Método de Runge-Kutta de 4to orden para solución de EDO's
Summary
TLDREl método de Runge-Kutta de cuarto orden es una técnica común para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricamente. Este método, desarrollado por los autores Runge y Kutta, se caracteriza por su alta precisión utilizando una aproximación basada en la derivada de cuarto orden. Para aplicarlo, se requiere conocer el tiempo inicial y las condiciones iniciales de la función. El proceso implica calcular cuatro aproximaciones en cada iteración, combinando sus pendientes para obtener una solución numérica más precisa. El error se puede minimizar ajustando el tamaño del paso, lo que permite acercarse más al valor real de la solución. La precisión del método se ve reflejada en su capacidad para aproximar la solución de una ecuación diferencial a través de un vector de soluciones que representa los puntos evaluados a lo largo del dominio de la variable independiente.
Takeaways
- 📚 El método de Runge-Kutta de cuarto orden es uno de los métodos más utilizados para generar soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias.
- 🔢 Se utiliza una aproximación basada en una derivada de cuarto orden, lo que le da a este método su clasificación de 'cuarto orden'.
- 🕒 Para entender el principio del método, es importante considerar una función de la solución de una ecuación diferencial que depende de una variable independiente, como el tiempo.
- 📈 Para resolver una ecuación diferencial numéricamente, se requiere conocer tanto el tiempo inicial como la condición inicial de la solución.
- 🎯 El método de Runge-Kutta se basa en calcular la solución real en un punto dado, como t_1, utilizando cuatro aproximaciones basadas en la pendiente.
- 🧩 Estas cuatro aproximaciones se promedian para generar el siguiente punto en la trayectoria, lo que nos acerca a una solución numérica.
- 📉 A pesar de que siempre habrá algún tipo de error entre la solución real y la numérica, el método de Runge-Kutta es bastante preciso.
- ➗ El error en la solución numérica puede disminuir manipulando el tamaño del paso (h), siendo más pequeño el paso, más precisa la solución.
- 🔧 El método de Runge-Kutta involucra el cálculo de varias iteraciones (k_1, k_2, k_3, k_4) utilizando la ecuación del método para determinar la siguiente iteración.
- 🔄 Cada iteración depende de la condición inicial, el tamaño del paso y el estado anterior de la aproximación, lo que es crucial para calcular las siguientes aproximaciones.
- 📝 La solución de una ecuación diferencial no se da solo por el siguiente punto, sino por el conjunto de todos los puntos evaluados, lo que requiere almacenar una gran cantidad de datos.
Q & A
¿Qué es el método de Runge-Kutta de cuarto orden y por qué es importante?
-El método de Runge-Kutta de cuarto orden es una técnica numérica utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Es importante porque proporciona una aproximación precisa de la solución, utilizando una aproximación basada en una derivada de cuarto orden.
¿Cuáles son los requisitos iniciales necesarios para resolver una ecuación diferencial mediante el método de Runge-Kutta?
-Para resolver una ecuación diferencial con el método de Runge-Kutta, se necesita conocer el tiempo inicial y la condición inicial de la función, que es el valor de la función en ese tiempo dado.
¿Cómo se utiliza el método de Runge-Kutta para calcular la solución numérica de un punto a otro?
-El método de Runge-Kutta calcula la solución numérica a través de cuatro iteraciones que se basan en la pendiente. Luego, se promedia estas cuatro aproximaciones para generar el siguiente punto en la trayectoria.
¿Qué es un 'tamaño de paso' en el contexto del método de Runge-Kutta y cómo afecta la precisión de la solución?
-El 'tamaño de paso' es la distancia entre los puntos de evaluación en el tiempo. Cuanto más pequeño sea el tamaño de paso, más preciso será la solución numérica, ya que se aproximará más al valor real de la solución.
¿Cómo se definen las ecuaciones para calcular las aproximaciones en el método de Runge-Kutta de cuarto orden?
-Las ecuaciones para calcular las aproximaciones en el método de Runge-Kutta de cuarto orden se definen mediante una combinación de la condición inicial, el tamaño de paso y las funciones de la ecuación diferencial evaluadas en puntos específicos.
