Maxwell Denklemleri Ne Anlama Gelir?
Summary
TLDRThis video script delves into the fundamentals of electromagnetism, focusing on Maxwell's equations, which are crucial for understanding electric and magnetic fields. The speaker aims to clarify common misconceptions and explores the transformation between differential and integral forms of these equations. The script also touches on the application of Gauss's, Stokes's, and Poisson's theorems in simplifying and solving Maxwell's equations. The video is designed to aid students and physics enthusiasts in grasping the complex concepts of electromagnetism and the practical use of these foundational equations.
Takeaways
- 🌐 Maxwell's Equations are the fundamental set of four equations that describe electromagnetism, a core aspect of physics.
- 🔍 The primary problem in electromagnetism is to determine the electric and magnetic fields in space, given the charges and currents.
- 📚 Maxwell's Equations are well-known to physics students but can be challenging to internalize and apply in practice.
- 📉 The script discusses the transition from differential to integral forms of the equations, highlighting the importance of understanding both for problem-solving.
- 📚 Gauss's Theorem, also known as the Divergence Theorem, is introduced as a mathematical principle that relates the volume integral of a vector field to its surface integral.
- 🧲 The absence of magnetic monopoles is a key point, stating that the divergence of the magnetic field is always zero, meaning magnetic field lines are always closed loops.
- 🔌 Faraday's Law and Ampère's Law with Maxwell's addition are explained, relating the change in magnetic fields to electric fields and vice versa.
- 📐 Stokes' Theorem is mentioned for its role in connecting the circulation of a vector field over a surface to its line integral around the boundary.
- ⚙ The script emphasizes the importance of vector calculus in understanding Maxwell's Equations, including divergence, curl, and gradient operations.
- 🔑 Gauge transformations are introduced as a method to provide flexibility in the choice of vector and scalar potentials, which can simplify solving the equations.
- 📉 The Lorentz condition and Coulomb gauge are discussed as specific gauge choices that can simplify the equations, particularly useful in the context of relativistic electromagnetism.
Q & A
What is the main topic of the video?
-The main topic of the video is the Maxwell's equations, which are fundamental in electromagnetism, one of the most important branches of physics.
Why does the speaker think it's important to discuss Maxwell's equations in detail?
-The speaker believes that despite being familiar with the names and expressions of Maxwell's equations, there is a need for a deeper understanding of their essence, which is lacking even among doctoral students.
What are the basic forms of Maxwell's equations mentioned in the script?
-The basic forms of Maxwell's equations mentioned are differential form and integral form.
What does the first Maxwell's equation, the Gauss's law for electric fields, state?
-The first Maxwell's equation, Gauss's law for electric fields, states that the divergence of the electric field is equal to the charge density.
What does the second Maxwell's equation, the Gauss's law for magnetic fields, imply about magnetic monopoles?
-The second Maxwell's equation implies that magnetic monopoles do not exist because the divergence of the magnetic field is always zero, meaning magnetic field lines are always closed loops.
What is the relationship between Maxwell's equations and the Gauss theorem?
-The Gauss theorem, also known as the divergence theorem in mathematics, provides the relationship between the volume integral of a vector field's divergence and the surface integral of the vector field over a boundary, which is used to derive the integral form of Maxwell's equations from their differential form.
What is Faraday's law and how does it relate to Maxwell's equations?
-Faraday's law is the third of Maxwell's equations and it states that a changing magnetic field will induce an electromotive force (EMF), which is represented in the script as a rotation of the electric field (E) around a closed loop.
What is the Ampere-Maxwell law and how does it differ from the traditional Ampere's law?
-The Ampere-Maxwell law is the fourth of Maxwell's equations and it includes an additional term that accounts for the displacement current, which is not present in the traditional Ampere's law, making it applicable to both steady and changing electric fields.
What is the significance of the Lorentz force equation in the context of Maxwell's equations?
-The Lorentz force equation is not explicitly mentioned in the script, but it is significant as it describes the force experienced by a charged particle moving through electric and magnetic fields, which are the fundamental concepts described by Maxwell's equations.
How does the script discuss the transformation of Maxwell's equations into a more manageable form?
-The script discusses the process of reducing the number of unknowns and equations by introducing the concepts of vector potential and scalar potential, which simplify the system of Maxwell's equations into two second-order differential equations.
What is the gauge transformation mentioned in the script, and why is it important?
-Gauge transformation is a change in the vector potential and scalar potential that leaves the electric and magnetic fields unchanged. It is important because it provides flexibility in choosing the potentials, which can simplify the equations and make them more solvable.
What are the Lorenz and Coulomb gauges mentioned in the script, and how do they simplify Maxwell's equations?
-The Lorenz and Coulomb gauges are specific choices for the gauge transformation. The Lorenz gauge simplifies Maxwell's equations into a set of four first-order differential equations, while the Coulomb gauge is chosen to simplify the Poisson equation for the scalar potential in electrostatics.
