78. Qué son las ecuaciones de segundo orden, ecuaciones homogéneas y de coeficientes constantes

Summary

Este vídeo de 'Mate, fácil' explora las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, explicando su definición y cómo se extiende a órdenes superiores. Se destacan ejemplos de ecuaciones lineales y se enfatiza la importancia de las ecuaciones homogéneas, especialmente aquellas con coeficientes constantes, que son más fáciles de resolver. Además, se menciona que la multiplicación de una solución por una constante siempre resulta en otra solución para ecuaciones diferenciales homogéneas. El vídeo concluye con una promesa de futuras explicaciones sobre soluciones linealmente independientes y la solución general de ecuaciones de segundo orden.

Takeaways

• 📘 Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es una ecuación donde la segunda derivada, la primera derivada y la función en sí misma están multiplicadas por funciones de x, y son iguales a otra función de x.
• 🔍 Se puede extender la definición de ecuaciones diferenciales lineales a ordenes superiores, como tercer orden o cuarto orden.
• 🌐 Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden incluyen ecuaciones donde la función de x por la segunda derivada, la primera derivada y la función en sí misma están multiplicadas por constantes o funciones de x.
• 🎯 Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas son aquellas donde la función de x al lado derecho de la ecuación es cero.
• 📚 Las ecuaciones diferenciales homogéneas son más fáciles de resolver que las no homogéneas, y a menudo se resuelven primero para luego abordar las no homogéneas.
• 🔢 Las ecuaciones diferenciales homogéneas de coeficientes constantes son las más sencillas de resolver, ya que las funciones de x son constantes.
• 🔄 Para verificar si una función es solución de una ecuación diferencial, se calculan sus derivadas y se sustituyen en la ecuación para verificar si se anula.
• 🔄 Al multiplicar una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea por una constante, se obtiene otra solución de la ecuación.
• 🔄 Existen soluciones que no se pueden expresar como múltiplos de una sola solución, y estas soluciones son esencialmente distintas entre sí.
• 🔄 Las funciones linealmente independientes son aquellas que no se pueden obtener mutuamente multiplicando una por una constante, y son fundamentales para entender la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.

Q & A

¿Qué es una ecuación diferencial lineal de segundo orden?

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es una ecuación en la que la función de la segunda derivada, la primera derivada y la función en sí misma son multiplicadas por funciones de x, y son igualadas a otra función de x. No hay exponentes ni funciones dentro de funciones.

¿Cuál es la diferencia entre una ecuación diferencial lineal de segundo orden y una de primer orden?

La diferencia principal es que una ecuación de segundo orden incluye la segunda derivada, mientras que una de primer orden solo incluye la primera derivada.

¿Qué es una ecuación diferencial lineal homogénea?

Una ecuación diferencial lineal se llama homogénea cuando la función que está al lado derecho de la igualdad es cero, es decir, no hay término no homogéneo.

¿Por qué son importantes las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes?

Son importantes porque son las más sencillas de resolver y proporcionan una base para entender cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales más complejas.

¿Cómo se demuestra que una función es solución de una ecuación diferencial lineal homogénea?

Para demostrar que una función es solución, se calculan sus derivadas correspondientes y se sustituyen en la ecuación. Si el resultado es cero, entonces la función es solución de la ecuación.

¿Qué significa que dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea sean linealmente independientes?

Dos soluciones son linealmente independientes si no se puede expresar una como una combinación lineal de la otra. Esto significa que ambas aportan información única para construir la solución general de la ecuación.

¿Cómo se puede obtener una nueva solución a partir de una solución conocida de una ecuación diferencial lineal homogénea?

Se puede obtener una nueva solución multiplicando la solución conocida por una constante arbitraria. Esto se debe a que las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas tienen la propiedad de que la multiplicación de una solución por una constante da como resultado otra solución.

¿Cuál es la relación entre la ecuación diferencial no homogénea y la ecuación homogénea relacionada?