¿Qué son 'k1', 'k2', 'k3' y 'k4' en el método de Runge-Kutta y cómo se relacionan con las iteraciones?
-En el método de Runge-Kutta, 'k1', 'k2', 'k3' y 'k4' son aproximaciones intermedias que se calculan en cada iteración para determinar la siguiente aproximación de la solución. Cada una depende de la función de la ecuación diferencial evaluada en diferentes puntos.
¿Cómo se relaciona la variable independiente con la variable dependiente en el contexto del método de Runge-Kutta?
-La variable independiente, generalmente el tiempo, es la que se manipula directamente en el método de Runge-Kutta. La variable dependiente es la función que se está calculando y su valor cambia en función de la variable independiente.
¿Por qué es necesario almacenar todos los puntos intermedios en la solución de una ecuación diferencial?
-Es necesario almacenar todos los puntos intermedios porque la solución de una ecuación diferencial es una función continua y se representa mejor mediante una infinidad de puntos. Esto permite obtener una aproximación más precisa de la solución.
¿Cómo se determina el número total de puntos en la solución final del método de Runge-Kutta?
-El número total de puntos en la solución final se determina por el tamaño de paso 'h' y el rango de tiempo que se está evaluando. Cuanto más chico sea 'h', más puntos habrá en la solución.
¿Cómo se puede visualizar la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales utilizando el método de Runge-Kutta?
-Se puede visualizar la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales utilizando el método de Runge-Kutta al graficar los puntos calculados a lo largo del tiempo, lo que permite observar la trayectoria de la solución numérica.
Outlines
📚 Introducción al Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden
El primer párrafo introduce al Método de Runge-Kutta de cuarto orden, una técnica común para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricamente. Se destaca que este método es de cuarto orden ya que utiliza una aproximación basada en la derivada de cuarto orden. Se menciona la importancia de conocer la condición inicial y el valor de la función en ese momento inicial para resolver cualquier ecuación diferencial. El método se basa en calcular aproximaciones mediante cuatro iteraciones, las cuales se promedian para generar el siguiente punto en la solución numérica. Además, se enfatiza que la precisión del método puede ser ajustada mediante el tamaño del paso, siendo más pequeño el paso, más precisa la solución.
🔍 Proceso detallado del Método de Runge-Kutta
El segundo párrafo se enfoca en los detalles del proceso del Método de Runge-Kutta. Se describe cómo se calculan las aproximaciones 'k1', 'k2', 'k3' y 'k4', que dependen de la función de la ecuación diferencial evaluada en un punto 'x_n' más un término proporcional al tamaño del paso 'h'. Se resalta que cada una de estas aproximaciones depende del estado anterior de la aproximación, lo que implica que para calcular 'k2' se requiere 'k1', y así sucesivamente. Además, se menciona la importancia de almacenar todos los puntos calculados, desde la condición inicial hasta la solución final, para representar la función solución de la ecuación diferencial.
📈 Vector de Soluciones y Ejercicio de Aplicación del Método
El tercer párrafo habla sobre la representación de la solución de una ecuación diferencial como un vector de soluciones, que incluye todos los puntos desde la condición inicial hasta la solución final. Se explica que el tamaño del paso 'h' determina la distancia entre cada punto en el vector, y que un paso más pequeño resulta en una solución más aproximada. Se sugiere que para obtener una solución más precisa, se deben calcular más puntos. Finalmente, se menciona la intención de realizar un ejercicio práctico aplicando el Método de Runge-Kutta para visualizar las soluciones que se requieren.
Mindmap
Keywords
💡Método de Runge-Kutta
💡Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
💡Condición Inicial
💡Tamaño de Paso
💡Iteración
💡Aproximación
💡Pendiente
💡Precisión
💡Soluciones Numéricas
💡Vector de Soluciones
Highlights
Uno de los métodos más utilizados para generar soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias es el método de Runge-Kutta de cuarto orden.