Outlines
📚 Introduction to Maxwell's Equations
The speaker begins by greeting the audience and introducing the topic of Maxwell's Equations, which are fundamental in electromagnetism, one of the most important branches of physics. They express concern that even advanced students may not fully grasp the essence of these equations, which are often memorized but not internalized. The main problem of electromagnetism is to determine the electric and magnetic fields in space, which are related to charges and currents. Maxwell's Equations provide four differential equations that can also be written in integral form. The video aims to help viewers understand the transition from differential to integral form and delve into the implications of these equations, starting with the divergence of the electric field, which is related to the charge density, and the divergence of the magnetic field, which is always zero, indicating that magnetic field lines are always closed loops.
🔗 The Relationship Between Maxwell's Equations and Vector Calculus
The speaker discusses the connection between Maxwell's Equations and vector calculus, emphasizing the importance of understanding the concepts of divergence, curl, and Gauss's Theorem. They explain how the divergence theorem, known as Gauss's Law in physics, relates the flux of a vector field through a closed surface to the volume integral of its divergence. This theorem bridges the first two Maxwell's Equations, which describe the relationship between electric and magnetic fields and charges. The speaker also touches on the historical naming of Gauss's Law, clarifying that Gauss was a mathematician, not a physicist, and the significance of this theorem in transitioning between different forms of the equations.
🧲 Exploring the Fundamentals of Electromagnetism and Potentials
This paragraph delves deeper into the fundamentals of electromagnetism, discussing the usefulness of Maxwell's Equations in calculating electric and magnetic fields at a point in space or over a region. The speaker mentions that while integral forms of the equations are more practical for region-based calculations, differential forms are essential for understanding the underlying physics. They introduce the concept of vector and scalar potentials, explaining that magnetic fields can be represented as the curl of a vector potential, which is not unique and can be adjusted with the addition of a gradient of a scalar function. This adjustment is crucial for simplifying the equations and solving practical problems in electromagnetism.
🔍 Simplifying Maxwell's Equations Using Potentials
The speaker continues to simplify Maxwell's Equations by expressing them in terms of vector and scalar potentials. They demonstrate how the original six unknowns (components of the electric and magnetic fields) can be reduced to four by using these potentials. This reduction not only simplifies the equations but also provides a more flexible approach to solving electromagnetism problems. The speaker emphasizes that with the right choice of potentials, the equations can be made more manageable, highlighting the importance of understanding the relationship between the physical fields and the mathematical representations of potentials.
🛠 Gauge Transformations and Their Significance
In this paragraph, the speaker introduces the concept of gauge transformations, which are a way to adjust the vector and scalar potentials to simplify Maxwell's Equations further. They explain that by choosing a specific gauge, such as the Coulomb gauge, where the divergence of the vector potential is zero, the equations can be made more tractable. The speaker also discusses the Lorentz gauge, which is related to the wave equation and has applications in the theory of relativity and electromagnetism. These transformations provide a powerful tool for solving complex electromagnetic problems and are essential for understanding the deeper structure of the equations.
🌐 Conclusion and Implications for Advanced Physics
The speaker concludes by summarizing the content covered in the video and emphasizing the importance of understanding Maxwell's Equations in their various forms and applications. They mention the relevance of these equations in advanced physics, including relativity and electromagnetism, and express hope that the video has provided a deeper insight into the subject. The speaker also acknowledges the complexity of the topic and the challenges faced by students, offering encouragement to continue exploring the field.
Mindmap
Keywords
💡Maxwell's Equations
💡Electromagnetism
💡Differential Form
💡Integral Form
💡Gauss's Law
💡Magnetic Field
💡Faraday's Law
💡Ampère's Law
💡Vector Potential
💡Gauge Transformation
💡Lorentz Force
💡Electrostatics
💡Lorentz Transformation
💡Wave Equation
Highlights
Introduction to Maxwell's equations, the fundamental set of equations in electromagnetism.
Discussion on the importance of understanding Maxwell's equations beyond memorization for physics students.
Explanation of the basic problem of electromagnetism: finding electric and magnetic fields in space.
Description of the four Maxwell's equations in differential and integral forms.
Clarification on the relationship between differential and integral forms using mathematical theorems like Gauss's Theorem.
Gauss's Theorem is incorrectly referred to as a physics law, but it is actually a mathematical theorem.
Explanation of how electric field divergence is related to charge density and magnetic field divergence is always zero.
Introduction of Faraday's law and Ampere's law through Stokes' Theorem in the context of Maxwell's equations.
The significance of vector calculus in solving Maxwell's equations, including divergence, gradient, and curl operations.
Analysis of the number of unknowns and equations in Maxwell's equations to solve for electric and magnetic fields.
Introduction of the concept of vector potential and scalar potential in simplifying Maxwell's equations.
Discussion on gauge transformations and their role in providing flexibility in solving electromagnetic problems.
Explanation of how different gauge choices can simplify Maxwell's equations, such as Coulomb gauge and Lorentz gauge.
The Poisson equation's relevance in finding the scalar potential in the context of Maxwell's equations.
Final transformation of Maxwell's equations into two second-order differential equations for electric and magnetic fields.
Reflection on the trade-off between the complexity of the equations and their solvability in different gauges.
Conclusion emphasizing the importance of understanding the physical meaning and mathematical formulation of Maxwell's equations.
