✅LÍMITES por FACTORIZACIÓN | 𝙉𝙤 𝙢á𝙨 𝙍𝙚𝙥𝙧𝙤𝙗𝙖𝙧😎🫵💯 | Cálculo Diferencial
Summary
TLDREste tutorial de cálculo diferencial se enfoca en el uso de la factorización para resolver límites indeterminados. Se presenta una serie de ejemplos prácticos donde se muestra cómo identificar y factorizar expresiones algebraicas, como diferencias de cuadrados y cubos, para calcular límites que de otro modo serían indeterminados. El video guía a los estudiantes a través del proceso de factorización y simplificación de expresiones complejas, con el objetivo de encontrar límites claros y precisos sin caer en la indeterminación.
Takeaways
- 📚 Este es un tutorial de cálculo diferencial centrado en el uso de la factorización para resolver límites.
- 🔍 Se menciona que a veces al intentar calcular un límite simplemente sustituyendo el valor de x, se pueden obtener expresiones indeterminadas.
- 🔢 Para lidiar con expresiones indeterminadas, se recomienda utilizar métodos algebraicos, como la factorización.
- 📐 Se ilustra cómo factorizar una diferencia de cuadrados y cómo esto ayuda a calcular límites que de otro modo serían indeterminados.
- 📘 Se da un ejemplo práctico de cómo resolver un límite cuando x tiende a 1, utilizando la factorización para evitar la indeterminación.
- 📙 Se abordan casos donde la factorización no es posible y se debe aceptar la indeterminación de la expresión, como en el caso del límite cuando x tiende a -3.
- 📕 Se muestra cómo la factorización puede ayudar a resolver límites con expresiones que a primera vista parecen indeterminadas, como el límite cuando x tiende a -3 en un trinomio.
- 📗 Se destaca la importancia de ser hábil para reconocer rápidamente si una expresión puede ser factorizada o no.
- 📖 Se explica el proceso de factorización para resolver límites con diferencias de cuadrados y cubos, proporcionando ejemplos detallados.
- 📔 Se sugiere que antes de factorizar, a veces es útil realizar operaciones algebraicas que simplifiquen la expresión, como la extracción de factores comunes.
- 📒 Se concluye con el ejemplo de cómo la factorización puede ser aplicada para resolver límites cuando la variable tiende a cero, evitando así la indeterminación.
Q & A
¿Qué es el tutorial de cálculo diferencial que se presenta en el video?
-El tutorial de cálculo diferencial es una explicación detallada sobre cómo resolver límites utilizando el método de factorización en casos prácticos.
¿Qué sucede si intentas sustituir x directamente en una expresión y te encuentras con una indeterminación?
-Si al sustituir x directamente en una expresión se llega a una indeterminación, como 0/0 o ∞/∞, entonces es necesario utilizar métodos algebraicos como la factorización para resolver el límite.
¿Cómo se factoriza un polinomio en el caso de la diferencia de cuadrados?
-Para factorizar una diferencia de cuadrados, se toma la raíz cuadrada del primer término y la del segundo término, se abren los paréntesis y se alternan los signos, obteniendo binomios conjugados.
¿Qué estrategia se utiliza para el segundo ejemplo donde x tiende a -3?
-Se intenta factorizar el trinomio, pero al no ser posible, se concluye que la factorización no existe para ese término y se deja el límite indeterminado.
¿Cómo se resuelve el límite cuando x tiende a -3 en el caso del trinomio que no se puede factorizar?
-Como no se puede factorizar el trinomio, se sustituye el valor de x (-3) directamente en la expresión, lo que resulta en un límite indeterminado.
¿Qué ocurre con el límite cuando x tiende a -3 y se puede factorizar la expresión?
-Al factorizar correctamente la expresión, se simplifica y se puede calcular el límite, obteniendo un resultado determinado de -7.
¿Cómo se abordan las diferencias de cubos en el tutorial?
-Las diferencias de cubos se abren con un binomio y un trinomio, utilizando las raíces cúbicas de los términos y siguiendo un patrón específico para la factorización.