Este método es conocido como un método de cuarto orden debido a que utiliza una aproximación basada en la derivada de cuarto orden.
El principio del método se basa en determinar la condición inicial en un tiempo cero para resolver la ecuación diferencial.
Para resolver cualquier ecuación diferencial mediante métodos numéricos, es necesario conocer tanto el tiempo inicial como la condición inicial.
El método de Runge-Kutta calcula cuatro aproximaciones en base a la pendiente y realiza un promedio para generar el siguiente punto.
La precisión del método se puede mejorar utilizando un tamaño de paso más pequeño, lo cual reduce el error.
La ecuación del método de Runge-Kutta de cuarto orden utiliza una combinación de las derivadas evaluadas en puntos intermedios.
Cada una de las cuatro derivadas intermedias (k1, k2, k3, k4) se calcula en base a las condiciones iniciales y el tamaño de paso.
El valor de k2 depende de la misma condición inicial y del estado anterior de la aproximación.
El método requiere almacenar todos los puntos evaluados para obtener una solución precisa y continua de la ecuación diferencial.
La solución del sistema de Runge-Kutta es un vector que lleva todos los puntos desde la condición inicial hasta la solución final.
La precisión de la solución aumenta con un mayor número de puntos evaluados, lo cual se logra con un tamaño de paso más pequeño.
El método de Runge-Kutta es un método numérico preciso para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
La representación de la solución de una ecuación diferencial como una infinidad de puntos asegura una aproximación más precisa.
Es fundamental almacenar tanto los valores de la variable independiente como los de la función para representar la solución completa.
Transcripts
uno de los métodos más utilizados para
generar soluciones numéricas de
ecuaciones diferenciales ordinarias es
el método de rege q está de cuarto orden
ejecuta son los autores de la propuesta
de este método y se le conoce como un
método de cuarto orden debido a que se
utiliza una aproximación en base a la
una derivada de cuarto orden
en general para entender el principio
acerca de este método
pensemos en
si está estamos hablando de ver una
función
de la solución de una ecuación
diferencial que depende de la variable
independiente que es el tiempo pues el
método ejecuta lo que hace es que en
base a una primera condición inicial
para un tiempo cero
determinamos cuál es esta condición
inicial y necesitamos conocer cuál es el
valor de la función en ese tiempo dado
quiere decir que para resolver cualquier
ecuación diferencial mediante métodos
numéricos siempre se necesita conocer
tanto el tiempo inicial o tanto el
tiempo inicial como la condición inicial
o la solución que nosotros conocemos
generalmente estas soluciones se asignan
a valores de algo conocido si nosotros
por ejemplo pensamos que la ecuación
diferencial corresponde a un móvil que
se deja caer de cierta altura pues la
altura inicial es un dato que yo sí
puedo considerar sería mi condición
inicial si yo tengo un proyectil que va
a ser disparado desde el suelo pues la
condición inicial se podría conducir de
conocer como cero en un tiempo cero dado
a su vez podríamos hablar de la
velocidad o de algún tipo de parámetro
necesario entonces bueno el método de
ejecutar en base a estos dos
parámetros que mencionamos aquí va a
hacer lo siguiente si yo quiero calcular
la la solución real supongamos que la
solución real es el siguiente punto de
un tercero a un t 1
el siguiente punto evaluado de la
solución real estaría dado aquí
en un x1 y bueno la distancia que existe
entre este para
para acercarnos a una solución numérica
oa una aproximación se basa en cuatro
iteraciones quiere decir que el método
de ron ejecuta va a calcular cuatro
aproximaciones en base a la pendiente
y estas cuatro aproximaciones al momento
de hacer un promedio de ellas nos va a
generar un siguiente punto
entonces bueno en la trayectoria
seguiría la siguiente seguir el
siguiente desplazamiento en donde bueno
vamos nosotros a encontrar
es muy común encontrar algún tipo de
error
entre la solución real que sería esta la
solución numérica que calculamos pero
bueno este método de cuarto orden es un