Transcripts
Merhaba arkadaşlar şöyle damardan bir
fizik videosuna Ne dersiniz İşte bu
videoda size Maxwell denklemlerinden
bahsetmek istiyorum fiziğin en önemli
dallarından bir tanesi olan
elektromanyetizmanın temel dört denklemi
olan Maxwell denkleminden bahsetmek
istiyorum Maxwell denklemleri fizik
öğrencileri fizik meraklılarının böyle
ezbere bildikleri isimlerini veya
ifadelerini ezbere bildikleri denklemler
ancak onların ruhuna Vakıf olma
açısından e bazı sıkıntı görüyorum yani
Doktora öğrencileri seviyesinde dahi e
Bunlar gözümüze çarpıyor o yüzden böyle
yardımcı olması ümidiyle böyle bir video
çekmeyi istedim şimdi
elektromanyetizmanın temel problemi
nedir elektromanyetizmanın temel
problemi uzaydaki elektrik alanları ve
manyetik alanları bulmaktır
bilinmeyenlerin elektrik alanlar ve
manyetik alanlar bu denklemlerde size
elektrik alanı ve manyetik alanı yükler
ve akımlar cinsinden bulmanızı sağlayan
denklemler 4 tanedir
Bunlar ve bunu diferansiyel formunda
yazabileceğiniz gibi integral formunda
da yazmak mümkündür e sırasıyla önce şu
dönüşüm nasıl yapılıyor yani şeyden
diferansiyel Formdan integral formuna
nasıl geçiyor önce ondan bahsedelim
Ondan sonra diferansiyel form bize neler
söylüyor Birazcık böyle derinine nüfuz
etmeye çalışalım bu denklemlerin şimdi
bir denkleme bakacak olursak elektrik
alanın diverjans uzayın yasındaki yük
yoğunluğunu verdiğini söylüyor Çok
benzer bir ifade manyetik alanın
diverjansı daima sıfır olduğunu söylüyor
bu denklem ikinci denklem aynı zamanda
manyetik alanı böyle üreten bir noktadan
üreten bir tırnak içinde monopol tek
kutuplu olmadığını da söylüyor yani
manyetik alan çizgilerinin daima
kendileri üzerine kapanan çizgiler
olduğunu uzayda bir noktadan hiçbir
zaman başlayıp veya bir noktada
sonlanmayan söylüyor elektrik alan öyle
değil elektrik alan artı yüklerden
biliyorsunuz dışarı doğru çıkar eksi
yüklere doğru kapanabilir Dolayısıyla
uzayın o noktasında bir yük yoğunluğu
varsa
o bir elektrik alan yaratacaktır bu
denklem bunu söylüyor Peki bu form Bu
forma nasıl ilişkili veya bu form bu
form ile nasıl ilişkili birazcık ondan
bahsedelim matematikte Gaus Teoremi
dediğimiz bir teorem var esasında Siz
böyle standart fizik 2 kitaplarının
ikinci ünitesi Gaus yasası olarak geçer
ve karşınıza bu ifade sunulur Gaus
yasası olarak bilir fizik öğrencileri
bunu Oysa Gaus bir fizikçi değil Gaus
bir matematikçi Eee ismi neden bu fizik
yasasına verilmiş diyecek olursak İşte
bu ifadeden bu ifadeye geçmemizi
sağlayan veya bu ifadeden bu ifadeye
geçmemizi sağlayan teorem gus Teoremi
olarak bilinir matematikte ne diyor O
teorem şunu söylüyor uzayda bir vektör
alanınız varsa çok genel konuşuyor
herhangi bir vektör alanınız varsa yani
e de olur B de olur bu o v vektör
alanının uzayda kapadığını bir hacim
üzerinden o vektör alanının diverjans
hacim
integrali O bölgeyi kapayan yüzey
üzerinden vektör alanının integrali ile
ilişkilidir bunu söyler İşte o bölgeyi
kapayan yüzeyi derken bunu kastediyorum
elektrik alanın uzayda kapalı bir bölge
üzerinden alınan yüzey integrali buna
akı da diyoruz elektrik akı da diyoruz
sağ tarafta E
diverjans yani yük yoğunluğunun hacim
üzerinden alınan integrali yük
yoğunluğunun hacim üzerinden alınan
integrali toplam yükü verecektir Elbette
ki o yüzden sağ tarafı böyle integralli
yazmayız da normal direkt yükü yazarak
buraya bu şekilde bırakırız yani bu iki
ifade arasındaki geçişi Gaus Teoremi bir
başka deyişle diverjans Teoremi bize
sağlar O yüzden Gaus yasası olarak
biliniyor bu yasalar manyetik alan için
de aynı ifadeyi yazabiliyorsunuz burada
dediğimiz gibi manyetik monopol olmadığı
için Eee bunun daima Sıfıra eşit olduğu
olduğunu görüyoruz Tamam bu 1 ve
ikincinin buraya geçişi bu şekilde
yapılıyor 3 ve 4 denklemler yani Faraday
yasası ve amper Maxwell yasası olarak
bildiğimiz yasa ise yine matematikte
başka bir teorem olan stokes Teoremi