La ecuación no homogénea se relaciona con la ecuación homogénea al ser la misma ecuación pero con un término adicional en el lado derecho que no es cero. Para resolver la no homogénea, primero se resuelve la homogénea y luego se busca una solución particular para la no homogénea.

¿Cómo se puede verificar si la suma de dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea también es una solución?

Se verifica tomando la suma de las funciones y sus derivadas correspondientes, y sustituyéndolo en la ecuación. Si el resultado es cero, entonces la suma es también una solución de la ecuación.

¿Qué se aprenderá en el siguiente vídeo sobre ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden?

En el siguiente vídeo se explorarán conceptos como las soluciones linealmente independientes y cómo se expresa la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.

Outlines

00:00

📘 Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

En este primer párrafo, se presenta la definición de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, que es una ecuación donde la segunda derivada de una función aparece multiplicada por una función de x, sumada a la primera derivada multiplicada por otra función de x y más otra función de x, todo igualado a otra función de x. Se enfatiza que las funciones de x pueden ser de cualquier tipo, pero las derivadas no aparecen con exponentes ni dentro de otras funciones. Se proporcionan ejemplos de ecuaciones que cumplen con esta definición y se diferencian las ecuaciones homogéneas, donde el término libre es cero, de las no homogéneas. Además, se menciona que las ecuaciones homogéneas de coeficientes constantes son las más fáciles de resolver y que son fundamentales para abordar ecuaciones no homogéneas.

05:02

🔍 Análisis de soluciones de ecuaciones diferenciales homogéneas

Este segundo párrafo se enfoca en cómo resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Se explica que para resolver una ecuación no homogénea, primero se debe resolver la ecuación homogénea correspondiente. Se utiliza un ejemplo específico para demostrar cómo se obtiene una solución y cómo se verifica que esa solución es correcta al sustituirla en la ecuación y verificar que el resultado es cero. Además, se muestra que cualquier multiplicación de una solución conocida por una constante resulta en otra solución válida para la ecuación, lo que se puede demostrar algebraicamente.

10:02

🔄 Exploración de soluciones adicionales y la suma de soluciones

El tercer párrafo explora la posibilidad de obtener soluciones adicionales a las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas que no se pueden expresar simplemente multiplicando una solución conocida por una constante. Se introduce la idea de que existen soluciones esencialmente distintas, como la función exponencial a la 3x, que no se puede obtener multiplicando la exponencial a la 2x por ninguna constante. Se demuestra que la suma de dos soluciones de una ecuación diferencial también es una solución, lo que lleva a la conclusión de que las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas pueden ser expresadas como combinaciones lineales de soluciones fundamentales. Se anuncia que en un vídeo futuro se profundizará en el concepto de soluciones linealmente independientes y cómo se puede expresar la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.

Keywords

💡Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son una extensión de las ecuaciones algebraicas que involucran derivadas. En el vídeo, se mencionan para introducir el tema principal, las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Estas ecuaciones son fundamentales en áreas como la física, ingeniería y economía, donde se modelan sistemas dinámicos. El guion del vídeo utiliza ecuaciones diferenciales para ilustrar cómo se resuelven problemas matemáticos complejos.

💡Ecuaciones lineales de segundo orden

Este término se refiere a un tipo específico de ecuaciones diferenciales donde la función más complicada es una segunda derivada y las funciones involucradas son lineales, es decir, no tienen exponentes ni están dentro de otras funciones. En el vídeo, se explica que estas ecuaciones son fundamentales para entender cómo se comportan ciertos sistemas físicos y se da un ejemplo para ilustrar su definición.

💡Función de x

Una 'función de x' es una relación matemática que asocia a cada valor de x en el dominio con un único valor en el rango. En el contexto del vídeo, las funciones de x son fundamentales para construir y resolver ecuaciones diferenciales, ya que representan la forma en que las variables cambian con respecto a x. Se menciona que estas funciones pueden ser de cualquier forma, lo que agrega flexibilidad en la modelación.

💡Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Las ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas donde el término independiente (el que no está asociado con una derivada) es cero. En el vídeo, se explica que estas ecuaciones son más sencillas de resolver y son un buen punto de partida para entender cómo se manejan las ecuaciones diferenciales lineales. Se da un ejemplo específico para ilustrar esta definición.

