Clase 18 Álgebra Lineal. Transformaciones Lineales - Álgebra de las transformaciones

Summary

El script proporcionado aborda el tema de las transformaciones lineales en álgebra, explorando operaciones fundamentales como la suma de transformaciones, la multiplicación por un escalar y la composición de transformaciones. Se explica que para la suma y composición, las transformaciones deben tener el mismo dominio y co-dominio, mientras que para la multiplicación por un escalar no hay restricciones. Se desarrollan ejercicios para obtener las reglas de correspondencia y las matrices asociadas a las transformaciones, destacando la importancia del procedimiento para obtener estas matrices. Además, se discute la no conmutatividad de la composición de transformaciones, y se ejemplifica con transformaciones que varían en sus dominios y co-dominios. El análisis detalla los pasos para encontrar la regla de correspondencia en casos específicos de composición de transformaciones, resaltando la necesidad de aplicar las reglas de manera adecuada según el orden de las transformaciones dadas.

Takeaways

• 📚 Se discuten tres operaciones con transformaciones lineales: suma de transformaciones, multiplicación por un escalar y composición de transformaciones.
• ➕ La suma de transformaciones es directa: se suman los resultados de aplicar dos transformaciones diferentes a un mismo vector.
• 🔍 La multiplicación por un escalar implica aplicar el factor escalar a cada componente del vector resultante de la transformación.
• 🤔 La composición de transformaciones es menos intuitiva y implica aplicar primero una transformación y luego otra al vector original.
• ⚖️ Para la suma y composición de transformaciones, ambas deben tener el mismo dominio y co-dominio.
• 🚫 Se resalta que la composición de transformaciones no es conmutativa, es decir, el orden de las transformaciones es crucial.
• 📝 Se explica que la matriz asociada a la composición de dos transformaciones se calcula multiplicando las matrices asociadas de cada transformación individual.
• 🔢 Se menciona que la multiplicación de una transformación por un escalar resulta en una nueva transformación donde cada componente del vector es multiplicada por el escalar.
• 📐 Se proporciona un ejemplo práctico para obtener las reglas de correspondencia y las matrices asociadas a las transformaciones.
• 🔁 Se destaca la importancia del procedimiento para obtener las matrices asociadas, que puede ser simplificado si se conocen previamente las matrices de las transformaciones individuales.
• 🧩 Se explora la necesidad de que el co-dominio de una transformación coincida con el dominio de la siguiente para que la composición sea posible.
• 📉 Se ilustra la no conmutatividad de la composición de transformaciones con un ejemplo que muestra que la composición en un orden diferente puede no ser posible o puede dar un resultado distinto.

Q & A

¿Cuáles son las tres operaciones básicas con las transformaciones lineales?

Las tres operaciones básicas con las transformaciones lineales son la suma de transformaciones, la multiplicación por un escalar y la composición de transformaciones.

¿Cómo se define la suma de transformaciones lineales?

La suma de transformaciones lineales se define como la aplicación de una transformación seguida de otra al mismo vector; es decir, (T + S)(v) = T(v) + S(v).

¿Qué ocurre si las transformaciones a sumar no comparten el mismo dominio y co-dominio?

Si las transformaciones no comparten el mismo dominio y co-dominio, no se pueden sumar, ya que la suma de transformaciones solo es posible si ambas transformaciones son del mismo espacio vectorial.

¿Cómo se realiza la multiplicación de una transformación lineal por un escalar?

La multiplicación de una transformación lineal por un escalar alfa se realiza multiplicando cada componente del vector resultante de la transformación por el escalar: alfa * (T(v)) = alfa * T(v).

¿Qué es la composición de transformaciones y cómo se realiza?

La composición de transformaciones es la aplicación de una transformación después de otra en un vector. Se realiza aplicando primero una transformación al vector y luego aplicando la segunda transformación al resultado de la primera: (S ∘ T)(v) = S(T(v)).