üzerinden yapılıyor stocks Teoremi de
bana şunu söylüyor uzayda kapalı bir
eğirin varsa o eğrinin kapadığı alanın
alanda bir vektör alanının rotasyonel
inin alan integrali o eğri üzerinden
vektör alanının kendisinin çizgi
integrali ile ilişkili olduğunu söyleyen
bir teorem aynı şekilde bu Teoremi
kullanarak buradan Eee bu şeye
geçebiliyorsunuz ifadeye
geçebiliyorsunuz işte bir kapalı bir
çizgi üzerinden alınan bir yol integrali
var burada sağ tarafta da o çizginin
kapadığı bölgede rotasyonel bir
integralini alan integralini alıyorsunuz
O da size o bölgeyi e delip geçen Eee
Şurayı yanlış yazmışım Zannedersem bu MB
olacak şimdi fark ettim manyetik
akının zamana göre değişimini veriyor
buradan yola çıkarak bunu gösterebiliyor
musunuz aynı ifadeyle e benzer Benzer
bir şekilde manyetik alan için
Yazdığınız bu amper maxwel yasasından da
E buraya geçmek mümkün olabiliyor Şimdi
bunlar nerede faydalı oluyorlar uzayın
bir noktasındaki elektrik alan manyetik
alanı hesaplayacak sanız bu form daha
kullanışlı hale geliyor uzayda bir
bölgeniz varsa o bölge üzerinden
birtakım hesaplar yapmak istiyorsanız o
zaman integral formu daha kullanışlı
hale geliyor lisans seviyesinde genelde
öğretilen şey budur Eee bu ifadeler ve
bunların üzerinden yapılan hesaplar
biraz daha böyle 3 sınıf 4 sınıf
dersleri ve lisans üstü derslerinde
insanlara gösterilir ama işin Özünde
bakın başladığım noktadan şunu
söyleyeyim ki vektör hesabı bir kere çok
önemli bir yer tutuyor yani diverjans
rotasyonel Gaus Teoremi ve stoks Teoremi
bunları bir kere bilmek lazım ki bu
formlar Bu formlar nasıl ilişkili bu
konuda eksiğiniz varsa merceğin ben
değilim onunla matematik kitaplarına şey
yapın başvurun ben size bu denklemlerin
birazcık daha böyle fiziksel olarak ne
anlama geldiğini arka planda neler
yattığını E onları başka forma daha
böyle Optimum formlara nasıl
dönüştürebileceğiniz üzerinden bahsetmek
istiyorum o yüzden şu integral formunu
silelim Ve diferansiyel form üzerinden
devam edelim şimdi dedik ki
elektromanyetizmanın temel problem
elektrik alanı ve manyetik alanı bulmak
yükler ve akımların verildiğini
varsayıyoruz Bunlar verilenler yani R
verilmiş J verilmiş bunları biliyorum
elektrik alanı ve manyetik alanı bulmak
istiyorum Kaç bilinmeyenin var şimdi bir
kere onu soralım kaç bilinmeyenin var
elektrik alan vektörünü bilmiyorum
manyetik alan vektörünü bilmiyorum Bu
bir vektör Dolayısıyla 3 bileşeni var Bu
da bir vektör Dolayısıyla 3 bileşeni var
6 tane bilinmeyen var peki burada kaç
denklem var Ona bakmak lazım şimdi bu
denklemin sol tarafı bir diverjans yani
skaler Bu bir skaler denklem Bu da bir
skaler denklem bir denklem bir denklem 2
denklem buradan geliyor bu denklemin sol
tarafı bir vektör sağ tarafı da bir
vektör bu esasında 3 denklem yani burada
3 denklem gizli Burada da 3 denklem
gizli 3 buradan 3 buradan 6 1 buradan 1
buradan 8 denklem oldu bir kere burada
bir terslik var 3 bilinmeyen 3
bilinmeyen 6 bilinmeyen 8 denklem 6
bilinmeyen 6 denklemle çözülür fazladan
denklem verildiyse size o denklem
sisteminin çözümü dahi olmayabilir böyle
bir Bazı sıkıntılar var bir kere Her
şeyden önce bunu bir anlamak lazım
Burada ne demek istiyor ya bu denklemler
onu konuşuyoruz Eee işin bu noktasına
birazcık nüfuz etmek lazım yani 6
bilinmeyen var 8 denklem var Bu şu
anlama geliyor bu 8 denklemin Eee
Muhtemelen bir kısmı birbirine bağlı
fazladan bilgi verilmiş Yani bu formda
yazılınca fazladan bilgi verilmiş o
bağlı olan kısmı da bize Şu söylüyor
süreklilik denklemi dediğimiz bir şey
var yani yükün değişimiyle akımların
birbirine bağlayabilen burada verilenler
de şey var ya bir yük yoğunluğu var işte
akım yoğunluğu var Bunlar arasında
yazılabilecek bir ifade var mesela o
bizi hani o 8 bağımsız denklemden En
azından kurtarıyor benzer bir ifade de
manyetik yük yoğunluğuyla işte manyetik
akım yoğunluğu arasında yazılabilecek
