Shifted Conics | Parabolas where the Vertex is not the Origin, Finding Focus and Directrix

Summary

Este video explica cómo trabajar con parábolas desplazadas, que no tienen su vértice en el origen. Se cubren los pasos para encontrar el vértice, el foco y la directriz de parábolas que han sido trasladadas horizontal y verticalmente. Se aborda cómo completar el cuadrado para transformar la ecuación de la parábola a su forma estándar, lo que facilita la identificación de los parámetros clave. Además, se muestra cómo determinar la dirección de apertura de la parábola y cómo graficarla adecuadamente, utilizando ejemplos concretos para ilustrar el proceso.

Takeaways

• 😀 Se mostró cómo encontrar el vértice, foco y la directriz de una parábola centrada en el origen (0,0).
• 😀 Ahora se trata de parábolas desplazadas, donde el vértice no está en el origen sino en h, k.
• 😀 Para una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo, se debe considerar el desplazamiento horizontal (h) y vertical (k).
• 😀 La fórmula general para una parábola desplazada es (x-h)² = 4p(y-k), donde h y k representan el vértice.
• 😀 Si p es positivo, la parábola se abre hacia arriba, y si p es negativo, se abre hacia abajo.
• 😀 También se analizó el caso de parábolas que se abren hacia la derecha o hacia la izquierda, con el vértice en h, k.
• 😀 Si la parábola se abre hacia la derecha, p es positivo; si se abre hacia la izquierda, p es negativo.
• 😀 Se proporcionó un ejemplo para encontrar el vértice, foco, directriz y trazar la gráfica de una parábola desplazada.
• 😀 Para completar el cuadrado, se mostró cómo transformar una ecuación cuadrática en la forma estándar de una parábola desplazada.
• 😀 El valor de p se encuentra a partir de la ecuación de la parábola, y se usa para encontrar el foco y la directriz.
• 😀 El foco de la parábola es un punto dentro de la curva, mientras que la directriz es una línea paralela a la dirección de apertura de la parábola.

Q & A

¿Qué diferencia existe entre una parábola centrada en el origen y una parábola desplazada?

Una parábola centrada en el origen tiene su vértice en (0,0), mientras que una parábola desplazada tiene su vértice en un punto (h,k), resultado de moverla h unidades a la derecha o izquierda y k unidades hacia arriba o abajo.

¿Cuál es la ecuación estándar de una parábola vertical desplazada?

La ecuación estándar de una parábola vertical desplazada es (x - h)² = 4p(y - k), donde (h,k) es el vértice y p determina la distancia entre el vértice y el foco o la directriz.

¿Qué representa el parámetro 'p' en la ecuación de una parábola?

El parámetro 'p' representa la distancia desde el vértice hasta el foco y también desde el vértice hasta la directriz. Si p es positivo, la parábola abre hacia arriba o hacia la derecha; si es negativo, abre hacia abajo o hacia la izquierda.

¿Cómo se determina si una parábola abre hacia arriba o hacia abajo?

Se determina observando el signo de p. Si p > 0, la parábola abre hacia arriba; si p < 0, abre hacia abajo.

¿Cuál es la forma estándar de una parábola horizontal desplazada?

La forma estándar de una parábola horizontal desplazada es (y - k)² = 4p(x - h). En este caso, la parábola abre hacia la derecha si p > 0 y hacia la izquierda si p < 0.

¿Cómo se completa el cuadrado en una ecuación para obtener la forma estándar de una parábola?

Para completar el cuadrado, se toma la mitad del coeficiente de x o y, se eleva al cuadrado, y se suma ese valor a ambos lados de la ecuación. Esto permite expresar un trinomio cuadrado perfecto en forma factorizada.

En el ejemplo dado, ¿cuál es la ecuación después de completar el cuadrado?

La ecuación después de completar el cuadrado es (x - 2)² = 8(y - 3), que corresponde a una parábola vertical desplazada hacia (2,3).

¿Cómo se calcula el valor de p en el ejemplo de la parábola?

Se identifica que 4p = 8, por lo tanto p = 2.

¿Cuál es el vértice, el foco y la directriz de la parábola del ejemplo?

El vértice es (2,3). El foco se encuentra en (2,5), ya que está a una distancia p = 2 por encima del vértice. La directriz es la recta y = 1, dos unidades por debajo del vértice.

¿Cómo afecta el desplazamiento (h,k) a la gráfica de una parábola?

El desplazamiento (h,k) traslada toda la parábola h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente, moviendo el vértice, el foco y la directriz en consecuencia, pero manteniendo la misma forma y apertura.

¿Qué pasos se deben seguir para graficar una parábola desplazada?

Primero se obtiene la forma estándar de la ecuación, luego se identifica el vértice (h,k) y el valor de p. Con estos datos se ubican el foco y la directriz, y finalmente se dibuja la parábola abriéndose en la dirección que indica el signo de p.