método bastante preciso el error que
vamos a encontrar se puede llegar a
disminuir si entre cada interacción que
nosotros tenemos manejamos lo que se
conoce como un tamaño de paso
y mientras menor sea el tamaño de paso
más preciso va a ser nuestra solución
numérica quiere decir que en lugar de
tener este tipo de error nosotros
podríamos acercarnos más al valor real
de la solución y bueno el método de rege
q está ocupan las siguientes ecuaciones
nosotros necesitamos
calcular en base a una siguiente
iteración que se le conoce como jtm 1
necesitamos
en el que es la condición inicial más
un sexto del tamaño de paso
x cada uno
más dos veces
k2
más dos veces
3
máscara 4
esta es la ecuación del método de ron gq
está toda la información que necesitamos
para calcular la siguiente iteración
viene dada aquí necesitamos una
condición de n un tamaño de paso h y los
parámetros que en este caso las
funciones o aproximaciones son 4 debido
al orden y cada uno hasta acá 4 en donde
cada uno
cada uno viene dado por la función
de la ecuación diferencial evaluada en x
n coma
donde x
esta es la variable
independiente
y esta es la variable independiente
en el caso de nuestra función si
utilizamos en lugar de xy utilizamos x
con el tiempo pues esto vendría dado por
efe
cn coma
xd realmente el orden de la vida el
nombre que tomen las variables es
y no fundamental porque podemos hacer un
cambio de variable y llegar de esta
aproximación a esta de aquí nada más es
importante mencionar que x aquí es la
variable independiente y es la variable
dependiente ahora acá nos va a tomar el
valor de la función
evaluada en
x n
más
un medio del tamaño de paso
tiene más
un medio
del tamaño de paso multiplicado a su vez
por cada uno
fíjense que el valor de cada dos depende
de la misma condición inicial para los
tiempos de la misma condición inicial de
la función del tamaño de paso pero
dependemos también del estado anterior
de la aproximación quiere decir que para
calcular casos yo requiero de cada uno y
sus
consecutivamente obtendríamos lo
siguiente para el valor de cada tres
tendríamos x
dn
más un medio de h
más un medio
ph por
k2
y k4 sería la última iteración
viene dado por
x
n
+ h completamente es el siguiente paso
completo
cdn
más h veces
3
vamos a poner aquí nada más donde x de n
es la condición inicial
ign
bueno esta es condición inicial para el
tiempo
y mejor que decir que el tiempo
para la variable
de independientes
y cdn sería la condición inicial
para la variable
dependiente
y bueno a partir de esto se puede
calcular la siguiente iteración es
importante mencionar que debido a lo que
vimos en la introducción de ecuaciones
diferenciales la solución de una
ecuación diferencial no está dada nada
más por el siguiente punto
en este caso estamos interesados
los puntos subsiguientes que llegue a
tomar una función el conjunto de todos
estos puntos
es la solución en la que estamos
interesados quiere decir que yo necesito
almacenar todos los datos que están aquí
marcados como x 0
x 1
x2
x 3 hasta 1 x
y este vector que va a ser el vector
solución
va a llevar todos los puntos
que obtuvimos desde la condición inicial
hasta nuestra solución final el número
de puntos que evaluemos entonces
todo esto considerando que entre canadá
punto que está marcado aquí va a existir
un tamaño de paso de h quiere decir que
entre x0 y el valor de x1 existe una
dimensión a una distancia de h repito
mientras más chico sea el valor del
tamaño de paso mientras más chico sea h
más aproximada sería la solución ya que
tendríamos más puntos aquí para para
evaluar y además de obtener los valores
de x necesitamos también calcular los
valores resultantes de la función
que sería desde cero
y uno
de 2
hasta 19 n
entonces esta es la solución del sistema
de ejecutar
es un vector de soluciones y es un
vector debido a que la solución de una
ecuación diferencial dijimos que es una
función por lo tanto una función debe
estar representada por una infinidad de
puntos mientras más puntos calculemos
más preciso sería el sistema entonces
vamos a hacer un ejercicio en base a
este método de roque kuta y vamos a
visualizar cuáles serían las soluciones
que requerimos
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