords
💡Función cuadrática
💡Vértice
💡Raíces
💡Positividad y Negatividad
💡Intervalo de crecimiento y decrecimiento
💡Gráfica
💡Coordenadas del vértice
💡Fórmula de la raíz cuadrada
💡Ordenada al origen
💡Conjunto de ceros
💡Eje x y eje y
Highlights
Se realiza un ejercicio para graficar una función cuadrática y encontrar su conjunto de positividad y negatividad.
Se identifica la función cuadrática con los valores de a = -1, b = 2 y c = 8.
La parábola es negativa, indicando su forma específica.
Se utiliza la fórmula de vértice para encontrar las coordenadas del vértice.
Las coordenadas del vértice se calculan como (1, 11).
Se evalúa la función en el vértice para encontrar su y valor.
Se resuelven las raíces de la función, que son los puntos donde la función se anula.
Las raíces se encuentran utilizando la fórmula de la raíz cuadrada para un polinomio.
Se obtienen dos soluciones para las raíces: -4 y 2.
Se ubican las raíces en el gráfico, marcando los puntos (-4, 0) y (2, 0).
Se evalúa la función en x = 0 para encontrar el ordenada al origen.
El ordenada al origen se encuentra en el punto (0, 8).
Se realiza un gráfico aproximado de la parábola con el vértice, las raíces y el ordenada al origen.
Se determina el conjunto de positividad y negatividad de la función.
Se discute el intervalo de crecimiento y decrecimiento de la función.
Se destaca la importancia de la precisión en los cálculos para evitar errores comunes.
Se enfatiza la utilidad de la fórmula de la raíz cuadrada para resolver problemas de ecuaciones cuadráticas.
Se describe el proceso de evaluación de la función en puntos específicos para obtener información adicional.
Transcripts
bueno vamos a hacer un ejercicio similar
al 14 con una función cuadrática en la
cual lo que vamos a hacer es tratar de
graficar sí y luego hallar conjunto
positividad negatividad intervalo de
crecimiento de decrecimiento
y bueno países obviamente vértice de
todo un poco como vamos a arrancar estas
este tipo de ejercicios lo primero que
vamos a hacer es identificar bien quién
es a quienes ve y quienes se ha es el
número que multiplica al x cuadrado en
este caso fíjense que tienen menos por
lo tanto a va a ser menos 1 b es el
número que multiplica a
la equis en este caso 2 y c es el número
que está solo o sea 8 una vez que
tenemos los tres valores en seguida lo
que hacemos es para saberlo no hay final
o en claro recordar que si es positivo
va a ser una parábola que va a tener
esta forma así y si es negativo va a ser
así en este caso como es negativo
recordemos que esta parábola va a tener
esta forma si bien una vez que tenemos
ya
estos tres valores lo que vamos a hacer
es hallar el vértice si superan cara
siendo el vértice o las raíces como uno
quiera para el vértice usamos la fórmula
a felix partes acuérdense que es el
punto máximo o el punto mínimo de una
parábola una función cuadrática en este
caso si tiene esta forma va a ser
nuestro punto máximo está bien entonces
para hallar el vértice lo que vamos a
hacer es
encontrar sus coordenadas que van a ser
x del vértice y del vértice el x del
vértice lo hallamos con esta fórmula
menos b sobre dos por a
en este caso menos ve quién va a ser
menos 2 sobre 2 por 2 x menos 1 porque
recuerden que era menos 1 entonces esto
nos va a quedar menos 2 sobre menos 2
que es 1 una vez que tenemos el verde el
x del vértice lo que vamos a hacer es
hallar el y del vértices y para hacer
ley del vértice lo que tenemos que hacer
es
hasta la fórmula de x el vértice la
divide el vértice es reemplazar dentro
de la función el valor del x del vértice
hallado en este caso es 1 si entonces lo
que vamos a hacer es hacer f evaluada en
1 reemplazamos donde dice la equis y
ponemos 1 también como nos va a quedar
nos va a quedar
esto es importante tenerlo muy en cuenta
recuerden que había un -1 multiplicando
al x al cuadrado si entonces ahora vamos
a dejar ese 1
si hay adelante y donde dice x
reemplazar por uno entonces nos va a
quedar de esta manera luego hacemos 2 x
1 + 8 si se fíjense lo que sucede acá
este menos 1 que está acá delante no
está elevado al cuadrado es un error muy
