Clases de funciones
Summary
TLDREl guion del video presenta una introducción a seis tipos de funciones matemáticas comunes: constante, lineal, cuadrática, polinomial, exponencial y logarítmica. Se describe brevemente su dominio y rango, y se ilustra cómo se grafican. La función constante tiene un rango único, mientras que las lineales y cuadráticas tienen un dominio y rango de números reales. Las funciones polinomiales pueden tener múltiples intersecciones en el eje x y su dominio y rango son todos los números reales. Las exponenciales tienen un rango desde cero hasta el infinito y un dominio de todos los números reales, mientras que las logarítmicas solo aceptan valores positivos en el dominio y tienen un rango de todos los números reales.
Takeaways
- 📐 La función constante es una que toma un valor fijo, independientemente del valor de x, y su gráfica es una línea horizontal.
- 📈 El dominio de la función constante es todos los números reales, y su rango es un solo valor constante.
- 🔍 La función lineal es de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el intercepto con el eje y.
- 📉 El dominio y el rango de la función lineal son todos los números reales, lo que significa que puede tomar cualquier valor.
- 📚 La función cuadrática es de la forma y = ax^2 + bx + c, y su gráfica es una parábola que puede abrir hacia arriba o hacia abajo.
- 🔺 El dominio de la función cuadrática es todos los números reales, pero su rango depende de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
- 📊 Una función polinomial puede tener varios términos y grados, y su gráfica puede tener varios puntos de intersección con el eje x.
- 🔄 El dominio y el rango de las funciones polinomiales son todos los números reales, permitiendo una variedad de valores para y.
- 📈 La función exponencial es de la forma y = a^x, donde 'a' es una constante mayor que cero y no igual a uno, y su gráfica es una curva creciente.
- 🔝 El dominio de la función exponencial es todos los números reales, y su rango es desde cero hasta más infinito.
- 🔍 La función logarítmica es de la forma y = log_a(x), y su gráfica es una curva que se asienta en el eje y, con un dominio de valores positivos para x.
- 📉 El rango de la función logarítmica es todos los números reales, lo que significa que puede tomar cualquier valor para y.
Q & A
¿Qué es una función constante y cómo se representa gráficamente?
-Una función constante es aquella en la que el valor de la función 'f(x)' es un número fijo 'c', independientemente del valor de 'x'. Gráficamente, se representa como una recta horizontal que intersecta el eje y en el valor 'c'.
¿Cuál es el dominio y el rango de una función constante?
-El dominio de una función constante son todos los números reales, ya que 'x' puede tomar cualquier valor. El rango es el conjunto de un solo valor, que es la constante 'c' que toma la función.
Define la función lineal y describe su gráfica.
-Una función lineal es del tipo 'f(x) = mx + b', donde 'm' es la pendiente y 'b' es el intercepto en el eje y. Su gráfica es una línea recta que puede ser ascendente o descendente según el valor de 'm'.
¿Cómo varía el dominio y el rango de una función lineal?
-El dominio de una función lineal es todos los números reales, ya que 'x' no tiene restricciones. El rango también es todos los números reales, ya que la función puede tomar cualquier valor 'y'.
Explique brevemente qué es una función cuadrática.
-Una función cuadrática es del tipo 'f(x) = ax^2 + bx + c'. Su gráfica es una parábola que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de 'a'.
¿Cómo se determina el rango de una función cuadrática?
-El rango de una función cuadrática varía según el signo de 'a'. Si 'a' es positivo, el rango es desde el valor mínimo 'b' hasta el infinito. Si 'a' es negativo, el rango es desde el infinito negativo hasta el valor máximo 'b'.
Describe cómo se grafican las funciones polinomiales y sus posibles intersecciones con el eje x.
-Las funciones polinomiales se grafican como curvas que pueden tener múltiples intersecciones con el eje x, dependiendo del grado del polinomio. Por ejemplo, un polinomio de grado 3 puede tener hasta 3 intersecciones con el eje x.
¿Cuál es el dominio y el rango de una función polinomial?
-El dominio de una función polinomial es todos los números reales, y el rango también es todos los números reales, a menos que la función tenga raíces que cambien este rango.
Define la función exponencial y describe su comportamiento gráfico.
-Una función exponencial es del tipo 'f(x) = a^x', donde 'a' es una constante mayor que cero y no igual a uno. Su gráfica es una curva que nunca toca el eje x y crece exponencialmente, siendo siempre positiva.