bir ifadedir Eee onu da yazdığınız zaman
6ı denkleme düşürebiliyor musunuz
indirgemiş olabiliyorsunuz Ama daha
baştan şunu demek istiyorum Bu Formdan
daha böyle Eee Optimum bir şekilde
yazmak ve ifade etmek mümkün mü acaba
elektromanyetizmaya birazcık onu
konuşalım Yani bu bilinmeyen ve denklem
meselesine O yüzden buradan girmek
istedim şimdi 2 numaralı denklemle
başlayacağız 2 numaralı denklem bize ne
diyor bir manyetik alanınız var ve onun
diverjansı daima sıfır olduğunu söylüyor
bir vektörün diverjansı daima 0
ise o
vektörü başka bir vektörün rotasyoneli
olarak yazabilirim ben çünkü herhangi
bir vektörün rotasyonel inin diverjansı
daima 0 veririr bu İlla manyetik alan
şununla bununla alakalı değil
matematikte genel bir teorem bir vektör
alanınız varsa Yani bunu kendiniz
ispatlayabilir şey onun rotasyonel dinin
diverjansı daima sıfır verir Dolayısıyla
manyetik alan daima böyle bir Eee başka
bir vektörün rotasyoneli olarak
yazılabilir tarihsel sebeplerden dolayı
bu vektöre vektör potansiyeli ismi
veriliyor Çünkü bunu üreten bir şey yani
alanlar başka şeylerden üretilebiliyor
fikir olarak bu potansiyel Fikri oradan
biliyoruz birazdan Skylar potansiyeli de
konuşacağız bazı tarihsel seb
sebeplerden dolayı buna vektör
potansiyeli ismi veriliyor Demek ki bu
denklemin artık üzerini silebilirim ben
bu denklemin bana söyleyebileceği şeyi
ben oradan aldım onun bilgisini tükettim
Yani bunu yazdım bir kere Şimdi bu
bilgiyi kullanarak diğer denklemler bize
ne diyor yavaş yavaş onları ayıklamaya
başlayalım oraya geçmeden önce şunu
söylemek lazım ki bu vektör potansiyeli
tek bir potansiyel midir yani manyetik
alanı üreten
Eee sadece tek bir potansiyel mi
olabilir hayır elbette ki Çünkü bu bir
vektör operasyonu şey pardon türev
operasyonu türevde herhangi bir Sabit
ekleyebiliyorsunuz değil mi Dolayısıyla
Bu bir esasında bir aile gibi de
bakabilirsiniz yani a'yı Eee biraz
orasından burasından azcık çekiştirmek
mümkün belli sabitler ekleyerek
çıkararak sabit bir vektör ekleyerek
çıkararak bu konuya döneceğiz Bu önemli
bir konu bunu yapabiliyorum Çünkü burada
esas fiziksel olan şey manyetik alan bu
yardımcı bir fonksiyon gibi düşünün
vektör potansiyeli diye bakıyoruz buna
ama doğrudan bu denklemin bir sonucu
Dolayısıyla o denkleme artık
bakmayacağım Onun üzerini sildim ve
buradan yola çıkarak devam edeceğim bir
sonra bakmamız gereken denklem 3
numaralı denklem yani Faraday yasası
Faraday yasasında manyetik alan için bu
bulduğumuz ifadeyi yerine yazacak
olursak
şu forma getirebilecek miyim bakalım
denkleme bu bir vektör Bu da bir vektör
Eee eş 0 formuna getirebiliyor nasıl
yaptım bunu şöyle bakalım
eee bunu bir kere bu tarafa attım
rotasyonel rotasyonel uzaya göre bir
vektör türev operasyonu yani uzaya göre
bir türev operasyonu ve kısmi türevler
var Bunun içerisinde Bu da bir kısmi
türev kısmi türevlerin sırasını
değiştirebilirsiniz önce zamana göre
türevini alıp Ondan sonra rotasyonel
alabilirsiniz rotasyonel de lineer bir
operatör olduğundan dolayı onun
parantezine de alabilirsiniz yani yanlış
yapmadıysan bunu Bu forma getirmek
mümkün olabiliyor şimdi rotasyonel var
burada ve burada başka bir vektör var bu
vektörün rotasyoneli bize 0 veriyor yine
Matematikteki başka bir teorem de diyor
ki o zaman bu
ifade bu ifade
bir skalerin
diverjansı yanlış söyledim diverjansı
değil gradienti olarak yazılabilir yani
gradiyentin rotasyoneli daima II verir
Bize bakın bir demin bir vektör
potansiyeli yaratmıştım Buradan da bir
tane skaler potansiyel yaratt mış oldum
Böylece yani 3 denklemin de bize
söylediği şey bu şimdi bu bu ifadeyi
yazalım elektrik
alan
+ del
a bö delt
eş
bir skaler potansiyelin diverjansı
olarak yazılabiliyor
şimdi ne yaptım 3üncü denklemi de
tüketmiş oldum yani ikinci denklem bana
söylediği şey buydu 3üncü denklemin bunu
3üncü denklem de yerine koyarak onun da
bana söylediği şeyi Eee bulmuş oldum