¿Por qué la composición de transformaciones no es conmutativa?

La composición de transformaciones no es conmutativa porque el orden en que se aplican las transformaciones es importante. La composición (S ∘ T) generalmente no es igual a (T ∘ S), y en algunos casos, una de las composiciones puede no ser posible debido a la no coincidencia de los espacios vectoriales.

¿Cómo se determina si la composición de dos transformaciones es posible?

Para que la composición de dos transformaciones sea posible, el co-dominio de la primera transformación debe ser igual al dominio de la segunda transformación. Esto asegura que el resultado de la primera transformación sea un vector en el espacio correcto para que la segunda transformación pueda ser aplicada.

¿Cómo se obtiene la matriz asociada a una transformación lineal?

Para obtener la matriz asociada a una transformación lineal, se aplican los vectores de la base del espacio vectorial de origen bajo la transformación y se expresan los resultados como combinaciones lineales de los vectores de la base del espacio vectorial de destino. Los coeficientes de estas combinaciones lineales forman las columnas de la matriz asociada.

¿Cómo se relaciona la matriz de una transformación con la matriz resultante de la suma o multiplicación por un escalar?

La matriz resultante de la suma de transformaciones lineales es igual a la suma de las matrices asociadas a cada una de las transformaciones. Al multiplicar una transformación lineal por un escalar, cada entrada de la matriz asociada a la transformación se multiplica por ese escalar.

¿Cómo se resuelve el sistema de ecuaciones que surge al aplicar una transformación lineal a los vectores de base?

Para resolver el sistema de ecuaciones que surge al aplicar una transformación lineal a los vectores de base, se utiliza la regla de correspondencia de la transformación para expresar cada resultado como una combinación lineal de los vectores de la base del espacio de destino. Luego, se establecen ecuaciones para cada componente del vector resultante y se resuelve el sistema para encontrar los coeficientes de las combinaciones lineales, que son los valores de alfa, beta y gamma en la matriz.

¿Cómo se determina la regla de correspondencia para la composición de dos transformaciones lineales?

Para determinar la regla de correspondencia de la composición de dos transformaciones lineales, se aplica primero una transformación al vector y luego la otra transformación al resultado. La regla de correspondencia resultante se obtiene desarrollando matemáticamente la expresión que representa esta secuencia de transformaciones.

Outlines

00:00

😀 Introducción a las transformaciones lineales y sus operaciones

Se describen las tres operaciones fundamentales con transformaciones lineales: suma, multiplicación por un escalar y composición. Se destaca que la suma y multiplicación son más sencillas, mientras que la composición requiere aplicar una transformación después de otra, atendiendo al orden. Además, se menciona la importancia de que ambas transformaciones en la suma tengan el mismo dominio y co-dominio.

05:00

🔢 Ejercicio 1: Obtención de la regla de correspondencia de las transformaciones

Seguidamente, se realiza un ejercicio para obtener la regla de correspondencia de las transformaciones. Se detalla el proceso de sumar transformaciones y multiplicar una transformación por un escalar. Se resalta la necesidad de que ambas transformaciones tengan el mismo dominio y co-dominio para poder sumarlas y cómo se aplica la multiplicación por un escalar a una transformación.

10:01

📏 Obtención de las matrices asociadas a las transformaciones

Se solicita obtener las matrices asociadas a las transformaciones con respecto a las bases de R2 y R3. Se recordá que ambas transformaciones van de R2 a R3 y se pide obtener la matriz asociada a la transformación T y S. Seguidamente, se proporciona la solución para encontrar estas matrices aplicando las transformaciones a los vectores base.

15:02

🤔 Análisis de la relación entre las matrices de las transformaciones

Se explora la relación entre la matriz asociada a la transformación resultante de la suma de T y S y cómo se puede obtener directamente sumando las matrices de T y S. Se menciona que esta suma es posible siempre y cuando las bases coincidan. Además, se discute la multiplicación por un escalar y su efecto en la matriz asociada a una transformación.

