Funciones reales de variable real
Summary
TLDREl guion trata sobre las funciones matemáticas, definiendo dominio y codominio, y explicando el rango. Se describen gráficas de funciones y cómo se ven en el plano cartesiano, incluyendo ejemplos de lineales, cuadráticas, cúbicas y de grado cuatro. También se mencionan funciones por partes y racionales, así como las propiedades de funciones potencias, fraccionarias, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, destacando sus características y comportamientos.
Takeaways
- 🔢 Una función F es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto dominio (D) un único elemento en el conjunto codominio (Y).
- 📊 El rango de una función F es el conjunto de valores que toma F(x) cuando x varía en D.
- 🚫 Algunos elementos del codominio pueden no tener un elemento correspondiente en el dominio.
- 📐 El dominio natural de una función dada por una fórmula es el conjunto de x para los cuales la fórmula es definida.
- 🈲 El dominio de la función raíz de X es [0, ∞) ya que no se puede calcular la raíz de números negativos en los reales.
- ➗ El dominio de la función 1/x es (-∞, 0) ∪ (0, ∞), ya que la función no está definida en x = 0.
- 📈 La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados (x, F(x)) representados en el plano cartesiano.
- 📉 Las funciones lineales se representan por rectas en el plano cartesiano y dependen de parámetros m (pendiente) y b (intercepto y).
- 📊 Las parábolas tienen formas simétrricas y pueden tener concavidad positiva o negativa.
- 📚 Los polinomios de grado cuatro pueden cambiar su tendencia de creciente/decreciente y su concavidad varias veces.
- 📑 Funciones definidas por partes muestran diferentes comportamientos en diferentes intervalos de su dominio.
Q & A
¿Qué es una función F de un conjunto D llamado dominio a otro conjunto Y llamado codominio?
-Una función F es una regla que asigna a cada elemento X en D un único elemento f(X) en Y. Esto significa que todos los elementos del dominio están relacionados con algún elemento del codominio, pero no necesariamente al revés.
¿Cómo se representa una función en términos de diagramas?
-En términos de diagramas, una función se representa como un conjunto de flechas que conectan cada elemento del dominio con un elemento del codominio, asegurando que cada elemento del dominio esté relacionado con al menos un elemento del codominio.
¿Qué se entiende por rango de una función F?
-El rango de una función F es el conjunto de valores que toma F(X) cuando X varía en el dominio. En notación de conjuntos, el rango de F es el conjunto {f(X) en Y | X está en D}.
¿Cuál es la diferencia entre el dominio natural y el dominio de una función dada por una fórmula?
-El dominio natural de una función dada por una fórmula es el conjunto de valores de X para los cuales la fórmula tiene sentido matemático, mientras que el dominio de una función específica puede ser más restrictivo, dependiendo de las condiciones impuestas en el problema.
¿Por qué no se puede tomar la raíz de un número negativo en los números reales?
-No se puede tomar la raíz de un número negativo en los números reales porque la definición de raíz cuadrada en el sistema de números reales no incluye números negativos bajo la raíz.
¿Cuál es el dominio y el rango de la función raíz cuadrada de (4 - X)?
-El dominio de la función raíz cuadrada de (4 - X) es el intervalo [-2, 2], ya que 4 - X debe ser no negativo. El rango es [0, infinito), ya que la raíz cuadrada de un número no negativo siempre es no negativa.
¿Cómo se determina el dominio de la función 1/X?
-El dominio de la función 1/X es todos los números reales excepto 0, ya que el denominador de una fracción no puede ser cero.
¿Qué es una gráfica de una función y cómo se representa en el plano cartesiano?
-La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados (X, f(X)) con X en el dominio, que se representan en el plano cartesiano como puntos que, cuando se conectan, forman una curva o línea que representa la función.
¿Cuál es la diferencia entre una función lineal y una función cuadrática en términos de su gráfica?
-La gráfica de una función lineal es una recta, mientras que la gráfica de una función cuadrática es una parábola. Las rectas son líneas直的, y las parábolas son curvas que se abren hacia arriba o hacia abajo.
¿Qué son las funciones definidas por partes y cómo se representan gráficamente?
-Las funciones definidas por partes son aquellas que tienen diferentes expresiones para diferentes intervalos del dominio. Gráficamente, se representan como una gráfica que cambia de una parte a otra en los puntos donde la definición de la función cambia.
¿Cómo se relaciona la pendiente de una recta con la del polinomio cúbico y cuándo cambia la concavidad de estos polinomios?
-La pendiente de una recta es constante y representa la tasa de cambio invariable de la función. En cambio, la pendiente de un polinomio cúbico varía y puede cambiar la concavidad a lo largo de su gráfica, pasando de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa en puntos específicos.