Dolayısıyla Onun da üzerini çizebilirim
artık bu noktadan sonra artık elimde
Eğer skaler potansiyel ve vektör
potansiyeli varsa ben elektrik alanı da
bulabiliyorum Eee manyetik alanı da
bulabiliyorum
Dolayısıyla bakın elektrik alan ve
manyetik alan 6 bilinmeyen diyorduk ama
esasında vektör potansiyeli 3 bilinmeyen
skaler potansiyel skaler sayı biri bir
bilinmeyen 4 4E indirg diim bilinmeyen
sayımı yani bilinmeyenleri bu 4
bilinmeyeni bildiğim zaman
eee şeyi bulabiliyorum elektrik alan ve
manyetik alanı verecek bir ifade var
yani a'yı ve a'yı ve f'yi bilmek yeterli
oluyor bu bilinmeyenlerin yerine şu
vektör potansiyeli ve
f'yi yazabilirsiniz yeni bilinmeyenler
olarak Tamam 4 bilinmeyen kaldı geri
kalan iki denklem Bu bir vektör
denklemiyle da öyle değildi bunlar
homojen denklemleri esasında O yüzden
önce bunları tükettim Ondan sonra esas
işte verilenler cinsinden fiziksel
olarak verilenler cinsinden konuşmaya
başladığımız zaman
Eee bu 4 bilinmeyen bu 4 denklemden
çözülebilir 4 denklem derken Burası 3
denklem Burası da bir denklem 4 denklem
ve 4 bilinmeyen bu şekilde çözülebilir
şimdi problemimi esas 4 bilinmeyen 4
denklem gibi daha böyle mantıklı Makul
bir noktaya getirdim bakalım bu noktadan
sonra nerelere getirecek şimdi tahtayı
çok karıştırdım birazcık sileyim bir
nefes leney devam edeyim videoya hemen
küçük bir düzeltme
yapıyorum Bir vektörün rotasyoneli 0a
eşitse o bir skalerin gradyan olarak
yazılabilir demiştik doğru
ancak burada bir eksi işareti var
konvansiyonel sebeplerden dolayı Çünkü
bu skaler potansiyel bizim voltla
ölçtüğümüz potansiyel elektriksel
potansiyel olarak bildiğimiz şey
elektrostatik de
Eee ve o elektrik alan yani volt arttığı
zaman elektrik alanı diğer yönde
olduğunu söylediğinden dolayı bize
buraya bir tane konvansiyon olarak eksi
işareti koyuyoruz yani buradaki
Seçtiğiniz sabit eksiyle çarpmışsın gibi
de olabilir o yüzden bu eksi işaretini
unutmayalım buraya da o eksi işaretini
koyalım şimdi dediğim gibi e bunları bu
yeni iki ifademi kullanarak diğer iki
makvel denkleminin bize ne söylediğine
bakalım Evet vakit kaybetmemek için
videoyu durdurarak
bu iki ifadeyi Yani buradan çektiğim
elektrik alanı ve manyetik alanı 1in ve
4 denklemde yerine yazdım ve şu iki
denklemi elde etmiş oluyoruz bu iki
denklemi elde etmiş oluyoruz nasıl
yaptık hızlıca şey yapalım elektrik
alanı çekecek olursanız bunu bu tarafa
atıyorum eee ondan sonra diverjansı
alıyorum bunun diverjansı almış
oluyorsunuz burada çıktı Eee bu skaler
fonksiyonun gradiyentin diverjansı almış
oluyorsunuz O da nabla kare operatörü
ile ifade ediliyor buna laplasyen ismi
de verilir Eee ve şu formda bir denkleme
dönüştürebiliyor musunuz bu denklemi
ikinci denkleme bakacak olursanız yani
şu denkleme bakacak olursanız aynı
şekilde manyetik alanı tanımını ve
elektrik alanı buradan çekebileceğiniz
Eee tanımını kullanarak Eee ve mesela
rotasyonel rotasyoneli ifadesini falan
kullanmanız gerekiyor
denklemi Bu forma getirebiliyorsunuz
Bunu niye açmadım da bu şekilde bıraktım
onun üzerinden birazcık konuşacağız Eee
Dolayısıyla bu 4 maxvel denkleminin
içeriğini tüketmiş oluyoruz nasıl
tüketmiş oluyoruz yani şu iki denkleme
dönüştürerek tüketmiş oluyoruz bu 4
maxvel denkleminin bize söylediği şey
esasında E bu iki denklemin içerisine
gömülü duruma gelmiş oluyor bunların da
üzerini artık
silebiliriz
Eee ve bu denklemlerle çalışmaya
başlayabiliriz diyeceksiniz ki yani
şimdi daha mı kolay bir hale getirdik
E şöyle daha esnek bir hale getirdik
Çünkü burada elektrik alan ve manyetik
alan fiziksel olarak ölçülebilecek
şeyler ancak benim problemi yeni ifade
ettiğim vektör potansiyeli ve skalar
potansiyelinin seçiminde esnek
davranabiliyorum problemim uygunluğuna
göre onları ben seçebiliyorum e birazdan
bunu konuşacağız bu mevzuyu konuşacağız
burada söylenmesi gereken bir başka
husus Yalnız bu dört denklemi bu iki
denklem haline dönüştürürken bir bedel
