Método: rectángulos CIRCUNSCRITOS | Área bajo la curva | Cálculo Integral
Summary
TLDREn este video, se explica cómo calcular el área bajo la curva utilizando el método de los rectángulos circunscritos. El ejercicio se enfoca en encontrar el área limitada por la curva f(x) = x² + 1 y el eje x en el intervalo [0, 3], dividiéndolo en 6 subintervalos. El proceso incluye calcular el valor de cada subintervalo, graficar los puntos, y aplicar la fórmula del área. Finalmente, se suman los valores obtenidos y se multiplica por la altura de los subintervalos para encontrar el área total bajo la curva.
Takeaways
- 📐 El video explica cómo hallar el área bajo la curva utilizando el método de rectángulos circunscritos.
- 📊 El ejercicio se basa en la función f(x) = x^2 + 1, limitada por el eje x en el intervalo [0, 3].
- 🔢 Se utilizan 6 subintervalos para resolver el ejercicio, lo que implica dividir el intervalo en segmentos iguales.
- ➗ El valor de h, que es la longitud de cada subintervalo, se calcula como (b - a) / n, dando como resultado h = 0.5.
- 📈 La gráfica de la función puede trazarse manualmente o con software, como GeoGebra, y se usa para visualizar los rectángulos.
- 🔍 Los valores de la función se sustituyen en cada subintervalo, comenzando desde a = 0 y sumando múltiplos de h para obtener nuevos puntos.
- 🧮 Se calcula el valor de f(x) en puntos clave (0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3) para construir los rectángulos bajo la curva.
- 📏 Se omite el primer valor de a al calcular el área, ya que no representa la altura correcta del primer rectángulo.
- 🔗 La suma de las áreas de los rectángulos se multiplica por h, y el área total bajo la curva en el intervalo [0, 3] es 14.375 unidades cuadradas.
- 📝 El resultado final del área bajo la curva es el producto de 0.5 por la suma de las alturas de los rectángulos.
Q & A
¿Qué método se utiliza en el video para calcular el área bajo la curva?
-El método utilizado es el de los rectángulos circunscritos.
¿Cuál es la función que se usa en el ejercicio para calcular el área bajo la curva?
-La función utilizada es f(x) = x^2 + 1.
¿En qué intervalo se calcula el área bajo la curva en el ejercicio?
-El área se calcula en el intervalo [0, 3].
¿Cuántos subintervalos se consideran en este ejercicio?
-Se consideran 6 subintervalos.
¿Cómo se calcula el valor de cada subintervalo (h)?
-El valor de h se calcula como (b - a) / n, donde b es 3, a es 0 y n es 6, lo que da h = 0.5.
¿Qué valores se utilizan para calcular las alturas de los rectángulos?
-Se utilizan los valores a + h, a + 2h, a + 3h, etc., donde a es el valor inicial del intervalo.
¿Cuál es el valor de f(0.5) y cómo se obtiene?
-El valor de f(0.5) es 1.25, se obtiene sustituyendo 0.5 en la función f(x) = x^2 + 1.
¿Por qué no se considera el valor de f(0) en la fórmula para calcular el área?
-No se considera f(0) porque la altura del primer rectángulo sería incorrecta; la fórmula comienza con el valor f(a + h) para asegurar que se usen las alturas correctas.
¿Cuál es la suma de las alturas de los rectángulos?
-La suma de las alturas de los rectángulos es 28.75.
¿Cuál es el área bajo la curva obtenida en este ejercicio?
-El área bajo la curva es 14.375 unidades cuadradas.
Outlines
📐 Explicación del método de rectángulos circunscritos
En este vídeo se explicará cómo hallar el área bajo la curva utilizando el método de rectángulos circunscritos. El ejercicio se centra en la función f(x) = x² + 1 y el eje X en el intervalo de 0 a 3, dividiendo el intervalo en 6 subintervalos (n). El valor de cada subintervalo (h) se calcula usando la fórmula (b - a) / n. En este caso, b = 3 y a = 0, por lo que h = 0.5. Se menciona el uso de GeoGebra para graficar la curva, aunque se sugiere hacerlo manualmente. Se enfatiza la importancia de sustentar valores en la función y generar puntos clave para trazar la curva y los rectángulos correspondientes.
