44. Integral de una función trigonométrica elevada a exponente (completando derivada)
Summary
TLDREn este vídeo de matemáticas, se explica cómo resolver una integral del tipo coseno de 4x elevado a un exponente. El presentador utiliza la fórmula de 'b a la n por d b' para abordar la integral, detallando cada paso del proceso, incluyendo la derivación de términos trigonométricos. Se subraya la importancia de organizar los términos y usar correctamente los coeficientes agregados. Al final, se invita a los espectadores a intentar resolver una integral similar por su cuenta y se les anima a suscribirse para más contenido educativo.
Takeaways
- 📐 La integral a resolver es el coseno de 4x por seno de 4x elevado al cubo.
- 🔄 No se debe intentar integrar directamente como una función de coseno o seno, ya que el exponente complica el proceso.
- 📏 Al trabajar con expresiones elevadas a un exponente, es útil aplicar la fórmula de potencia b^n * db.
- 📉 En este caso, b será 1 - seno de 4x, y se debe derivar esta expresión para aplicar la fórmula.
- 🔧 La derivada de 1 - seno de 4x es -4 * coseno de 4x.
- 🔍 Para que la integral sea correcta, se debe incluir el factor de -4 dentro de la integral, ya que es parte de la derivada.
- 📊 Al agregar términos dentro de la integral, se deben compensar fuera de la integral para no alterar la expresión original.
- ➗ Tras realizar los ajustes, se obtiene la integral inicial con el factor 1/4 fuera de la integral.
- 📈 Al aplicar la fórmula, el resultado final es (1 - seno de 4x)^4 / 16 más la constante de integración.
- 💡 Se recomienda que los espectadores practiquen otra integral similar, aplicando los mismos principios para mejorar su comprensión.
Q & A
¿Cuál es la integral que se resuelve en el video?
-La integral que se resuelve es la integral de coseno de 4x por 10 de 4x elevado al cubo por dx.
¿Por qué no se puede resolver la integral directamente como una integral de coseno o seno?
-No se puede resolver directamente como una integral de coseno o seno porque la expresión está elevada a un exponente, lo que requiere el uso de la fórmula de b^n y su derivada, en lugar de una simple integración de funciones trigonométricas.
¿Qué indica la fórmula b^n db?
-La fórmula b^n db se utiliza para resolver integrales en las que una función está elevada a una potencia. En este caso, 'b' es la función dentro del paréntesis que está elevada al exponente, y 'db' es la derivada de esa función.
¿Cuál es la derivada de '1 - seno de 4x'?
-La derivada de '1 - seno de 4x' es -coseno de 4x por 4.
¿Cómo se reorganizan los términos para que la integral se ajuste a la fórmula?
-Se reorganizan los términos colocando primero la potencia, luego el coseno de 4x y el dx, lo que permite aplicar la fórmula b^n db correctamente. También se agregan un signo negativo y un factor de 4 para ajustar la derivada.
¿Qué se debe hacer al agregar términos adicionales dentro de la integral?
-Cuando se agregan términos adicionales dentro de la integral, como el -4, también deben sacarse fuera de la integral para no alterar la expresión original. En este caso, se agrega un -4 dentro y se saca dividiendo fuera de la integral como 1/4.
¿Qué sucede al multiplicar 1/4 por la fracción resultante de la integral?
-Al multiplicar 1/4 por la fracción resultante, se obtiene una fracción final donde el denominador se multiplica por 4, y el resultado final es 1 - seno de 4x elevado a la cuarta potencia, dividido por 16.
¿Cómo se simplifica el resultado de la integral?
-El resultado de la integral se simplifica multiplicando las fracciones, lo que da como resultado 1/16 de (1 - seno de 4x) elevado a la cuarta potencia, más una constante de integración.
¿Cuál es la importancia de incluir la constante de integración?
-La constante de integración es esencial en cualquier resultado de una integral indefinida, ya que representa cualquier posible valor constante que puede haber sido derivado en el proceso.
¿Qué se debe hacer con la segunda integral mencionada en el video?
-La segunda integral mencionada en el video se resuelve utilizando el mismo método de b^n db. En este caso, b es la raíz de x + 6, y se debe recordar que la derivada de la raíz cuadrada de x es 1 sobre 2 veces la raíz de x.
Outlines
📐 Introducción a la integral del coseno de 4x y senos elevados
El video comienza con una introducción a una integral que involucra coseno de 4x y senos elevados al cubo. El narrador destaca que, a primera vista, algunos podrían intentar resolverla como una integral simple de coseno o seno, pero debido a que la función está elevada a un exponente, se sugiere usar la fórmula de integrales para funciones elevadas a una potencia. Explica que la clave es identificar la expresión elevada al exponente y aplicar la fórmula 'b a la n de b'. A lo largo de la explicación, se deriva el seno de 4x para obtener coseno de 4x y proceder con la integración.
