State Space Model 4

Summary

В этом видео рассматривается процесс преобразования электрической цепи в состояние с использованием представления в пространстве состояний. Сначала выделяются элементы, накапливающие энергию — катушка индуктивности и конденсатор, которые становятся состояниями системы. Далее проводится анализ схемы, получение уравнений состояния для тока через индуктивность и напряжения на конденсаторе, а также преобразование их в матричную форму. В конце описывается, как ток через резистор выражается через напряжение на конденсаторе, и приводится финальное представление системы в стандартной форме состояния. Это подход к моделированию динамики цепей для анализа стабильности и управления.

Takeaways

• 😀 Нужно найти представление состояния для цепи с резистором, индуктором и конденсатором.
• 😀 В качестве переменных состояния выбираются ток через индуктивность (IL) и напряжение на конденсаторе (VC).
• 😀 Для нахождения производных состояния используются уравнения: VC_dot = 1/C * IC и IL_dot = 1/L * VC.
• 😀 В первом контуре уравнение для входного напряжения выражается через напряжение на индукторе и конденсаторе.
• 😀 Напряжение на резисторе VR приравнивается к напряжению на конденсаторе VC, так как они параллельны.
• 😀 После подстановки уравнений для напряжения на индукторе, получаем: L * dIL/dt = VI - VC.
• 😀 Для получения производной IL выражаем dIL/dt = 1/L * (VI - VC).
• 😀 Во втором контуре ток через конденсатор IC равен разности между током через индуктивность и током через резистор.
• 😀 Используя Ohm's law для тока через резистор, находим: IC = IL - VR/R и выражаем его через VC.
• 😀 На основе уравнения для IC находим, что VC_dot = 1/C * (IL - VC/R).
• 😀 Итоговая система уравнений записывается в матричной форме, что позволяет представить модель состояния цепи: X_dot = A * X + B * U.

Q & A

Что такое представление в пространстве состояний?

Представление в пространстве состояний — это математическое представление динамики системы, где состояние системы описывается с помощью вектора состояний, а изменения состояний приводят к системе дифференциальных уравнений.

Какие элементы в цепи играют роль хранения энергии?

В цепи элементы, которые играют роль хранения энергии, — это индуктивность (индуктор) и ёмкость (конденсатор). Эти элементы служат для накопления энергии в виде магнитного поля и электрического поля соответственно.

Какие переменные состояния были выбраны в примере?

В примере выбраны две переменные состояния: ток через индуктивность (I_L) и напряжение на конденсаторе (V_CE).

Что такое производные переменных состояния и как их вычислить?

Производные переменных состояния — это скорости изменения этих переменных во времени. Для V_CE вычисляется производная как IC/C, а для I_L — как V_C/L.

Как была получена производная для тока через индуктивность?

Производная тока через индуктивность (I_L) была получена, используя уравнение для индуктивности, которое гласит, что напряжение на индуктивности (V_L) равно L * dI_L/dt. Из этого уравнения была получена форма dI_L/dt = (V_in - V_C) / L.

Как была получена производная для напряжения на конденсаторе?

Производная для напряжения на конденсаторе была найдена через уравнение для ёмкости: IC = C * dV_C/dt. Это было выражено через ток через индуктивность (I_L) и напряжение на конденсаторе (V_C), где IC = (I_L - V_R/R), и напряжение на резисторе и конденсаторе одинаково.

Как выражается ток через резистор через напряжение на конденсаторе?

Ток через резистор выражается через напряжение на конденсаторе с помощью закона Ома. Ток I_R = V_C / R, так как напряжение на резисторе равно напряжению на конденсаторе.

Что такое матричное представление в задаче?

Матричное представление задачи состоит в записи системы дифференциальных уравнений в виде матричного уравнения X_dot = A * X + B * U, где X — вектор состояний, U — вектор входа, A и B — матрицы, определяющие динамику системы.

Какова структура матрицы системы в представлении состояния?

Структура матрицы системы состоит из элементов, которые связывают производные переменных состояния и входное напряжение. В нашем случае, для V_C dot мы имеем -1/(R * C), а для I_L dot — 1/C, а также присутствуют элементы для входного напряжения.

Что такое выходное уравнение в представлении состояния?

Выходное уравнение в представлении состояния описывает зависимость выходного сигнала от состояния системы. В данном примере выходом является ток через резистор, который равен V_C / R.