🔢 Cálculo de las alturas y valores de la función
Se explica cómo usar los valores de h para calcular las alturas de los rectángulos. No se considera el valor de 'a' en la fórmula ya que no corresponde a la altura correcta del primer rectángulo. Se utilizan los valores de la función f(x) = x² + 1, sustituyendo puntos específicos como 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 y 3 en la fórmula para obtener las alturas correspondientes de los rectángulos. Estos valores son necesarios para trazar la gráfica y finalmente calcular el área bajo la curva. Se muestra cómo sumar todas las áreas parciales y multiplicarlas por el valor de h (0.5) para obtener el área total de 14.375 unidades cuadradas.
Mindmap
Keywords
💡Área bajo la curva
💡Método de los rectángulos
💡Subintervalos
💡h (tamaño del subintervalo)
💡f(x) = x² + 1
💡Intervalo [0, 3]
💡Puntos de evaluación
💡Suma de las áreas
💡Gráfica de la función
💡Aproximación numérica
Highlights
Explicación sobre cómo hallar el área bajo la curva usando el método de rectángulos circunscritos.
El ejercicio a resolver se basa en la función f(x) = x^2 + 1 y el eje x, en el intervalo de [0, 3].
Se utilizan 6 subintervalos para el cálculo, siendo n el número de subintervalos y h el valor de cada uno.
El valor de h se calcula como (b - a) / n, donde b = 3 y a = 0, resultando en h = 0.5.
El valor de la función en cada subintervalo se sustituye en f(x) para encontrar los puntos de la curva.
Los puntos obtenidos se grafican manualmente o usando un software como GeoGebra.
La altura de los rectángulos se calcula utilizando los valores de la función en los puntos de los subintervalos.
El primer valor de la función que se usa para calcular el área es a + h, en lugar de a, para evitar subestimación de la altura del primer rectángulo.
La fórmula para calcular el área bajo la curva es: área = h * suma de las alturas de los rectángulos.
Los valores de x = 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 y 3 se sustituyen en f(x) para encontrar las alturas correspondientes.
Los resultados para las alturas de los rectángulos son: 1.25, 2, 3.25, 5, 7.25, y 10.
La suma de las alturas obtenidas es 28.75.
El área bajo la curva se calcula multiplicando la suma de las alturas por h: 0.5 * 28.75 = 14.375 unidades cuadradas.
La aproximación del área bajo la curva en el intervalo [0, 3] es de 14.375 unidades cuadradas.
Este método es útil para obtener una aproximación del área en intervalos definidos y puede aplicarse a diferentes funciones.