¿Cómo se determina el dominio y el rango de una función exponencial?
-El dominio de una función exponencial es todos los números reales. El rango es desde cero hasta el infinito, ya que la función siempre da valores positivos.
Explique brevemente qué es una función logarítmica y su gráfica.
-Una función logarítmica es del tipo 'f(x) = log_a(x)', donde 'a' es la base del logaritmo. Su gráfica es una curva que intersecta el eje y en el valor 1 y crece de manera decreciente cuando 'x' aumenta.
¿Cuál es el dominio y el rango de una función logarítmica?
-El dominio de una función logarítmica es todos los números reales positivos, ya que 'x' debe ser mayor que cero. El rango es todos los números reales, ya que la función puede tomar cualquier valor 'y'.
Outlines
📚 Introducción a las Funciones Matemáticas
El primer párrafo introduce seis tipos de funciones matemáticas comunes y destaca la importancia de entender su dominio y rango, así como cómo se grafican. Se mencionan brevemente las funciones constante, lineal y cuadrática, y se describe cómo se grafican de manera básica. La función constante, por ejemplo, se grafica como una línea horizontal, y se explica que su dominio es de -∞ a +∞, mientras que su rango es un único valor constante. Las funciones lineales y cuadráticas se describen de manera similar, con énfasis en su dominio y rango.
📈 Características de Funciones Polinomiales, Exponenciales y Logarítmicas
El segundo párrafo se enfoca en las funciones polinomiales, exponenciales y logarítmicas, explicando cómo se grafican y sus propiedades. Las funciones polinomiales se describen con ejemplos como x^2 + 1, y se grafican con intersecciones en el eje x. Las funciones exponenciales, como e^x, se grafican como crecientes y nunca tocan el eje x, con un dominio de -∞ a +∞ y un rango de [0, +∞). La función logarítmica se grafica como una curva que solo toma valores positivos en el dominio y cualquier valor real en el rango, lo que contrasta con la función exponencial.
📘 Resumen de Funciones Especiales y sus Propiedades
El tercer párrafo proporciona un resumen de las funciones mencionadas y sus propiedades, destacando el dominio y rango de cada una. Se enfatiza que, a pesar de que las funciones pueden ser complejas, es suficiente tener un esbozo de su grafica y conocimiento básico de sus propiedades para comprenderlas mejor. Se sugiere que en futuras lecciones se profundizará en cada tipo de función para una comprensión más detallada.
Mindmap
Keywords
💡Función constante
💡Dominio
💡Rango
💡Función lineal
💡Función cuadrática
💡Parábola
💡Función polinomial
💡Función exponencial
💡Función logarítmica
💡Esquema gráfico
Highlights
Se presentarán seis tipos de funciones comunes en las matemáticas.
Se discutirán el dominio y rango de cada función, además de cómo se realiza su esbozo gráfico.
La función constante es aquella donde f(x) es un valor fijo c, independientemente de x.
La gráfica de una función constante es una recta horizontal.
El dominio de la función constante es todos los números reales.
El rango de la función constante es un único valor, c.
La función lineal es del tipo f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b el intercepto.
El dominio y rango de la función lineal son todos los números reales.
La función cuadrática se expresa como f(x) = ax^2 + bx + c y su gráfica es una parábola.
El dominio de la función cuadrática es todos los números reales, pero el rango depende de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
La función polinomial tiene intersecciones en el eje x y su gráfica puede ser esbozada con curvas que pasan por estos puntos.
El dominio y rango de la función polinomial son todos los números reales.
La función exponencial es del tipo f(x) = a^x, donde a es una constante mayor que cero.
La gráfica de la función exponencial es una cinta que nunca toca el eje x y es siempre creciente.
El dominio de la función exponencial es todos los números reales, y su rango es desde cero hasta más infinito.
La función logarítmica es del tipo f(x) = log_a(x), donde a es la base del logaritmo.
La gráfica de la función logarítmica es similar a una parábola pero invertida y ubicada en el lado izquierdo del eje y.
El dominio de la función logarítmica es desde cero hasta más infinito, y su rango es todos los números reales.