🔄 Ajustes en la integral y manipulación de términos
En este párrafo, el narrador detalla cómo ajustar la integral para que se adapte a la fórmula y explica la importancia de agregar y eliminar términos (como el 4 y el signo menos) dentro de la integral. Se enfatiza que cualquier valor agregado dentro de la integral debe ser compensado fuera de ella, dividiendo si se ha multiplicado previamente. Al final, se organiza la expresión adecuadamente y se llega a una versión manipulada de la integral original que ya puede resolverse usando la fórmula inicial.
🧮 Finalización de la integral y simplificación
El tercer párrafo continúa con la integración, aplicando la fórmula 'b a la n'. Se sustituyen valores y se simplifica la expresión. Se concluye que la integral original se resuelve sin necesidad de integrar el coseno o el seno directamente, destacando que la fórmula 'b a la n' era la adecuada. Finalmente, se menciona la constante de integración y se muestran los pasos de simplificación, llegando al resultado final de la integral.
📊 Nueva integral para resolver con raíz cuadrada
El narrador propone una nueva integral para que los espectadores intenten resolverla. Esta vez, la función a integrar involucra una raíz cuadrada de x más 6. Se menciona que, al igual que en el caso anterior, se debe aplicar la fórmula 'b a la n', y se ofrece una pista recordando que la derivada de la raíz cuadrada de x es 1 sobre dos veces la raíz de x. El narrador anima a los espectadores a resolverla por sí mismos y promete mostrar el procedimiento completo en el siguiente video.
Mindmap
Keywords
💡Integral
💡Coseno
💡Exponente
💡Derivada
💡Fórmula de potencia
💡Constante de integración
💡Multiplicación dentro de la integral
💡Cambio de variable
💡Seno
💡Factorización
Highlights
Introducción a la integral de coseno de 4x por seno de 4x elevado al cubo.
Explicación sobre cómo identificar que la integral es del tipo 'b a la n' cuando una expresión completa está elevada a un exponente.
Consejo sobre evitar tratar de integrar directamente como una integral de coseno o seno.
Identificación de 'b' como lo que está dentro del paréntesis (1 - seno de 4x) y su derivada correspondiente.
Importancia de tener la derivada completa de 'b' en la integral para aplicar la fórmula correctamente.
Explicación de cómo acomodar términos para facilitar la aplicación de la fórmula, ajustando la integral según la necesidad.
Procedimiento detallado de cómo agregar y luego sacar términos adicionales de la integral (como el -4) para no alterar la expresión original.
Uso de la fórmula 'b a la n' para resolver la integral tras ajustar correctamente los términos de la expresión.
Multiplicación de fracciones resultantes y simplificación para obtener el resultado final de la integral.
Presentación del resultado final de la integral y explicación de por qué se utilizó la fórmula 'b a la n' en lugar de integrar coseno o seno directamente.
Explicación sobre cómo resolver una integral similar en la que la función está elevada a un exponente, utilizando la raíz de x + 6.
Recordatorio sobre la derivada de la raíz cuadrada y cómo aplicarla en el contexto de la integral dada.
Invitación a los espectadores a intentar resolver la integral presentada por su cuenta.
Sugerencia de verificar la respuesta en el próximo video, donde se mostrará el procedimiento completo.