Transcripts
en este vídeo les explicaré cómo hallar
el área bajo la curva considerando el
método rectángulo circunscritos
para entender bien este método voy a
resolver este ejercicio utiliza el
método del rectángulo para encontrar el
área limitada por la curva fx igual a
equis cuadrada más 1 y el eje x en el
intervalo 03 para esto voy a considerar
6 sub intervalos n corresponde al número
de sub intervalos y h corresponde al
valor de cada sub intervalo como
hallamos el valor de h el valor de cada
sub intervalo bueno utilizando esta
fórmula está de menos a cual es b y cuál
es
en este intervalo el primer valor
corresponde al a la letra y el segundo
valor corresponde a la letra b y lo
podemos observar claramente aquí está a
vale 0 y b tiene un valor de 3 ahora 3 -
0 entre 6 es igual a 3 sextos 3 entre 6
es igual a 0.5 este es el valor de cada
sub intervalo
para graficar esto yo lo trabajé en
geogebra pero ustedes lo van a tener que
hacer de manera de manera manual en
algún momento o si gustan lo pueden
trabajar en el software que ustedes
deseen pero bueno en la gráfica ustedes
saben
que dándole valores a x podemos obtener
el valor de i y posteriormente vamos
uniendo los puntos y de esa manera
podemos tener nuestra gráfica
bueno ahora pero para para este este
tipo de ejercicio
antes de para saber qué valores vas a
sustituir en esta en esta función pues
hay que considerar los intervalos los
sub intervalos si aquí tengo el cero
si yo sustituyó el cero en la función
original cero al cuadrado 011 aquí va a
quedar el primer punto el segundo valor
que voy a sustituir no va a ser
cualquier valor
hay que considerar a h h es el valor del
intervalo y el segundo el segundo valor
que van a considerar va a ser a más h ah
vale 0 y h
5.5 0.5 es igual a 0.5 ahora si ustedes
sustituyen este valor de 0.5
en esta función van a obtener el valor
de iu y ahí van a colocar el otro
puntito
ahora el siguiente valor que van a usar
es a 2h a vale cero para todos estos
avales cero
hay que observar aquí 2h dos por punto
cinco es uno entonces sustituyen uno
1 al cuadrado más 1
1 al cuadrado es 112 entonces aquí queda
en 2 aquí ponen otro puntito porque es
mejor que vayan considerando estos
valores para graficar porque esto les va
a servir para trazar sus rectángulos ya
van a tener los puntos donde ustedes van
a formar sus rectángulos y si ustedes
toman 1 2 3 4 pues prácticamente es
probable que no es casi seguro que no
van a coincidir con los los sub
intervalos pero bueno esa es a
conveniencia
bueno ya tenemos sub intervalos el valor
de cada sub intervalo y tenemos el
intervalo principal 0 a 3
tenemos los sub intervalos y ahora vamos
a calcular el área
para calcular el área hay que observar
que la fórmula considera voy a regresar
la lámina
considera este este primer valor no
considera al valor de a porque porque si
considerara el valor de a estaría
considerando este valor de 1 y la altura
de este de este rectángulo no es uno es
más de uno por eso considera este primer
valor este primer valor que esa masa che
este si es la altura de este rectángulo
por eso inicia con este valor
posteriormente con éste hasta llegar al
valor de b
aquí tenemos la función original lo que
les mencioné hace un momento
para obtener el valor
de 1.25 que es lo que tenemos que hacer
voy a sustituir a massa h h 0.5
0.5 lo voy a elevar al cuadrado
y le voy a sumar uno por qué por qué por
qué elevarlo al cuadrado porque aquí
está equis cuadrada punto 5 al cuadrado
más 1 nos da 1.25 y este 1.25 es el que
ustedes van a utilizar para construir su
gráfica aquí está
cuando x vale punto 5 llevarle 1.25
ahora
a 2h a 2h tiene un valor de 1 lo
sustituimos en esta función original 1
al cuadrado más uno es igual a 2
si cuando x vale 1 que vale dos y aquí
ustedes van a ubicar un puntito
esto es estos puntitos les va a servir
para ir trazando su gráfica
siguiente a 3 h a 3 h tiene un valor de
1.5
sustituimos 1.5 en esta función original
1.5 al cuadrado me da 225 1 y obtengo un
resultado de 3.25
ahora a 4h a 4h es igual a 2 sustituyó
este 2 lo elevó al cuadrado 2 al
cuadrado 4 15
a 5 h a 5 h tiene un valor de 2.5 s 2.5
lo elevó al cuadrado más 1 me da un
total de 7.25 y observemos que el
siguiente valor es b es decir 3
entonces sustituimos ese 33 al cuadrado
91 10 ahora simplemente vamos a aplicar
esta fórmula área es igual a h h tiene
un valor de 0.5
y ahí está 0.5 por la suma de todo lo
que obtuvimos aquí de 1.25 2 + 3.25 5
7.25 10
todo esto lo voy a sumar y al sumar lo
obtengo 28.75 este 28.75 lo tengo que
multiplicar por 0.5 y obtengo 14.375
unidades cuadradas y este es el área que
corresponde
bajo la curva en ese intervalo de 0 3
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