💡Solución de ecuaciones diferenciales

Una 'solución de ecuaciones diferenciales' es una función que, cuando se sustituye en la ecuación, satisface la condición de la ecuación. En el vídeo, se discute cómo encontrar soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, destacando que las soluciones pueden ser encontradas a través de métodos algebraicos y que estas soluciones son cruciales para entender el comportamiento de sistemas dinámicos.

💡Funciones linealmente independientes

Las funciones linealmente independientes son aquellas que no se pueden expresar como una combinación lineal de otras funciones. En el vídeo, se menciona que la existencia de soluciones linealmente independientes es importante para entender la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden, ya que estas soluciones forman la base para construir la solución general.

💡Derivada

La derivada es una operación matemática que determina la tasa de cambio de una función con respecto a su variable. En el vídeo, se utilizan derivadas para construir y resolver ecuaciones diferenciales, destacando la importancia de las derivadas primeras y segundas en el proceso de modelación y solución de problemas.

💡Ecuaciones no homogéneas

Las 'ecuaciones no homogéneas' son aquellas donde el término independiente no es cero. En el vídeo, se menciona que para resolver una ecuación diferencial no homogénea, es necesario primero resolver la ecuación homogénea correspondiente y luego incorporar la solución particular para la ecuación no homogénea. Esto se ilustra con un ejemplo específico en el guion.

💡Coeficientes constantes

Los 'coeficientes constantes' son valores que no cambian y son fundamentales en ecuaciones diferenciales para simplificar el proceso de solución. En el vídeo, se enfatiza que las ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes son más fáciles de resolver, ya que permiten aplicar métodos estándar de solución sin tener que lidiar con variables adicionales.

💡Solución general

La 'solución general' de una ecuación diferencial es una forma de escribir todas las soluciones posibles de la ecuación. En el vídeo, se sugiere que la solución general para una ecuación diferencial de segundo orden puede incluir una combinación de soluciones linealmente independientes, lo que se explorará en más detalle en futuras secciones del vídeo.

Highlights

Definición de una ecuación diferencial lineal de segundo orden y su extensión a órdenes superiores.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y su representación matemática.

Diferenciación entre notación y^{'} y y'' para representar derivadas en ecuaciones diferenciales.

Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y su importancia en la resolución de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y su comparación con las no homogéneas.

Importancia de resolver ecuaciones diferenciales homogéneas antes de abordar las no homogéneas.

Análisis de las soluciones de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden.

Demostración de que e^(2x) es una solución de una ecuación diferencial homogénea específica.

Explicación de que multiplicar una solución por una constante da como resultado otra solución de la ecuación diferencial.

Identificación de soluciones adicionales a través de la multiplicación de la solución base por diferentes constantes.

Descubrimiento de nuevas soluciones distintas a e^(2x), como e^(3x), y su verificación como soluciones válidas.

Concepto de funciones linealmente independientes y su aplicación en ecuaciones diferenciales lineales.

Demostración de que la suma de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea también es una solución.

Promesa de un próximo vídeo para explicar soluciones linealmente independientes y la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.