¿Qué se hace cuando la expresión se vuelve indeterminada al sustituir un valor en el ejemplo con h?
-Cuando la expresión se vuelve indeterminada al sustituir un valor, se realiza una factorización concreta para simplificar y resolver el límite.
¿Cómo se factoriza la expresión en el ejemplo donde h tiende a 0?
-Se identifica un factor común (h^2) y se extrae, luego se buscan dos números o expresiones que multiplicados den la expresión original, permitiendo simplificar y calcular el límite.
¿Cómo se resuelve el último ejemplo del tutorial donde t tiende a 9?
-Se factoriza la expresión viendo una diferencia de cuadrados y se simplifica para obtener el límite cuando t tiende a 9, resultando en 3 + 36.
Outlines
📚 Introducción al tutorial de cálculo diferencial y factorización de límites
El primer párrafo presenta un tutorial de cálculo diferencial enfocado en la factorización para resolver límites. Se menciona que a veces, al intentar sustituir el valor de x directamente en una expresión, se obtiene una indeterminación matemática, como 0/0. Para evitar esto, se utiliza la factorización algebraica. Se ejemplifica con una expresión donde al factorizar (x+1)(x-1) y sustituir x=1, se resuelve el límite sin indeterminación. También se sugiere que este método es comúnmente utilizado y se invita a ver el caso número 2.
🔍 Análisis de límites indeterminados y factorización de trinomios
El segundo párrafo sigue con el tema de los límites, mostrando cómo abordar casos en los que la factorización es más compleja. Se presenta un ejemplo donde al sustituir x=-3, la expresión se vuelve indeterminada. Se intenta factorizar un trinomio de la forma x^2 + bx + c, buscando dos números que, al multiplicarse, den el término medio y, al sumarse, den el término independiente. Aunque en este caso, la factorización no es directa, se sugiere que hay ocasiones en que no es posible y se debe dejar el límite indeterminado. Luego, se cambia a otro ejemplo donde la factorización es posible y se resuelve el límite al dividir los factores correspondientes.
📘 Aplicación de factorización en diferencias de cuadrados y cubos
El tercer párrafo explora el uso de la factorización en diferencias de cuadrados y cubos. Se ejemplifica con una expresión que, al factorizar, se simplifica significativamente. Se muestran los pasos para factorizar una diferencia de cubos y cómo aplicarlo en un límite donde x tiende a 1. Se resalta la importancia de reconocer términos compuestos y la facilidad de factorización en tales casos. Seguidamente, se presenta otro ejemplo donde la factorización es inmediata y se resuelve el límite de forma directa.
📘 Manejando límites indeterminados a través de operaciones y factorización
El cuarto párrafo se enfoca en manejar expresiones que, al sustituir un valor, resultan en límites indeterminados. Se sugiere realizar operaciones previas, como la sustracción de un término, para facilitar la factorización. Se ejemplifica con una expresión que, tras simplificar y factorizar, permite resolver el límite cuando h tiende a 0. Se resalta cómo la factorización ayuda a eliminar términos y llegar a una conclusión clara.
🎯 Resolución de un límite indeterminado utilizando factorización y diferencias de cuadrados
El último párrafo presenta un ejercicio donde la expresión se vuelve indeterminada al sustituir un valor. Se sugiere una estrategia de factorización, identificando una diferencia de cuadrados y utilizando raíces para simplificar la expresión. Se resuelve el límite cuando t tiende a 9, utilizando la factorización para cancelar términos y obtener una respuesta definitiva.
Mindmap
Keywords
💡Cálculo diferencial
💡Límites
💡Factorización
💡Indeterminación
💡Diferencia de cuadrados
💡Diferencia de cubos
💡Trinomio
💡Racionalización
💡Conjugados
💡Sustitución
💡Algebraica
Highlights
[Música] Comienza el tutorial de cálculo diferencial con un enfoque en límites por factorización.
Se discuten casos prácticos para entender el uso de límites y factorización.
Se menciona que la sustitución directa puede resultar en expresiones indeterminadas.