Llamado a la acción: pedir a los espectadores que den like, comenten dudas o sugerencias y se suscriban para más contenido similar.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a realizar la
siguiente integral integral de coseno de
4x por 10 de 4x elevado al cubo por de x
en primer lugar nosotros vemos que
aparece tanto un coche no como un seno
entonces algunos podrían intentar
integrar esta función como una integral
de un coseno o como una integral de seno
pero no es por ahí por donde hay que
intentar porque también tenemos el caso
de que esto está elevado a un exponente
siempre que nosotros veamos algo una
expresión que está toda ella elevada a
un exponente hay que intentar por la
fórmula debe a la n b a la n de b si con
esta fórmula nos sale entonces pues
habrá que intentar alguna otra fórmula
pero esta fórmula generalmente es la que
la que resuelve integrales en las que
hay una potencia entonces en este caso
nuestra be va a ser lo que está elevado
al exponente osea lo que está dentro del
paréntesis me vale 1 - seno de 4x
y lo que hay que sacar después de bebé
es la del bebé es la derivada de esto
tenemos que derivar uno menos seno de 4x
aquí hay que recordar que la derivada de
seno es igual al coste no al cose no
debe por la derivada de b
en este caso b es el argumento de la
función trigonométrico o sea debe va a
ser
el menos que tenemos aquí lo vamos a
pasar derivada de seno es coseno de 4x
por derivada de 4x que es 4 y agregamos
el diferencial de x
esta parte de aquí nosotros tenemos que
tenerla en nuestra integral
afuera de lo que es nuestra potencia
aquí tenemos el 1 menos 4 x al cubo ese
sería nuestra ve a la n aparte de eso
nosotros tenemos que tener esto menos
coseno de 4x por 4 de x ya tenemos el
coste no de 4x y ya tenemos el de x nos
falta tener el menos y tener el 4 vamos
a acomodar estos términos para que esto
quede más claro está integrada la
podemos escribir también de esta forma
podemos poner primero la potencia aquí
después poner el coseno de 4x y el de x
el orden de los factores no altera el
producto así que podemos esto ordenarlo
de la manera que queramos pero en este
caso conviene más de esta forma para que
veamos cómo es la fórmula la fórmula
dice ve a la n
esto es b esto es n y luego dice debe o
sea aquí delante tenemos que tener debe
que es todo esto así que nos falta el
menos y el 4
s - y hace 4 lo vamos a agregar ahí está
ya lo agregue el menos el 4 pero no
podemos agregarlo de esta manera porque
si lo dejamos así aquí estamos diciendo
que estamos restando estamos restando
esto de aquí con esto de aquí pero
nosotros inicialmente no teníamos una
resta tenemos una multiplicación esto
está multiplicando esto y está
multiplicando a esto y en nuestra
fórmula se tiene que multiplicar también
todo así que vamos a agregar unos
paréntesis para indicar que se están
multiplicando ahora
agregamos nosotros un menos y un 4 ahí
de la nada lo agregamos así nada más
cuando nosotros agregamos cosas dentro
de una integral hay que sacarlas de la
misma integral o sea tenemos que sacar
el menos que agregamos y tenemos que
sacar un 4 dividiendo porque nosotros
agregamos un 4 multiplicando si nosotros
agregamos un número multiplicando se
tiene que sacar dividiendo entonces sale
como un cuarto
este 4 que está dividiendo con este
cuatro que están multiplicando si los
cancelamos y si hacemos esta operación
de menos x menos nos da más obtendríamos
nuestra integral inicial
y entonces vemos que así ya no estamos
alterando la expresión que teníamos
inicialmente entonces ya que tenemos
nuestra vez a la n iv nuestra bebé ya
podemos usar la fórmula así como la
teníamos al principio no podíamos usar
la fórmula porque no teníamos aquí
completa la derivada que bueno
al menos un cuarto que tenemos aquí
fuera de la integral simplemente lo
vamos a pasar y ahora vamos a sustituir
en nuestra fórmula ponemos una línea
horizontal y la fórmula dice b a la n 1
entonces ponemos b que es 1 - seno de 4x
a la n 1 que sería tres más uno
y esto mismo se pone en la parte de
abajo tres más uno
y agregamos una constante de integración
porque aquí ya terminamos de integrar
lo que vamos a hacer ahora nada más son
las operaciones tres más uno es igual a
cuatro así que nos queda de esta forma
y ahora hay que multiplicar estas dos
fracciones multiplicamos en un cuarto
con esta fracción de aquí entonces nos
va a quedar menos 4 por 4 son 16 y en la
parte de arriba como estamos
multiplicando por 1 nos queda
exactamente lo mismo
y más la constante y este de aquí es el
resultado de nuestra integral
entonces como ven esta integral si salía
con be a la n y no integrando coseno ni
integrando seno
ahora intenten ustedes realizar esta
integral aquí también vemos que tenemos
una función elevada a un exponente así
que también es una función de la forma
de adn en este caso b es la raíz de x +
6 y tendremos que derivar esto así que
aquí hay que recordar que la derivada de
la raíz cuadrada de x es igual a 1 sobre
dos veces raíz de x intenten hacerlo
ustedes en el próximo vídeo les muestro
procedimiento completo para que
verifiquen su resultado si les gustó
este vídeo the end like y comenten si
tienen cualquier duda o sugerencia y no
olviden suscribirse a mi canal para
recibir más vídeos como éste
تصفح المزيد من مقاطع الفيديو ذات الصلة
60. Integral de función exponencial, completando la derivada
Integral del cuadrado de un binomio
118. Integración por partes, x por coseno (Algebraica por trigonométrica) (Ejemplo resuelto)
12. Integral de raiz de 3 por equis cuadrada
Derivación de Funciones Directas (muchos ejemplos)
08. Integral de x con exponente en denominador (exp. negativo)
5.0 / 5 (0 votes)