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Transcripts

hola y bienvenidos a otro vídeo de mate

fácil en este vídeo vamos a hablar

acerca de las ecuaciones diferenciales

lineales de segundo orden para empezar

hay que recordar que es una ecuación

diferencial lineal de segundo orden

ya antes subí un vídeo explicando lo que

es una ecuación diferencial lineal en

general pero de cualquier manera aquí

voy a recordar esta definición una

ecuación diferencial lineal se define de

esta manera cuando este segundo orden es

una función de x multiplicada por la

segunda derivada más una función de x

multiplicada por la primera derivada más

otra función de x multiplicada porque

igual a otra función de x en este caso

noten que ninguna de las derivadas ni la

propia aie aparecen con exponentes ni

dentro de ninguna otra función pero las

funciones de x esas pueden ser de

cualquier manera para ellas no hay

restricciones entonces esto es una

ecuación diferencial lineal de segundo

orden porque la mayor derivada es la

segunda derivada pero es fácil extender

esta definición a 3º orden cuarto orden

y a cualquier orden

buenos ejemplos de ecuaciones

diferenciales lineales de segundo orden

son estos de aquí por ejemplo este x

cuadrada yeví prima más 5x y prima menos

2 e iguala a a la x en este caso esta es

una ecuación diferencial lineal de

segundo orden porque aquí aparece en

función de x por la segunda derivada

función de x por la primera derivada

función de x porque aunque aquí no

aparezca ninguna x esto es una función

de x es una función constante y la

podemos considerar como función de x y

esto es igual a otra función de x

otro ejemplo esta de aquí también es una

ecuación diferencial lineal de segundo

orden aunque está escrita en otra

anotación noten que aquí en lugar de

poner mi prima pusimos la de cuadra de

ayer sobre de x cuadrada que significa

simplemente la segunda derivada de jr

respecto de x y aquí la derivada de ella

respecto de x esto es lo mismo que

ponerle mi prima y esto es lo mismo que

poner y prima es más usual escribirlo de

esta manera porque después mucho más

corto que escribir todo esto entonces a

partir de aquí utilizar este tipo de

notación javi prima de prima quizá en

alguna ocasión utilice esta anotación

pero

así siempre estaré utilizando esta otra

anotación pero simplemente notar qué

significan exactamente lo mismo entonces

aquí tenemos una función de x que otra

vez es simplemente una función constante

aunque aquí no aparezca ninguna equis

esto es una función de x esto es otra

función de x aquí también esto es una

función de x y esta es otra función de x

bueno

entre las ecuaciones diferenciales

lineales de segundo orden

hay que considerar unas ecuaciones que

son más sencillas las más fáciles de

resolver que se llaman ecuaciones

diferenciales lineales homogéneas por

ejemplo esta de aquí una ecuación

diferencial lineal se va a llamar

homogénea cuando la función v x sea

igual a 0 es decir que aparezca la

segunda derivada de ella con una función

la primer derivada de y con una función

de x y la quiere con otra función de x y

nada más la otra función de x que es la

que se encuentra sola esa va a ser cero

en este caso esa es una ecuación

diferencial lineal homogénea ya antes

habíamos visto otras otras ecuaciones a

las cuales les llamamos homogéneas

fueron de las primeras que vimos en las

cuales para resolverlas lo que hacíamos

era una sustitución para resolverlas

bueno en este caso estas ecuaciones

homogéneas no tienen nada que ver con

aquellas a aquellas también se les llama

homogéneas realmente no entiendo muy

bien la razón por la que se les llama

así realmente yo prefiero que únicamente

a éstas

llamar a homogéneas y aquellas no pero

bueno en muchos textos así es como se

manejan a ambas se les llama homogéneas

pero no tienen nada que ver unas con las

otras entonces hay que distinguir eso

aquí les vamos a llamar homogéneas a las

ecuaciones que están igualadas a cero

otra ecuación diferencial lineal

homogénea es por ejemplo esta de aquí

5 javi prima menos 3 de prima 4 igual a

cero entonces estas se llaman ecuaciones

diferenciales homogéneas bueno dentro de

las ecuaciones diferenciales homogéneas

las más sencillas las más fáciles de

resolver son las que tienen coeficientes

