LA CONJETURA DE COLLATZ

Summary

En este video se explora la conjetura de Collatz, un enigma matemático que sugiere que, al aplicar una secuencia específica de operaciones a cualquier número natural (dividirlo entre 2 si es par o multiplicarlo por 3 y sumarle 1 si es impar), siempre se llegará al número 1. A través de un ejemplo práctico con el número 13, se muestra cómo esta secuencia funciona. Aunque la conjetura ha sido verificada para números menores que 2^68, aún no ha sido demostrada en su totalidad para todos los números. El video también sugiere una formulación inversa del problema y alienta a la audiencia a explorar este enigma matemático.

Takeaways

• 😀 El nuevo curso completo de delineación para bachillerato ya está disponible con un 50% de descuento.
• 😀 La conjetura de Collatz se basa en la siguiente secuencia: si el número es par, se divide entre 2; si es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.
• 😀 A través de la conjetura de Collatz, se afirma que siempre se llegará al número 1 al aplicar estas reglas, sin importar el número inicial.
• 😀 Se muestra un ejemplo con el número 13: la secuencia generada es 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
• 😀 La función F de la conjetura de Collatz se define como F(N) = N / 2 si N es par, o F(N) = 3N + 1 si N es impar.
• 😀 La conjetura es una función iterativa que sigue repitiéndose hasta llegar al número 1, independientemente del número inicial.
• 😀 Si se parte del número 7, se obtiene la secuencia 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
• 😀 Cuando se llega al 1, la secuencia sigue en un ciclo: 1 → 4 → 2 → 1.
• 😀 La conjetura ha sido comprobada hasta los números menores que 2 elevado a 68, pero aún no se ha demostrado para todos los números naturales.
• 😀 La conjetura de Collatz también puede ser abordada de forma inversa, construyendo un mapa de los valores que pueden llevar al número 1.
• 😀 La conjetura sigue siendo un misterio y no ha sido demostrada completamente, pero se ha comprobado computacionalmente para grandes cantidades de números.

Q & A

¿Qué es la conjetura de Collatz?

La conjetura de Collatz es una hipótesis matemática que afirma que, comenzando con cualquier número natural, aplicando una serie de reglas iterativas, siempre se llegará al número 1. Si el número es par, se divide entre 2; si es impar, se multiplica por 3 y se le suma 1.

¿Qué ocurre cuando aplicamos la conjetura de Collatz al número 13?

Al aplicar la conjetura al número 13, se siguen los pasos de la secuencia: 13 (impar) → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1, y se llega al número 1.

¿Cómo se define la función F en la conjetura de Collatz?

La función F se define de la siguiente manera: para un número natural N, si N es par, F(N) = N / 2; si N es impar, F(N) = 3N + 1. Esta función es iterativa y se aplica repetidamente hasta llegar al número 1.

¿Qué significa que la función F sea iterativa?

Que la función F sea iterativa implica que se aplica varias veces de manera sucesiva, utilizando el resultado de la aplicación anterior para generar el siguiente, hasta que se llegue a un valor final, en este caso, el número 1.

¿Qué ocurre cuando se llega al número 1 en la conjetura de Collatz?

Cuando se llega al número 1, la secuencia entra en un ciclo repetitivo. Específicamente, 1 es impar, por lo que se multiplica por 3, se le suma 1 (obteniendo 4), luego 4 es par, se divide entre 2 (obteniendo 2), y finalmente 2 es par, se divide entre 2 nuevamente, regresando al 1.

¿Se ha demostrado la conjetura de Collatz para todos los números?

No, la conjetura de Collatz ha sido verificada para todos los números menores que 2 elevado a 68, pero aún no se ha demostrado para todos los números naturales posibles.

¿Cómo se puede abordar la conjetura de Collatz de manera inversa?

Se puede abordar la conjetura de Collatz de manera inversa analizando qué números pueden llevar al 1. Por ejemplo, el 2 lleva al 1, el 4 lleva al 2, y así sucesivamente, construyendo un mapa de valores que se pueden obtener al aplicar la secuencia de la conjetura en reversa.

¿Qué implica el ciclo que ocurre al llegar al número 1 en la conjetura de Collatz?

El ciclo que ocurre al llegar al número 1 implica que, una vez alcanzado 1, la secuencia repetirá indefinidamente los mismos valores: 1 → 4 → 2 → 1. Este ciclo es un comportamiento predecible de la secuencia.

¿Cuál es el objetivo principal de la conjetura de Collatz?

El objetivo principal de la conjetura de Collatz es demostrar que, sin importar el número con el que se comience, la secuencia siempre llegará al número 1. A pesar de ser verificada para muchos números, aún no se ha probado de manera general para todos los números naturales.

¿Qué se ha logrado computacionalmente con respecto a la conjetura de Collatz?

Computacionalmente, la conjetura de Collatz ha sido comprobada para todos los números menores que 2 elevado a 68, pero aún falta una demostración formal para todos los números naturales en general.