Transcripts
ahora vamos a ver algunas funciones que
son muy especiales y que en realidad son
las más comunes dentro de las
matemáticas que son las siguientes
vamos a ver seis tipos de funciones y
vamos a mostrar cuál es su dominio y su
rango además de cómo se realiza un
esbozo de su gráfica ya que una gráfica
más a la perfección se puede lograr
cuando tengamos herramientas del cálculo
como lo son la derivada pero por el
momento simplemente vamos a dar algunos
esbozos entonces de esas primeras
funciones que vamos a tener son las
siguientes tenemos la función constante
la función lineal y la función
cuadrática entonces vamos a mostrar más
o menos cuáles son sus propiedades
entonces qué es una función constante
simplemente es una función que llegó a
la fx donde simplemente está f x va a
ser un c éste se va a hacer cualquier
número por ejemplo una función de ese
tipo puede ser igual a 2
si nosotros tenemos ya igualados lo que
hacemos es lo siguiente ubicamos el 2
es simplemente es una recta horizontal
de esta manera
esta va a ser la gráfica de esta función
que igualados de esta que escribimos
aquí para cualquier c
hacemos lo mismo es decir si es igual a
menos 3 sería algo por aquí una recta
y entonces observemos lo siguiente
recuerden que nosotros siempre miramos
cuál es su dominio y cuál es su rango
entonces el valor del dominio
entonces el dominio serial los valores
que puede tomar la equis que es la
variable independiente observen la
variable independiente puede tomar
cualquier valor observen que aquí x
puede tomar cualquier valor no hay
ningún tipo de restricción que lo
prohíba
ahora
entonces vamos a tener que el dominio de
esta función va a ser igual a todos los
números reales o escrito en forma de
intervalo
el dominio simplemente va a ser igual a
menos infinito hasta infinito este va a
ser el dominio de esta función constante
ahora cuál sería el rango recuerden que
el rango son los valores que puede tomar
pero qué valores puede tomar de aquí
observen que ya el único valor que va a
tomar es el valor de esa constante es
decir si nosotros tomamos una función
constante su rango va a ser simplemente
ese valor sé
en nuestro caso el único valor que podía
tomar era 2
ahora entonces observamos cuáles son las
propiedades más o menos básicas de esta
función constante ahora vamos con la
función lineal que lo que llamaremos la
línea recta simplemente es una función
del tipo y igual a mx + b
más adelante trabajaremos esto donde m
es la pendiente y b es el interfecto con
el eje y es decir con este es decir por
aquí va a estar este valor me que eso
simplemente va a ser una recta
dependiendo de si está pendiente es
decir este dispositivo negativa va a ser
hacia este lado o hacia hacia este otro
lado
sin embargo
eso lo veremos más adelante ahora que
nos interesa nos interesa lo siguiente
cuál va a ser el dominio de esta función
sin importar cuáles sean los valores de
m&b que se observen qué valores puede
tomar aquí la equis observen que puede
tomar cualquier valor si nosotros
tenemos un valor de x podemos darle el
valor a la función no hay ningún tipo de
restricción es decir este dominio van a
ser los números reales
que como lo dijimos también lo podemos
escribir como el intervalo de menos
infinito hasta infinito ahora cuál va a
ser el rango qué valores puede tomar ya
observen que aquí ya también puede tomar
cualquier tipo de valor
tampoco hay algo que se lo prohíba
entonces el rango de esta función
nuevamente van a ser los números reales
ahora vamos a ver la función cuadrática
la función cuadrática simplemente va a
expresarse como ye igual a 1 x 2 + b
observen simplemente es la x al cuadrado
y nuestra gráfica va a ser
aproximadamente lo siguiente
donde que vamos a tener vamos a tener
que esta función va a abrir hacia arriba
si está expositiva y hacia abajo si es
negativo también eso lo veremos más
adelante pero observemos lo siguiente si
tenemos la gráfica de esto que es esta
función cuadrática que simplemente va a
ser una parábola también lo veremos más
adelante
vamos a tener lo siguiente cuál sería su
dominio observen que el dominio de esta
función sería los valores que puede
tomar x pero observen x aquí puede tomar
cualquier valor es decir nuevamente el
dominio de esta función son los números
reales pero ahora observen el rango que
valores puede tomar ya que se observen
que sólo puede tomar de aquí hacia
arriba pero ya que hacia arriba que
valores serán pues éste ya que va a ser
el interfecto con el eje y es decir éste
