Representación matricial de una transformación lineal r3 a r2

Summary

The video is abnormal, and we are working hard to fix it.
Please replace the link and try again.

The video is abnormal, and we are working hard to fix it.
Please replace the link and try again.

Q & A

什么是线性变换的第一个公理？

第一个公理要求验证向量的加法是否保持不变，即变换后的向量的和是否等于每个变换后向量的和。在本视频中，通过检验变换后的两个向量的和，确认了这一点。

如何验证线性变换的第二个公理？

第二个公理要求检验数乘与变换的关系，具体来说，就是变换后的标量倍数向量是否等于标量倍数后变换的向量。通过代入一个任意的实数α，证明了这一点。

在计算矩阵表示时，如何确定基向量？

首先为R³选择一个标准基，即(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)。然后，将每个基向量代入线性变换中，得到变换后的结果，这些结果构成了矩阵的列向量。

什么是R²的维度？它如何影响线性变换的图像？

R²的维度为2，因此线性变换的图像空间的维度不能超过2。变换的图像是R²的子空间，因此它的维度也为2。

如何计算线性变换的核？

计算线性变换的核需要通过矩阵的增广矩阵，进行行简化，得到该矩阵的零空间。核是一个由满足矩阵方程Ax=0的所有向量构成的子空间。

核的维度是如何确定的？

核的维度由其基向量的数量决定。在本视频中，通过行简化矩阵并解决方程，找到了核的基向量。核的维度为1，表示它是由一个基向量生成的子空间。

线性变换的图像空间和矩阵的列空间有什么关系？

根据定理，线性变换的图像空间等同于矩阵的列空间，即图像空间由矩阵的列向量所张成。

如何确定哪些向量是线性独立的？

线性独立的向量是指无法通过标量倍数从其他向量表示出来的向量。在本视频中，证明了(1,1)和(-10,2)是线性独立的，因为它们不是标量倍数关系。

什么是R²的生成空间？

R²的生成空间是由一组线性独立的向量所构成的空间。通过两个线性独立的向量可以生成整个R²空间，这在视频中得到了证明。

如何利用变换矩阵确定R²的维度？

根据变换的矩阵结构，我们可以通过列空间的维度来确定图像的维度。视频中通过移除不必要的列向量，最终得出图像的维度为2。