DEMONSTRATION : Vecteurs colinéaires ⇔ Déterminant nul - Seconde

Summary

Dans cette vidéo, nous démontrons la propriété qui dit que deux vecteurs sont collinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. La démonstration se fait en deux étapes : d'abord, en supposant que les vecteurs sont collinéaires et en prouvant que leurs coordonnées sont proportionnelles, puis en prouvant la réciproque en supposant que le déterminant est nul. Le script aborde aussi la notion de proportionnalité et de produit en croix, illustrant la relation entre les coordonnées des vecteurs, et conclut que si le déterminant est nul, les vecteurs sont collinéaires. Cette démonstration se termine avec la conclusion formelle de la propriété.

Takeaways

• 😀 La vidéo porte sur la démonstration de la propriété des vecteurs collinéaires via les déterminants.
• 😀 Deux vecteurs u et v sont collinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
• 😀 La démonstration repose sur le fait que les coordonnées des vecteurs u et v sont proportionnelles si et seulement si le déterminant est nul.
• 😀 La propriété des vecteurs collinéaires peut être formulée sous forme d'une équation de proportionnalité entre les coordonnées.
• 😀 La démonstration commence en supposant que les vecteurs sont collinéaires et aboutit à l'égalité des coordonnées sous forme de déterminant nul.
• 😀 Si l'un des vecteurs est nul, la propriété est immédiatement vraie puisque les coordonnées seront nulles.
• 😀 Les vecteurs u et v sont collinéaires si un scalaire k existe tel que u = k * v.
• 😀 La démonstration inclut un passage par un tableau de proportionnalité pour démontrer l'égalité des coordonnées.
• 😀 L'égalité xy' - y' exprime = 0 est utilisée pour relier la colinéarité des vecteurs à un produit en croix.
• 😀 La réciproque de la propriété est également démontrée : si le déterminant est nul, alors les vecteurs sont collinéaires.
• 😀 La démonstration dans les deux sens permet de conclure que si deux vecteurs sont collinéaires, leur déterminant est nul, et réciproquement.

Q & A

Que signifie la colinéarité de deux vecteurs dans ce contexte ?

La colinéarité de deux vecteurs signifie que leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire qu'il existe un réel k tel que le vecteur hu est égal à k fois le vecteur v.

Quelle est la propriété démontrée dans cette vidéo ?

La propriété démontrée est que deux vecteurs hu et v sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

Comment peut-on réécrire l'égalité qui lie les coordonnées des vecteurs hu et v ?

L'égalité qui lie les coordonnées des vecteurs hu et v peut être réécrite sous la forme d'un déterminant : déterminant(hu, v) = 0, ce qui est équivalent à l'égalité x*y' - y*x' = 0.

Pourquoi la démonstration commence-t-elle par supposer que les vecteurs hu et v sont nuls ?

La démonstration commence par supposer que les vecteurs sont nuls car, dans ce cas, l'égalité x*y' - y*x' = 0 est évidente, puisque toutes les coordonnées sont égales à zéro.

Que signifie le critère de colinéarité mentionné dans la vidéo ?

Le critère de colinéarité, aussi appelé critère de Cramer, stipule que deux vecteurs hu et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que hu = k * v.

Quel est le lien entre les coordonnées des vecteurs hu et v dans un tableau de proportionnalité ?

Les coordonnées des vecteurs hu et v sont proportionnelles, ce qui signifie qu'elles peuvent être représentées dans un tableau de proportionnalité, d'où on peut déduire que le produit en croix de ces coordonnées est nul.

Qu'est-ce que signifie 'x*y' - y*x' = 0' dans le contexte de la colinéarité ?

'x*y' - y*x' = 0' est l'expression algébrique qui découle du fait que les coordonnées des deux vecteurs hu et v sont proportionnelles, ce qui montre leur colinéarité.

Quelle est l'importance de la démonstration dans les deux sens ?

La démonstration dans les deux sens est importante pour prouver l'équivalence de la propriété : si les vecteurs sont colinéaires, alors leur déterminant est nul, et réciproquement, si leur déterminant est nul, alors les vecteurs sont colinéaires.

Que signifie le terme 'réel k' dans la démonstration ?

Le terme 'réel k' dans la démonstration représente un facteur de proportionnalité entre les coordonnées des vecteurs hu et v. Il permet de dire que hu = k * v.

Qu'est-ce que cela implique si le déterminant des vecteurs hu et v est nul ?

Si le déterminant des vecteurs hu et v est nul, cela signifie que les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles, ce qui implique que les vecteurs sont colinéaires.