b va a ser éste interceptó aquí con el
eje y entonces los valores que puede
tomar esta función cuadrática en el
rango son y dan lo siguiente sería desde
aquí hacia adelante es decir sería desde
b hasta más infinito
y además puede tomar estévez es decir
desde b hasta más infinito si la
parábola abre hacia arriba si nosotros
tenemos una parábola que abra hacia
abajo por decir ésta
entonces lo que vamos a tener lo
siguiente que este rango cuál sería que
sería desde menos infinito hasta estévez
observen que aquí va a variar mucho
dependiendo de si la parábola abrir
hacia arriba o hacia abajo eso también
lo vamos a ver en vídeos posteriores
ahora aquí tenemos tres tipos de
funciones ahora vamos a ver otros tres
tipos de funciones que van a ser los
siguientes
vamos a tener las siguientes funciones
la función polinomio a la exponencial y
la logarítmica ahora vamos a hacer lo
mismo que hicimos para las anteriores
simplemente que es una función
polinomiales simplemente es de una
función ya que va a ser igual a fx y
esta función simplemente va a ser un
polinomio especial por ejemplo x
cuadrado más uno o por ejemplo x a la 3
- x + 1 entonces estas funciones se van
a graficar de la siguiente manera
tenemos que estas funciones por ser
polinomio van a tener unos interfectos
en el eje x
ahora vamos a tener lo siguiente estos
van a tener unos interfectos por decir
estos tres porque van a ser tres porque
los interfectos van a ser máximo el
valor que tengamos aquí en el exponente
del polinomio entonces si tenemos estos
tres interfectos simplemente vamos a
hacer lo siguiente tomamos un valor
anterior a este primero y lo que hacemos
es pasar curvas que pasen por estos
puntos es decir si aquí nos da positivo
entonces bajamos una curva que va y
luego pasa por este punto y sube y luego
baja por este punto observen simplemente
nos da esto aquí ahora si tuviéramos una
que empezara por este lado negativo es
simplemente sube luego baja y luego
vuelve y sube
y este sería un esbozo de esa gráfica
ahora entonces cuál será el dominio si
tenemos esta gráfica este tipo pues
observen el dominio hacer los valores
que pueda tomar x pero aquí x puede
tomar cualquier tipo de valor es decir
el dominio en hacer los números reales
ahora qué rango puede tomar el rango son
los valores que puede tomar pero si nos
damos cuenta de aquí hacia adelante
podemos tomar cualquier valor de g y
aquí también es decir también van a ser
los números reales
ahora vamos con esta función que es la
función exponencial la función
exponencial simplemente es la función de
igual a la equis
observen ésta es una función exponencial
que si queremos le podemos agregar aquí
constantes que eso veremos más adelante
cómo influye pero la función exponencial
simplemente la función era la x donde
representa el número de euler que es
2,71 y un poco de números aquí recuerden
que este número es un número irracional
entonces si tenemos esta función esta
función se gráfica de la siguiente
manera tenemos algo así
es decir nunca va a tocar este eje
porque este va a ser una cinta y siempre
va a ser y siempre va a ser creciente
cervantes este intersectó siempre va a
ser uno si tenemos esta función
ahora cuál va a ser el dominio de esta
función observen que el dominio son los
que puede tomar x que son todos los
números reales ahora cuál sería el rango
el rango son los que puede tomar pero
observen que ya se lo puede tomar estos
valores positivos es decir simplemente
va a ser desde cero hasta más infinito
de esta manera que a un esbozo de esta
función exponencial
ahora la función logarítmica que
simplemente sea igual a logaritmo en
base a algo de x
es observen si tenemos esta función esta
función se va a graficar de la siguiente
manera va a ser así
que simplemente va a ser como esta pero
ubicada en este lado
observen lo siguiente cuál va a ser el
dominio de esta función si lo ven qué
valores puede tomar x observen que sólo
puede tomar valores positivos es decir
de cero hasta infinito pero la ye que
valores puede tomar la se puede tomar
cualquier tipo de valor es decir el
rango va a ser todos los reales observen
que es lo contrario que tenemos aquí en
la función exponencial
de esta manera tenemos entonces unos
tipos de funciones especiales y más
adelante trataremos entonces más
puntualmente cada tipo de función por el
momento es suficiente con que tengamos
un esbozo y que sepamos cuál es su
dominio y su rango
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