Outlines
📐 Funciones y sus propiedades
Se describe una función F como una regla que asigna un elemento del codominio a cada elemento del dominio. Se explica que no todos los elementos del codominio tienen un elemento correspondiente en el dominio, y se introduce el concepto de rango como el conjunto de valores que toma la función. Se menciona que este curso se centrará en funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los reales. Se discute el dominio natural de una función definida por una fórmula y se ejemplifica con la función raíz de X y la función raíz cuadrada de 4-X. También se explica el dominio y el rango de la función 1/X. Se presenta la gráfica de una función como el conjunto de pares ordenados (x, F(x)) y se ejemplifica con la función x - 2. Se menciona que las gráficas pueden representarse parcialmente y se ilustra con ejemplos de funciones lineales y su comportamiento en términos de pendiente y ángulo con el eje horizontal.
📈 Comportamiento de las funciones
Se explora el comportamiento de las rectas en términos de pendiente positiva y negativa, y cómo esto afecta su crecimiento y decrecimiento. Se describen las parábolas y sus distintas concavidades, así como los polinomios cúbicos y su comportamiento en el dominio y rango. Se mencionan las funciones por partes, con ejemplos de cómo varía su comportamiento (creciente, decreciente, cóncava, etc.) dependiendo del intervalo de definición. Se discute la importancia de las discontinuidades en las gráficas de las funciones.
🔢 Funciones racionales y otras formas
Se definen las funciones racionales y se muestra un ejemplo de su gráfica con asíntotas. Se presentan las funciones potencias fraccionales como x elevado a la 2/3 y x a la 1/2, y se describen sus propiedades de dominio, rango y comportamiento en términos de crecimiento y concavidad. También se mencionan las funciones impares y pares, y se ejemplifica con la raíz cúbica de x. Se discuten las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, con énfasis en sus características y gráficas.
📘 Funciones logarítmicas
Se mencionan brevemente las funciones logarítmicas, dando ejemplos de logaritmo base 2, logaritmo natural y logaritmo base 3, sin entrar en detalles sobre sus propiedades o gráficas.
Mindmap
Keywords
💡Función
💡Dominio
💡Codominio
💡Rango
💡Diagrama
💡Polinomios
💡Lineal
💡Cuadrática
💡Cubica
💡Racional
💡Trigonométrica
💡Exponencial
💡Logarítmica
Highlights
Definición de una función F como una regla que asigna a cada elemento X en el dominio un único elemento en el codominio.
Representación de funciones en diagramas donde cada elemento del dominio está relacionado con un elemento del codominio.
El rango de una función F es el conjunto de valores que toma F(x) cuando x varía en el dominio.
Ejemplo de rango de una función: conjunto conformado por y1, y2, y3.
Funciones donde el dominio y codominio son subconjuntos de ℝ.
Dominio natural de F descrito por una fórmula y su interpretación en el contexto de los números reales.
Ejemplo de dominio y rango de la función raíz de X.
Explicación del dominio de la función raíz cuadrada de (4 - x) y su intervalo de definición.
Definición del dominio de la función 1/x y su rango.
Representación gráfica de la función x - 2, mostrando cómo evaluar la función en puntos específicos.
Representación de funciones por tablas y su visualización gráfica.
Catálogo de funciones lineales y su forma algebraica y gráfica.
Análisis del comportamiento de la pendiente en funciones lineales y su impacto en el gráfico.
Definición y gráfica de funciones cuadráticas y su concavidad.
Ejemplo de polinomio cúbico y su comportamiento en el dominio y rango.
Funciones polinomiales de grado cuatro y su comportamiento cambiante en el gráfico.
Definición de funciones por partes y su representación gráfica.
Discusiones sobre discontinuidades en funciones definidas por partes y su representación en el gráfico.
Funciones racionales y su forma algebraica y gráfica con asíntotas.
Funciones potenciales fraccionarias y su comportamiento en el dominio y rango.
Funciones trigonométricas y sus gráficas fundamentales.
Funciones exponenciales y su creciente y cóncava hacia arriba.
Funciones logarítmicas y sus gráficas con base diferente.