ödedik O da
nedir güzelin Birci derece kısmi
diferansiyel denklemler ikinci dereceden
denklemlere dönüşmüş oldu yani iki tane
denklem elde ettiniz ancak ikinci
dereceden diferansiyel denklemler bunlar
bu tip şeyleri fizikte yapıyoruz mesela
klasik mekaniği hatırlayın klasik
mekanikte
E F = ma gibi yazmak mümkün değil mi
hareket denklemini A dediğimiz şey
konumun ikinci türevi Yani bu esasında
ik dereceden bir diferansiyel denk e
veya lagran denklemleri lagran
denklemleri ik dereceden diferansiyel
denklemler Ama mesela n tane 2 dereceden
diferansiyel denklemin varsa onu bir
dönüşümle Hamilton formalizm geçerek
mesela 2n tane bir dereceden
diferansiyel denklem şekline
yazabiliyoruz benzer bir durum söz
konusu burada yani böyle bir dönüşüm
yaptık e faydası zararı işte dediğimiz
gibi problem lemine uygulanabilirliğine
göre belli olacak Eee şimdi A'nın ve FN
seçiminde ne kadar Esnek
davranabiliyorum ne yapabiliyoruz
birazcık onlar üzerinden konuşmak
istiyorum o yüzden şu maksvel denklemler
mizden bir kurtulalım
Evet vektör potansiyelinin ve skalar
potansiyelinin tek olmadığı bir çözüm
ailesi olduğu ve değiştirilebileceğini
zaten videonun başında bahsettik şimdi o
değişimleri nasıl yapacağız Eee bunu
konuşmak istiyorum dediğimiz gibi
tekrarlayalım burada fiziksel olan şey
elektrik alan ve manyetik alan aynı
elektrik alan ve manyetik alanı verdiği
sürece ben eee a la ve f ile
oynayabilirim nasıl oynayabilirim şimdi
a Nereden çıkmıştı hatırlarsanız Eee
bunun doğrudan rotasyoneli manyetik
alanı vermesi gerekiyordu değil mi ve
ben bir
skalerin diverjan Pardon bir skalerin
gradyan inin rotasyoneli her zaman 0
olacağından dolayı A'nın yanına her
zaman böyle bir terim ekleyebilirim bu K
dediğim yeni bir fonksiyon
e keyfi bir fonksiyon skaler olması
yeterli Bu skalerin gradienti
ni buna eklersem aynı manyetik alanı
verir hiçbir şey
değişmez bunu yaptığınız zaman tabii ki
a'yı değiştirmiş oluyorsunuz elektrik
alanın tanımında da a var Ona göre f'yi
de değiştirmeniz gerekiyor Bu tanımı
kullanarak bu tanımı kullanarak e Fi'yi
de şu şekilde değiştirmeniz gerekiyor
Yani A'dan ve f'den e a üssü ve Fi
üssüne geçebiliyorsunuz Eee bunun sağ
aynı elektrik alanı verdiğini Eee yani
şu dönüşümü yaptığınız zaman f'yi de o
şekilde dönüştürmenin size bırakıyorum
göstermeyi çok basit şu şu formülü
kullanmanız gerekiyor Yani a'yı ve fyi a
üssü ve Fi üssü ile değiştirdiğiniz
zaman elektrik alanda manyetik alanda
aynı kalıyor Dolayısıyla bakın a'yı ve
Fi'yi bu şekilde ayarlayabiliyor ayar
kelimesi İngilizcede gauge
transformation deniyor veya gage
invariance deniyor buna ayar inv
varyansı bu ayarı yaptığınız zaman e
hiçbir şey değişmiyor Bu size bir
esneklik sağlıyor probleminizin
çözümünde
şimdi bu nasıl bir esneklik sağlayabilir
nerede fayda sağlayabilir ona bakalım şu
denkleme bakacak
olursak bu denklemin içerisinde Eee Fi
var ve a var acaba sorumuz Şu Ben öyle
yeni bir a üssü seçmek istiyorum yani
problemi yeni bir a üssü cinsinden ifade
etmek istiyorum Burası yok olsun yani a
üssünün diverjansı 0 olacak şekilde bir
eee k'yı seçebilir miyim acaba o problem
üzerinde düşünecek olursak yani yeni A
üssümüzü diverjansı ben 0a eşitlemek
istiyorum İlk başta 0 değildi A'nın bir
diverjansı vardı F olsun o f fonksiyonu
olsun konumun Ve zamanın bir fonksiyonu
Eee yeni A üstümün bu şekilde
tanımladığım a üstümün diverjansı o
zaman bu şekilde tanımlanması gerekiyor
Ve ben bunu 0a eşitlem gerekiyor Bu
nasıl bir denklem buna bakacak olursanız
bu matematikte bilinen bir denklem
arkadaşlar buna poon denklemi ismi
veriliyor Yani bir skalerin Eee Laplace
yanından ürettiğiniz başka bir skaler
var o işte bu skaler eşit oluyor burada
kısmi türevler Tabii bunlar bir kısmı
diferansiyel denklem buna po poon e
denklemi deniyor Eee ve iyi davranan bir
denklem Yani bir çözümleri bilinen bir
denklem Dolayısıyla şunu demek istiyorum