Se introduce la factorización como un método algebraico básico para resolver límites.
Se ejemplifica la factorización de una diferencia de cuadrados para calcular un límite.
Se analiza el segundo caso de límite cuando x tiende a -3, destacando la necesidad de factorización.
Se describe el proceso de factorización para un trinomio de la forma x^2 + bx + b.
Se señala la imposibilidad de factorizar ciertos términos, llevando a expresiones indeterminadas.
Se resuelve un ejemplo de límite con factorización de un trinomio que resulta en una expresión determinada.
Se presenta el caso de límites con expresiones que se determinan sin necesidad de factorización.
Se ejemplifica la factorización de una diferencia de cubos y cómo aplicarla en límites.
Se resuelve un ejercicio donde la factorización ayuda a simplificar y determinar un límite.
Se discute la estrategia de factorización para resolver límites cuando la expresión es indeterminada al sustituir.
Se muestra cómo la factorización puede no ser útil en ciertos casos y se debe dejar el límite indeterminado.
Se aplica la factorización en un ejemplo donde es posible cancelar términos y determinar el límite.
Se concluye el tutorial con un ejemplo de cómo la factorización puede ser utilizada para resolver límites cuando la expresión se vuelve indeterminada tras la sustitución directa.
Transcripts
[Música]
hola que tal bienvenidos a este vídeo
tutorial de cálculo diferencial vamos a
entrar a límites por factorización para
lo cual lo veremos en casos muy
prácticos ejemplos bien en algunos casos
ya sabemos cómo evaluar un límite
simplemente la los propiedades los
límites nos dicen que el valor de x hay
que sustituirlo aquí entonces qué
pasaría si yo automáticamente intentó
sustituir dentro de la equis me quedaría
aquí 1 al cuadrado que me da 1 menos uno
entre y abajo me quedaría uno menos uno
esto automáticamente nos quedaría como
arriba un cero y abajo pues otro cero
igual cuando llegamos a este tipo de
expresiones son automáticamente
indeterminadas matemáticamente siempre
que tengamos esta expresión o incluso un
cero por debajo
automáticamente la expresión no se puede
calcular y queda indeterminada
entonces para olvidar eso para no caer
en el caso de indeterminación
necesitamos muchas veces probar métodos
algebraicos y uno de los más básicos es
la factorización entonces qué hacemos
bueno pues identificaremos que para él
aquí en este caso cuando x tiende aún no
puedo factorizar el polinomio o en este
caso el término o el binomio que se
encuentre compuesto como ente arriba me
doy cuenta que arriba es una diferencia
de cuadrados entonces al factorizar nos
quedaría así x + 1 x menos 1 recordamos
rápidamente como se hace saco raíz
cuadrada del primero x raíz cuadrada del
segundo uno abrimos los dos paréntesis y
alternamos los dos signos son binomios
conjugados entre todo esto x menos 1 y
nos damos cuenta que aquí se puede
simplificar x menos uno entre x menos
uno para lo cual entonces ahora
escribiríamos que nuestro límite cuando
x tiende a 1 de la expresión x más 1
cómo quedaría pues esto automáticamente
si lo vamos desglosando más es x cuando
x tiende a 1 sería uno más uno y esto
nos daría dos y listo tendríamos ahí
nuestra respuesta ya sin entrar a la
indeterminación
entonces este método algebraico de
factorización es muy usado vamos a ver
ahora el caso número 2 nos dice el
límite cuando x tiende a menos 3 de esta
expresión si nos damos cuenta tenemos ya
que ser hábiles para de un vistazo
reconocer si vamos a aplicar la
factorización si no somos hábiles
conviene sustituir tal como lo hicimos
aquí y llegar a una expresión
indeterminado por ejemplo aquí x cuando
tiene menos 3 me di cuenta que es lo
sustituyó abajo me quedara 0 y que
dijimos que cualquier expresión que
donde quede dividida sobre 0 queda