constantes es decir donde estas

funciones de xb de excede x son

funciones constantes como esta de aquí

aquí nada más aparecen constantes estas

son las más fáciles de resolver y son

con las que vamos a empezar y ya más

adelante veremos otras ecuaciones como

estas de aquí

bueno entonces

a estas ecuaciones que son las con las

que vamos a empezar esas que se llama de

ecuaciones diferenciales homogéneas de

coeficientes constantes también tenemos

el caso en las cuales no son homogéneas

como por ejemplo esta ecuación en su

forma no homogénea sería por ejemplo

esta de aquí noten que es lo mismo lo

que está del lado izquierdo pero la

diferencia es que aquí del lado derecho

aparece un cero y por eso es homogénea

mientras que aquí del lado derecho

aparece una función de x en este caso la

exponencial de x así que esta es una

ecuación diferencial no homogénea de

coeficientes constantes porque estas

funciones son constantes bueno pues

resulta que para resolver una ecuación

diferencial no homogénea como esta de

aquí siempre tendremos que empezar

resolviendo la ecuación homogénea

relacionada en este caso la ecuación

homogénea relacionada con esta es esta

de aquí o sea simplemente quitar la

función de x que aparece del lado

derecho ponerle un cero y empezar

resolviendo esta ecuación una vez que

tengamos esta solución a partir de ahí

podremos resolver esta ecuación es por

eso que es importante empezar

resolviendo ecuaciones diferenciales

homogéneas así que más adelante

vamos a empezar a resolver precisamente

ecuaciones diferenciales homogéneas de

coeficientes constantes que son las más

sencillas de resolver pero por el

momento vamos a analizar cómo son las

soluciones de una ecuación diferencial

homogénea desde segundo orden por

ejemplo consideremos esta ecuación

diferencial

javi prima menos cinco primas es igual a

cero

una solución de esta ecuación

diferencial es esta de aquí que igual a

la 2 x para obtener esta solución ya más

adelante veremos qué métodos utilizar

pero por el momento nos dan esta

solución nos dice que esto es una

solución de esta ecuación como

comprobamos que esto es una solución

bueno la manera de comprobarlo es

obtener la primera derivada y la segunda

derivada y sustituir aquí y ver que

después de hacer las operaciones nos

queda como resultado 0 vamos a hacer eso

a partir de esta función calculamos la

primera derivada entonces derivamos la

exponencial de 2x la cuales dos lados x

porque recuerden que se deriva el

exponente la derivada de 2 x 2 y luego

se vuelve a multiplicar por la propia

exponencial ahora a partir de aquí

volvemos a derivar para obtener jerry

prima entonces derivamos el exponente de

la derivada del exponente es 2 por este

2 nos da 4 y multiplicamos por la misma

exponencial entonces ya tenemos que

prima y prima sustituimos en la ecuación

diferencial y nos queda lo siguiente

aquí en lugar de lleve y prima ponemos 4

ea la 2 x luego tenemos menos 5 porque

prima que es

a la 2 x + 6 que es a la 2 x ahora hay

que hacer estas operaciones y ver que el

resultado es cero entonces lo primero

que hacemos es esta multiplicación 5 por

2 nos da 10 y luego aquí como todos

estos son términos semejantes podemos

sumar los 4 menos 10 nos da menos seis y

menos 66 nos da 0 así que efectivamente

aquí nos queda cero por lo tanto podemos

concluir que igualaría la 2x es una

solución de esta ecuación diferencial

ahora la pregunta es hay más soluciones

aparte de ésta pues si realmente hay

muchas más soluciones por ejemplo otra

solución se obtiene de multiplicar esta

misma solución pero por ejemplo por 3 si

multiplicamos 3 por ea la 2x podemos

demostrar que ésta también es una

solución de esta ecuación diferencial

vamos a hacerlo derivamos una vez

entonces ya prima va a ser 6 2 x porque

la derivada de 2x es 22 por tres son 6 y

multiplicamos por la propia exponencial

y la segunda derivada va a ser 12 a la 2

x

ahora sustituimos esto en la ecuación

diferencial y nos queda esto de aquí

jerry prima que es 12 g a la 2x luego es

menos 5 porque prima de una vez

multiplicamos 5 por 6 nos da 30 entonces

queda 32 x y luego más 6 y como ya es 3

será 2 x 3 por 6 son 18 entonces queda

18 que a la 2 x ahora hay que hacer las

operaciones 12 menos 30 nos da menos 18

y menos 18 más 18 nos queda 0 eso

