Funciones reales de variable real

Summary

El guion trata sobre las funciones matemáticas, definiendo dominio y codominio, y explicando el rango. Se describen gráficas de funciones y cómo se ven en el plano cartesiano, incluyendo ejemplos de lineales, cuadráticas, cúbicas y de grado cuatro. También se mencionan funciones por partes y racionales, así como las propiedades de funciones potencias, fraccionarias, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, destacando sus características y comportamientos.

Takeaways

• 🔢 Una función F es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto dominio (D) un único elemento en el conjunto codominio (Y).
• 📊 El rango de una función F es el conjunto de valores que toma F(x) cuando x varía en D.
• 🚫 Algunos elementos del codominio pueden no tener un elemento correspondiente en el dominio.
• 📐 El dominio natural de una función dada por una fórmula es el conjunto de x para los cuales la fórmula es definida.
• 🈲 El dominio de la función raíz de X es [0, ∞) ya que no se puede calcular la raíz de números negativos en los reales.
• ➗ El dominio de la función 1/x es (-∞, 0) ∪ (0, ∞), ya que la función no está definida en x = 0.
• 📈 La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados (x, F(x)) representados en el plano cartesiano.
• 📉 Las funciones lineales se representan por rectas en el plano cartesiano y dependen de parámetros m (pendiente) y b (intercepto y).
• 📊 Las parábolas tienen formas simétrricas y pueden tener concavidad positiva o negativa.
• 📚 Los polinomios de grado cuatro pueden cambiar su tendencia de creciente/decreciente y su concavidad varias veces.
• 📑 Funciones definidas por partes muestran diferentes comportamientos en diferentes intervalos de su dominio.

Q & A

¿Qué es una función F de un conjunto D llamado dominio a otro conjunto Y llamado codominio?

Una función F es una regla que asigna a cada elemento X en D un único elemento f(X) en Y. Esto significa que todos los elementos del dominio están relacionados con algún elemento del codominio, pero no necesariamente al revés.

¿Cómo se representa una función en términos de diagramas?

En términos de diagramas, una función se representa como un conjunto de flechas que conectan cada elemento del dominio con un elemento del codominio, asegurando que cada elemento del dominio esté relacionado con al menos un elemento del codominio.

¿Qué se entiende por rango de una función F?

El rango de una función F es el conjunto de valores que toma F(X) cuando X varía en el dominio. En notación de conjuntos, el rango de F es el conjunto {f(X) en Y | X está en D}.

¿Cuál es la diferencia entre el dominio natural y el dominio de una función dada por una fórmula?

El dominio natural de una función dada por una fórmula es el conjunto de valores de X para los cuales la fórmula tiene sentido matemático, mientras que el dominio de una función específica puede ser más restrictivo, dependiendo de las condiciones impuestas en el problema.

¿Por qué no se puede tomar la raíz de un número negativo en los números reales?

No se puede tomar la raíz de un número negativo en los números reales porque la definición de raíz cuadrada en el sistema de números reales no incluye números negativos bajo la raíz.

¿Cuál es el dominio y el rango de la función raíz cuadrada de (4 - X)?

El dominio de la función raíz cuadrada de (4 - X) es el intervalo [-2, 2], ya que 4 - X debe ser no negativo. El rango es [0, infinito), ya que la raíz cuadrada de un número no negativo siempre es no negativa.

¿Cómo se determina el dominio de la función 1/X?

El dominio de la función 1/X es todos los números reales excepto 0, ya que el denominador de una fracción no puede ser cero.

¿Qué es una gráfica de una función y cómo se representa en el plano cartesiano?

La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados (X, f(X)) con X en el dominio, que se representan en el plano cartesiano como puntos que, cuando se conectan, forman una curva o línea que representa la función.

¿Cuál es la diferencia entre una función lineal y una función cuadrática en términos de su gráfica?

La gráfica de una función lineal es una recta, mientras que la gráfica de una función cuadrática es una parábola. Las rectas son líneas直的, y las parábolas son curvas que se abren hacia arriba o hacia abajo.

¿Qué son las funciones definidas por partes y cómo se representan gráficamente?

Las funciones definidas por partes son aquellas que tienen diferentes expresiones para diferentes intervalos del dominio. Gráficamente, se representan como una gráfica que cambia de una parte a otra en los puntos donde la definición de la función cambia.

¿Cómo se relaciona la pendiente de una recta con la del polinomio cúbico y cuándo cambia la concavidad de estos polinomios?

La pendiente de una recta es constante y representa la tasa de cambio invariable de la función. En cambio, la pendiente de un polinomio cúbico varía y puede cambiar la concavidad a lo largo de su gráfica, pasando de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa en puntos específicos.