típico está bien son - que está fuera si
es en menos fuera del x cuadrado
entonces qué es lo que nos va a quedar
nos va a quedar menos uno por uno al
cuadrado vale uno
más 28
esto termina haciendo menos uno más de
más ocho o sea nos queda que lidl
vértices
menos uno más dos es menos su perdón es
11 89 entonces tenemos el x del vértice
el y del vértice nuestro vértice es el
punto 19
bien vamos a ir ubicando es el artista
en el gráfico fíjense que es el punto
que tiene al cis a una ordenada 9 o sea
el valor de x vale 1 el valor de y vale
9 entonces nos vamos al gráfico
y ubicamos nuestro vértice así bien
vamos a hallar las raíces que son las
raíces las raíces son los valores de x
xi tales que vale 0 tales que la función
vale 0 entonces qué es lo que tenemos
que hacer y esto es válido para
cualquier función si cada vez que nos
piden haya raíces de cualquier función
lo que vamos a hacer es igualar y fx que
es lo mismo a cero entonces en este caso
nos va a quedar vigencia casta la
función lo que vamos a hacer es igualar
la a cero
y luego despejar el xc
está bien una vez que tenemos esta
igualdad nos fijamos que hay tres
términos uno con x cuadrado otro con xy
otro sin x no nos va a quedar otra así
la única opción para poder despejar x es
utilizar esta fórmula
es menos ve más menos raíz debe cuadrado
menos 4 hace
sobre dos por sí
esta fórmula se puede utilizar si no
tenemos si tenemos que ese vale 0 está
bien y también se puede utilizar si
tenemos que ver vale 0 estamos digamos
que en esos casos no es obligatorio se
puede hacer un despeje directos y en
ambos casos pero si tenemos los tres
términos obligatoriamente tenemos que
utilizar esta fórmula lo hacemos hoy
reemplazando y vamos a seguir poniendo b
vale 2 ya que nos queda menos 2 más
menos raíz de b cuadrado 2 cuadrados
menos 4 x menos 1 por y se vale 8
sobre 2 x menos 1 bien vamos a hacer
toda esta cuenta
muy bien entonces resolver lo que tenía
dentro de la raíz en este caso me da 36
la raíz de 36 es 6
y aquí llega el momento donde se bifurca
en dos soluciones una positiva que es
menos 26 sobre menos 2 y la otra con el
menos si nos terminan quedando 6 menos
244 dividido menos 2 es menos 2 y aquí
obtenemos nuestra primer raíz y luego
tenemos menos ocho dividido menos dos te
queda cuatro y aquí tenemos la siguiente
raíz o sea que las raíces o el conjunto
de ceros y es lo mismo llamarlo también
un conjunto de ceros vamos a poner en
tres llaves porque son puntos aislados y
van a ser menos 24 los ubicamos y en el
gráfico fíjense que estos puntos si
tenían coordenada y 0 recuerden que
surgieron de igualaría 0 entonces vamos
a poner
sobre el eje de las x las dos raíces y
fíjense que estos puntos tienen
coordenada x2 y la coordenada y vale 0
lo mismo pasa con el 4 una vez que
tenemos las dos raíces y el vértice
vamos a hacer un gráfico aproximado pero
antes para poder dibujar bien vamos a
echar la ordenada al origen sí
el ordenada el origen es el valor de y
tal que x vale 0 está bien va a ser un
punto que nos va a quedar sobre el eje
de las y si un punto que va a tener esta
forma se va a tener la forma 0 de x
no sabemos cuál va a ser el y lo tenemos
que hallar entonces cómo hacemos para
hallar el y hay que evaluar la función
en el x o sea en cero entonces como
hacemos
efe de cero reemplazamos dentro de equis
por 0 nos queda menos 0 cuadrado más 2 x
0 + 8
o sea nos queda 8 efe de 0 vale 8
entonces cuál va a ser nuestra ordenada
el origen 8
si lo queremos ubicar en el gráfico es
el punto que tiene coordenada x0 y
coordenada y 8
para x0 y vale 8 osea que corta al eje
en el punto 08 con estos datos que
tenemos nuestro vértice nuestra
coordenada el origen y nuestras raíces
vamos a hacer el gráfico aproximadamente
sí
fíjese
que esta parábola tiene esta forma así
como habíamos dicho en un comienzo y va
a tener esta forma porque era negativa
estamos bueno a partir de gráfico ahora
vamos a hallar
el conjunto de positividad negatividad
bueno distintas cosas y intervalo
crecimiento ahora lo hacemos
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