Transcripts
una función F de un conjunto d llamado
dominio a otro conjunto y llamado
codominio es una regla que asigna a cada
elemento X en D un único elemento f dex
en y en términos de diagramas se puede
ver como sigue tenemos dos conjuntos d y
y y a cada elemento de D le vamos a
asignar un elemento de y todos los
elementos del dominio están relacionados
con algún elemento del codominio pero no
al revés hay elementos del codominio que
no tienen asignado ningún elemento del
dominio el rango de una función F es el
conjunto de los valores que toma F dex
cuando x varía en notación de conjuntos
el rango de F es el conjunto f dex en y
tales que x está en
D por ejemplo en este conjunto y el
rango está conformado por y1 y2 y3 no
está en el rango en este curso vamos a
trabajar principalmente con funciones
cuyo dominio y codominio son ambos
subconjuntos de r cuando F se describe
por una fórmula El dominio natural de F
es el conjunto de las x para las cuales
la fórmula tiene sentido Por ejemplo la
función raíz de X tiene como dominio de
0 a infinito pues no existe la raíz de
números negativos en los números reales
y el rango también es el intervalo de 0
a
infinito la función raíz cuadrada de 4 -
x cu tiene como dominio los números de
-2 a 2 pues para las X en este intervalo
4 - x cu cae en el intervalo 0 a
infinito y por lo tanto la raíz
existe la función 1 / x está definida
para todos los números excepto para el 0
por lo tanto El dominio es de - infinito
com0 Unión 0 infinito y el rango es el
mismo
la Gráfica de una función es el conjunto
de pares ordenados x F dex con x en D
que representamos en el plano
cartesiano aquí tenemos por ejemplo la
Gráfica de la función x cu - x -
2 este punto tiene
coordenadas
-2,4 lo cual nos indica que la función
evaluada en -2 es igual a 4 como podemos
ver si sustituimos -2 en esta expresión
Lo mismo sucede con este punto que tiene
coordenadas
1-1 Pues si sustituimos el 1 en esta
expresión obtenemos
-1 Observa que podemos sustituir
cualquier número real en esta
expresión Así que solamente estamos
expresando una parte de toda la Gráfica
de esta
función otro ejemplo es la función
correspondiente a una recta en este caso
x + 1 aquí en
-1 la función evaluada da cer0 por eso
está este punto incluido en la Gráfica
de la función en uno por ejemplo la
función da
dos El dominio de la función es todos
los números reales el rango también es
todos los números
reales aquí solamente estamos
representando una parte de la Gráfica de
la función también representamos
funciones por tablas Por ejemplo si
tenemos un año y la población mundial en
millones por ejemplo en 1900 hubo 150
millones de habitantes también podemos
ver eso
gráficamente se suele unir los datos en
coordenadas por líneas rectas para tener
una trayectoria de los datos enseguida
vamos a ver un catálogo de funciones
dadas por
expresiones por ejemplo las funciones
lineales están dadas por esta
forma aquí m y b van a ser dos
parámetros
reales es decir los vamos a sustituir
por números reales las gráficas de las
funciones lineales son rectas el
parámetro B indica donde la recta corta
el eje y el parámetro M es la tangente
del ángulo formado por la
recta con la
horizontal veamos un poco mejor el
comportamiento de la pendiente haciendo
el parámetro B ig a 0 una recta
dependiente igual a 1 es de esta
forma el ángulo formado con la
horizontal es de 45 gr o bien pi sobre 4
radi
aquí tenemos la recta de pendiente igual
a dos el ángulo formado con la
horizontal es mayor de 45
gr ahora tenemos la recta de pendiente
igual a 1/2 el ángulo formado con la
horizontal es menor de 45 gr las rectas
de pendiente positiva son crecientes si
la vemos de izquierda a derecha las
rectas con pendiente negativa son
decrecientes el ángulo formado con la
horizontal por esta recta es de 135
gr observa la posición relativa de la
recta con pendiente igual a -2 con
respecto a la recta de pendiente igual a
-1 ahora la recta con pendiente igual a
-
1/2 las parábolas tienen esta
forma aquí A B y C son parámetros reales
es decir lo sustituimos por números
reales también decimos que estas
funciones son las
cuadráticas las gráficas de las
funciones cuadráticas es decir las
parábolas tienen esta
forma Aquí vemos la Gráfica de la
función y = x cu su dominio es todos los
números
reales su Rango es de cer0 a infinito
incluyendo el
cero decimos que esta función es par
porque cumple con que F de - X es igual
a f dex por ejemplo F de -1 es igual a f
de1 aquí vemos una parábola con
concavidad positiva y aquí vemos una
parábola con concavidad negativa los
polinomios cúbicos tienen esta forma
aquí tenemos la Gráfica del polinomio