prensipte Bu yapılabilecek şey şu
kafanızı
karıştırmasın Hocam zaten bu denklemi
çözmek için önce a'yı bilmek gerekli
değil mi a'yı bilmem gerekiyor ki ben
bunu yapmam gerekiyor o zaman ne
kolaylık sağladı gibi düşünmeyin Hayır
onu kastetmiyorum diyorum ki her zaman
öyle bir a üssü bulunabilir Yani eğer bu
0dan farklıysa o zaman bu denklemin
çözümünü verecek bir Kay ile
değiştirdiğiniz zaman öyle bir a üsü
bulunabilir bu varsayımı baştan
yapıyorsanız yani
eee şunun ile çalışıyorum Ben şunun ile
çalışıyorum bu ayar ile çalışıyorum
diyorsanız Buna arkadaşlar kulon ayarı
diyoruz kulon
ayarı
yani burayı ben bu denklemde bu yeni bir
a üsü ile çalışıyorum öyle ki
dönüştürmüş bunu aynı şeyleri verecek
Eee burayı yok etmiş oluyorum o zaman
geri kalan denklem Bu da tabii pi üssü
oluyor o zaman yine pi üssünü oluyor şu
denklem Eee de poon denklemi po aon
denklemi dediğim gibi elektrostatik
bahsinde çok karşımıza çıkar ama burada
görüyoruz ki problemi öyle formüle etmek
lazım ki her zaman elektrostatik şeyi
gibi davranabiliyorum durumu gibi
davranabiliyorum yani anlatabiliyor
muyum o yüzden buna e kulon ayarında
çalışmak diyoruz Dolayısıyla Sadece
burayı çözdükten sonra bunun çözümünü bu
Fi üssünü bulup diğerin de yerine
Yazdığınız zaman diğer denklemden de
a'yı çözmek mümkün olabiliyor yani şeyi
de ayırmış oluyorsunuz Böylece nasıl
söyleyeyim
Eee yani iç içe geçmiş Bunlar çiftlenim
denklemler öyle bir dönüşüm yaptım ki
bundan kurtuldum sadece bunu çözdüm
Ondan sonra onu diğer denklemde yerine
koydum bu denklemi çözerek de a'yı
bulabiliyorsunuz değişkenleri
birbirinden ayırarak Eee çözmemize eee
olanak sağlıyor kulon ayarında
çalışırsanız problemde Elbette ki şeyi
bilmek lazım artık keyfi değil Eee
seçtiğim vektör potansiyeli artık belli
yani şu şartı sağlayacak şekilde
seçilmiş durumda Eee Yani diverjansı 0a
eşit olacak şekilde seçilmiş durumda
başka burada nasıl bir ayar seçebiliriz
mesela Kon ayarından başka işimizi
kolaylaştıracak şimdi ona bakalım
yapabileceğiniz bir diğer ayar dönüşümü
de şu ifadeyi 0a
eşitleyen onu da yazalım
şuraya bunu 0a eşitlem buna da
arkadaşlar
lorence ayarı
diyoruz Onu 0a eşitlemek demek buranın
sadece A'ya bağlı bir denklem olarak
kalması anlamına geliyor ve bu denklemde
birazcık tanıdık bir denklem bu denklem
bildiğimiz dalga denklemi dalga denklemi
Bu dalga denkleminin de çözümleri iyi
bilinen bir denklem yani Dalga
denklemini çözdüğünüz zaman buradan
bulduğunuz A'dan tekrar bu şartı 0a
eşitlem miştim ya a'yı tekrar burada
yerine koyarak oradan f'yi de çözmek
mümkün bu şekilde de probleme yaklaşmak
mümkün bu lorence
ayarı adından anlaşılabileceği gibi
lorence dönüşümleriyle ilişkili ve
özellikle Görelilik teorisini etkilerini
hesaba kattığınız da elektromanyetizm da
bu ayarda çalışmak Eee daha avantajlı
bir hale geliyor problemlerinizi
çözerken Bu noktadan ilerisi birazcık
daha işin derinine iniyor Eee artık
dediğim gibi daha spesifik problemler
üzerine yoğunlaşarak Hani konuşmak lazım
işte görelilikte mi bahsedeceğiz
elektrostatik gibi davranmaktan mı
bahsedeceğiz problemlerimizi ama ama
ümit ediyorum ki bu video Eee Maxwell
denklemlerinin sonuçlarını veya onları
birazcık daha derin görmenizi
sağlayabilecek eee bir fayda sunar
dediğim gibi bu konuda ben eee bir
eksiklik görüyorum açıkçası çevremdeki
öğrenci arkadaşlar da evet tamam bu
denklemler var Ama işte bunlar nasıl
çözülecek nasıl davranılacağını
faydası dokunmuştur Herkese selamlar
diğer videolarda görüşmek üzere
浏览更多相关视频
This is why you're learning differential equations
This Downward Pointing Triangle Means Grad Div and Curl in Vector Calculus (Nabla / Del) by Parth G
The Electromagnetic field, how Electric and Magnetic forces arise
A Lei de Ampère-Maxwell: Campos elétricos induzem campos magnéticos.
We1 EM ww
Introducing Weird Differential Equations: Delay, Fractional, Integro, Stochastic!
5.0 / 5 (0 votes)