indeterminada automáticamente entonces
voy a tener que basarme en la
factorización para poder desarrollar
este límite vamos a ver vamos a entrar a
esta estrategia x cuando tiende a menos
3 arriba me di cuenta que es un trinomio
y es un trinomio de la forma x cuadrada
b x + b o también un trinomio cuadrado
no perfecto el cual se factorizar de la
siguiente manera abajo el término es muy
simple no puedo factorizar la raíz
cuadrada de x cuadrada será x
y luego buscamos dos números que
multiplicados me den más 12 y que
sumados algebraica mente me den menos 1
entonces los números serían 4 y 3
pero ahora que si nos asociamos
recuerden que la suma algebraica entre
estos dos números me debe de dar el de
enmedio que es menos 1 la única manera
en que me dé menos 1 es colocando menos
4 y más 3 porque menos cuatro más 3 me
da menos 1 y al multiplicar en este caso
menos 4
3 nos daría menos 2 entonces aquí si no
nos da no puedo directamente hacerlo de
esa forma
ahora qué sucede si nosotros ya sea por
factorización tampoco podemos hacerlo la
única manera de que podemos dejarlo en
este caso es expresar que el límite como
no por factorización no prácticamente no
me ayuda a simplificar nada es decir la
factorización no existe de este término
entonces lo único que podemos hacer es
sustituir el menos 3 aquí le daría 9
menos 3 por menos x menos 3 en menos x
mejor dicho me daría menos por menos más
3 y luego el más 12 sobre menos tres más
tres arriba bueno pues no no importa qué
número tenga que tengo 26 12 unidad 24
pero abajo queda un 0 entonces aquí
nuestro límite queda automáticamente
indeterminado si en muchas funciones no
se puede ni factorizar ni tampoco
aplicar otra estrategia algebraica lo
debemos de dejar así indeterminado vamos
con el límite 3 y el límite 4 en este
caso nos damos cuenta que es muy similar
al ejercicio anterior donde vimos que el
límite quedaba indeterminado sin embargo
a este signo ya está cambiado ya no son
más ya son menos
que era justo lo que necesitábamos para
poder hacer la factorización de manera
correcta por lo tanto aquí la
factorización será x 3 x x
4 - 4 x + 3 me da menos 12 y algebraica
mente menos 43 meza menos 1 entonces
ahora así quedó la factorización hecha
cuando nos quedan estas expresiones lo
que podemos hacer es dividir uno de
arriba entre uno de abajo para que se
anulen y nos quede nada más el límite de
la expresión restante que sería x menos
4 haciendo esto entonces nos quedaría el
límite cuando x tinta menos 3 sería de
menos 3 menos 4 nos daría menos 7 ahí
está aquí el límite si está determinado
vamos ahora con el ejemplo que está del
lado derecho tenemos límite sustituimos
el 1 me doy cuenta que si lo sustituyó
abajo al cuadrado me da uno menos uno
queda cero entonces la expresión se
determina por lo tanto pasamos a no
aplicar algunos límites empleando
factorización me doy cuenta que tanto el
de arriba como el trabajo son términos
compuestos es decir que tienen
factorización es
si ese es el caso conviene efectuarlo x
cúbica menos 1 es una diferencia de
cubos la diferencia de cubos recordamos
se abre con un paréntesis que lleva un
binomio y luego un paréntesis que
llevara un trinomio para la parte de
abajo serán simplemente una diferencia
de cuadrados la de abajo y al efectuamos
alguna vez es x + 1 por x menos 1 ahora
para el cubo la diferencia de cubos es
muy fácil sacamos las raíces cúbicas de
ambos la de x cúbica es x la de uno es 1
y el signo que trae lo justo lo
colocamos ahí después de eso con este
binomio formamos el trinomio como lo
hacemos primer término elevar el
cuadrado x cuadrada segundo colocar la
multiplicación de los dos términos que
componen el primer binomio 1 por x me
queda x
aquí los signos siempre serán positivos
cuando estés - todo esto será siempre
positivo y luego el segundo término en
este caso el 1 que está aquí elevado al