cúbico y = x cúbica su es todos los
números reales y Su Rango
también siempre es
creciente de menos infinito hasta 0 es
cóncava hacia abajo y de cer a infinito
es cóncava hacia
arriba aquí tenemos otro polinomio
cúbico su dominio y Rango son el
conjunto de los números reales
esta función primero es
decreciente luego
creciente y luego
decreciente también primero es cóncava
hacia arriba en algún momento cambia su
concavidad y es cóncava hacia
abajo los polinomios de grado cuatro
tienen esta forma aquí las letras a
b c d y e son parámetros
reales el polinomio y = x a la
cuarta tiene como gráfica algo parecido
a una parábola pero no es una
parábola como podemos ver en esta
comparación con la función y = x cu
observemos como x a la cuart es más alta
que x
cu un polinomio de grado cuatro puede
tener esta forma primero ser decreciente
luego creciente nuevamente decreciente y
finalmente creciente también primero
tener concavidad positiva luego
concavidad negativa luego concavidad
positiva también podemos definir
funciones por partes por ejemplo esta
función vale 1
si x es menor que
-1 vale x cu si x está entre -1 y 2 y
vale 6 - x si x Es mayor que
2 la Gráfica de esta función queda Como
se muestra para X Men que
-1 y vale
1 para x -1 y 2 tenemos la parábola y =
x cu y para x mayor que 2 tenemos la
recta 6 - x también vemos que primero no
es ni creciente ni decreciente ni
cóncava hacia arriba ni cóncava hacia
abajo luego es decreciente cóncava hacia
arriba después creciente y sigue siendo
cóncava hacia arriba y luego decreciente
y ya no es ni cóncava hacia arriba ni
cóncava hacia abajo aquí tenemos otro
ejemplo de una función definida por
partes su gráfica presenta lo que
conocemos como discontinuidades en estas
partes veámoslo con más detalle para x
menor o igual que 1 tenemos el polinomio
cúbico X c + 3x cu ese polinomio cúbico
en 1 vale 4 el igual en la expresión x
menor o igual que 1
nos indica que el punto
1,4 sí está incluido en esta parte de la
Gráfica la siguiente parte de la Gráfica
es una línea recta 1 -
2x la línea recta evaluada en uno vale
-1 este
punto pero al no haber un igual en la
expresión x May 1 el punto 1 com-1 no
está incluido en esta parte de la
Gráfica por eso ponemos un círculo
abierto el punto x = 2 tampoco está
incluido en en expresión X Men que 2 por
eso el punto
2-3 tampoco se incluye en esta parte de
la Gráfica Por eso hay un círculo
abierto sin embargo el punto x = 2 sí
está incluido en este
expresión x mayor o igual que men que 2
si evaluamos 2 en la expresión - x cu +
4x obtenemos
4 por lo tanto este punto el punto
24 si está incluido en esta parte de la
Gráfica las funciones racionales tienen
la forma FX = pdx sobre qdx donde pdx y
qdx son polinomios
Aquí vemos por ejemplo la Gráfica de
esta función racional que tiene tres
asíntotas una horizontal y dos
verticales También tenemos las funciones
que son x elevado a una potencia
fraccional la función y = x a la 2/3
tiene como dominio todos los números
reales su Rango es de 0 a infinito
incluyendo el cer0 es decreciente de
menos infinito a 0 y creciente de 0 a
infinito es cóncava hacia abajo en todos
los números reales también es una
función par ahora tenemos la función y =
a raíz cuadrada de x o x a la 1/2 su
dominio es de 0 a infinito incluyendo el
0 su Rango también es de cero a infinito
también incluyendo al cer0 es una
función creciente y cóncava hacia abajo
en todo su dominio También tenemos la
función raíz cúbica de x o x a la 1/3
siempre es
creciente primero es cóncava hacia
arriba y luego cóncava hacia abajo Esta
es una función impar porque F de - X es
igual -
FX También tenemos funciones que son x
elevados a una potencia negativa por
ejemplo y = 1 x o x a
la-1 esta gráfica presenta dos asíntotas
una horizontal y una
vertical aquí tenemos la forma de la
función 1 x cu o x a
la-2 las funciones trigonométricas son
muy importantes en las aplicaciones aquí
tenemos la Gráfica de la función seno de
X y también la Gráfica de la función
coseno de X de no menor importancia son
las funciones exponenciales aquí tenemos
la función y = 3 a la x que es siempre
creciente y cóncava hacia arriba También
tenemos la función y = e a la
x y la función y = 2 a la
x una característica de la función y = a
e a la x Es que la pendiente de la recta
tangente a esa función en el punto x = 0
es 1 si ante ponemos un signo negativo a
la variable las funciones cambian de ser
crecientes a ser
decrecientes finalmente tenemos las
gráficas de las funciones logarítmicas
está la de del logaritmo base 2 de X la
del logaritmo natural y la de logaritmo
base 3 de X
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