significa que entonces de igual a 3 a la

2 x también es una solución de esta

ecuación diferencial ahora porque

multiplicar por tres y no multiplicar

por ejemplo por cinco o por días o por

veinte o por cualquier otro número bueno

pues sin importar por cual número

multiplicamos aquí vamos a obtener una

solución de esta ecuación diferencial

eso lo podemos expresar de esta manera

que una solución es igual hace ea la 2 x

donde se es cualquier constante aquí con

cualquier constante que sustituyamos

obtenemos siempre una solución para esta

ecuación diferencial podemos demostrar

cualquier función de esta forma es

solución de esta ecuación diferencial

simplemente calculamos la derivada de

esta función considerándose como una

constante entonces la derivada va a ser

12 ea la 2x luego la segunda derivada va

a ser 40 a la 2x sustituyendo aquí al

hacer las operaciones vamos a ver que

nos da como resultado 0 eso ya no lo voy

a hacer aquí si quieren ustedes lo

pueden hacer como ejercicio en su

libreta y van a ver que efectivamente

esta va a ser una solución de esta

ecuación diferencial sin importar el

valor que le pongamos a la constante

pero otra pregunta que surge aquí es si

hay más soluciones

aparte de estas aparte de multiplicar

una constante por ea la 2x y resulta que

si hay otra solución que no se puede

expresar de esta forma por ejemplo ésta

se iguala a a la 3x noten que esta

solución es una solución distinta a

cualquiera de estas porque por mucho que

multipliquemos era la 2x por cualquier

constante sin importar cual constante

pongamos aquí nunca vamos a obtener la

exponencial de 3x estas dos funciones

son esenciales

distintas y más adelante explicaremos

qué significa eso de esencialmente

distintas pero podemos comprobar que

esta es una solución de esta ecuación

diferencial para eso simplemente

tendríamos que derivar dos veces

sustituir aquí y ver que efectivamente

al final nos da como resultado cero

pero igual que ocurría con esta función

de 2x resulta que si multiplicamos ésta

a la 3x por cualquier constante

obtenemos también una solución de esta

ecuación diferencial todo eso no son

casualidades todo eso se puede demostrar

que cuando tenemos una solución de una

ecuación diferencial lineal homogénea

multiplicar dicha solución por una

constante nos vuelve a dar una solución

de la ecuación diferencial pero es

importante que debe ser una ecuación

diferencial homogénea para ellas es para

los para las que se satisface esto que

les estoy mencionando que si tenemos una

solución al multiplicar la por cualquier

constante volvemos a obtener una

solución entonces aquí cualquier

solución que tenga la forma se crea la

3x donde se puede ser cualquier

constante también va a ser solución de

esta ecuación diferencial y ahora la

pregunta que surge es si las únicas

soluciones son soluciones de este tipo o

soluciones de este tipo y la respuesta

es que no que está que hay otras

soluciones

que se forman sumando soluciones de este

tipo con soluciones de este tipo por

ejemplo si aquí tomamos como 2 y aquí

tomamos como menos 10 y sumamos esas

soluciones

resulta que el 2 2 x menos 10 ea la 3x

todo eso completo también forma una

solución de esta ecuación diferencial en

general con las ecuaciones diferenciales

lineales homogéneas resulta que si

tenemos dos soluciones de la ecuación

diferencial la suma de esas dos

soluciones también es una solución de la

ecuación diferencial

pero bueno tenemos que aprender a

diferenciar entre un tipo de función con

otro tipo de función en este caso noten

que como les mencionaba a la 3x no se

puede obtener a partir de la 2 x

multiplicando por ninguna constante

siempre van a ser funciones distintas a

ese tipo de funciones que son así

esencialmente distintas se les llama

funciones linealmente independientes

bueno esto lo voy a explicar con mayor

detalle en el siguiente vídeo en el

siguiente vídeo voy a hablar acerca de

qué significan las soluciones

linealmente independientes y cómo es que

se expresa la solución general de una

ecuación diferencial de segundo orden

así que los invito a que vean este vídeo

y si les gustó este vídeo apoyen me

regalándome un like suscríbase a mi

canal y compartan mis vídeos y recuerden

que si tienen cualquier pregunta o

sugerencia pueden dejarla en los

comentarios