cuadrado 1 ahí está y se dan cuenta es
muy fácil aquí este lo sacamos con las
raíces cúbicas y luego el trinomio lo
sacamos este elevado al cuadrado luego
el producto de ambos multiplicados y
luego este elevado al cuadrado listo
ahora simplificamos x menos 1 y x menos
1 entonces nuestro límite
nos va a quedar así arriba es x cuadrada
más x + 1 sobre x más 1 y entonces como
todo ya está prácticamente ahí sumando
se puede sustituir el 1 me quedara uno
más uno más uno en la parte de arriba y
abajo me quedara uno más uno me quedarán
tres mitades o tres medios y listo ahí
tengo nuestro límite ya definido
bien vamos ahora con nuestro ejercicio 5
y 6 el límite cuando h tiende a 0 de
esta expresión si nos damos cuenta al
sustituir h que vale 0 aquí
automáticamente indeterminada la
expresión entonces vamos a ver cómo se
puede factorizar pero muchas veces antes
de realizar una factorización concreta
conviene hacer operaciones como h menos
5 que es un binomio que me dice que está
elevado al cuadrado entonces comenzamos
por eso h al cuadrado me quedaría h
cuadrado luego el doble producto de 5
por h sería 2 por 5 10 por h 10 h sería
menos 10 h recuerden que el signo del
medio lo lleva debido a éste que está
aquí y luego sería el menos 5 elevado al
cuadrado elevado al cuadrado así que
cambia más y sería más 25 ya tengo este
al cuadrado luego restamos el 25 y luego
viene todo sobre h y luego de ahí hay
que seguir la operación es decir
simplificar 25 menos 25 se hace 0 y vean
lo que nos viene quedando el límite
cuando h tiende a 0
h cuadrada menos 10 h / h y ahora si
puedo emplear una factorización concreta
por ejemplo me di cuenta que arriba el
factor común es h 2 me quedo h que
multiplica a h menos 10
recuerden aquí cómo sacar factor común
simplemente me doy cuenta que es lo que
tienen en común la h entonces extraigo
la h con el menor exponente que es a la
1 y luego buscó dos números o dos
expresiones que multiplicadas a este h
me dan la expresión original h por h h
cuadrada h por menos 10 menos 10 h
sobre h y ahí nos damos cuenta cómo me
ayuda la factorización para eliminar
entonces el límite cuando éste tiende a
cero me quedaría de h10 sustituido esto
bueno pues esto de aquí nos daría el
límite cuando h tiende a cero sería de
cero - días entonces me quedaría como
igual a menos 10 hay es
nuestro límite
ahora vamos al ejercicio 6 en el
ejercicio 6 se puede aplicar si
sustituimos el té cuando tienda 9 lo
sustituimos aquí me quedaría 9 la raíz
de 9 633 menos 3 se cancela es decir me
queda 0 entonces de nuevo indeterminada
la expresión ahora para no caer en eso
entonces necesitamos aplicar algún truco
de factorización
y aquí parece que se va a racionalizar
pero no lo que tenemos que hacer es
factorizar entonces como lo hacemos hay
un pequeño truco aquí podemos ver esta
parte justo esto de aquí como una
especie de esto de aquí como una especie
de diferencia de cuadrados por ejemplo
este de aquí el 9 como los factores
haríamos si fuera una diferencia de
cuadrados
pues extraemos la raíz del primero que
es 3 ahí está y luego la raíz del
segundo la raíz de t idealmente diríamos
que no tiene raíz sin embargo lo podemos
exponer o podemos colocar como la raíz
cuadrada de este pues así como la raíz
de t entonces esto matemáticamente está
correcto como lo estamos actualizando
con una diferencia de cuadrados
pondríamos el más aquí y el menos aquí y
ahora sí 3 - raíz de t entre 3 - raíz de
t se cancelarían y listo
nuestra estrategia ha funcionado
entonces nos quedaría 3 más
la raíz de t que nos daría esto pues nos
daría tres más la raíz y ahora sí cuando
te vale 9 entonces el límite cuando te
vale 9 cuando te tiende a la vez sería
raíz de 9 sería 3 + 36
ahí está tenemos ahora si nuestro
ejercicio resuelto
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