20:07

🔄 Requisitos y ejemplos de composición de transformaciones

Se establecen los requisitos para la composición de transformaciones, destacando que el co-dominio de una transformación debe coincidir con el dominio de la siguiente en la composición. Se analizan ejemplos para ilustrar cuando la composición es posible y cuando no, y se señala que la composición de transformaciones no es conmutativa.

25:10

📝 Ejemplo de composición de transformaciones y su regla de correspondencia

Se presentan ejemplos de cómo obtener la regla de correspondencia en caso de que existan las composiciones de transformaciones S y T. Se muestra que la composición depende del orden de las transformaciones y se desarrolla el proceso para encontrar la regla de correspondencia en ambos casos, teniendo en cuenta el dominio y la aplicación secuencial de las transformaciones.

Keywords

💡Álgebra Lineal

Álgebra Lineal es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones lineales entre objetos y fenómenos. En el video, se discute cómo las transformaciones lineales son fundamentales en el estudio de las funciones en las clases de cálculo, y se exploran sus propiedades y operaciones.

💡Transformaciones Lineales

Las transformaciones lineales son funciones que mapean vectores de un espacio vectorial a otro, preservando las operaciones de suma y producto por un escalar. En el video, se tratan las operaciones con estas transformaciones, como suma, multiplicación por un escalar y composición.

💡Suma de Transformaciones

La suma de transformaciones es una operación en la que se suman dos transformaciones lineales para formar una nueva transformación. Se menciona en el video que para realizar la suma, ambas transformaciones deben tener el mismo dominio y co-dominio.

💡Multiplicación por un Escalar

La multiplicación por un escalar se refiere a la operación en la que se multiplica una transformación lineal por un número real. Esto resulta en una nueva transformación lineal. En el video, se ilustra cómo se realiza esta operación.

💡Composición de Transformaciones

La composición de transformaciones es una operación en la que se aplican dos o más transformaciones lineales de forma secuencial. Se destaca en el video que la composición de transformaciones no es conmutativa y depende del orden en que se aplican las transformaciones.

💡Dominio y Co-dominio

El dominio es el espacio vectorial de donde provienen los vectores que se transforman, mientras que el co-dominio es el espacio vectorial al que se dirigen los vectores transformados. En el video, se resalta la importancia de que el co-dominio de una transformación sea el dominio de la siguiente para que pueda realizarse la composición.

💡Regla de Correspondencia

La regla de correspondencia es una fórmula o conjunto de fórmulas que describe cómo una transformación lineal afecta a los vectores de un espacio vectorial. En el video, se usan reglas de correspondencia para ilustrar cómo se calculan las transformaciones y sus composiciones.

💡Matriz Associada

Una matriz asociada a una transformación lineal es una representación tabular de la transformación con números. Las matrices se usan para simplificar los cálculos de transformaciones lineales. En el video, se discuten las matrices asociadas a las transformaciones y cómo se obtienen.

💡Espacios Vectoriales

Los espacios vectoriales son conjuntos de vectores que cumplen con ciertas propiedades y operaciones, como la suma vectorial y el producto por un escalar. En el video, se habla de los espacios vectoriales como los dominios y co-dominio de las transformaciones lineales.

💡Ejercicios de Álgebra Lineal

Los ejercicios de álgebra lineal son problemas o tareas que se utilizan para practicar y entender conceptos y técnicas de álgebra lineal. En el video, se presentan ejercicios que involucran la obtención de reglas de correspondencia y las matrices asociadas a las transformaciones lineales.

💡Teorema de Álgebra Lineal

Un teorema en álgebra lineal es una proposición o afirmación que se demuestra matemáticamente y que establece relaciones o propiedades fundamentales en la teoría de las transformaciones lineales. En el video, se menciona un teorema que relaciona la matriz de una transformación con la suma de las matrices de las transformaciones que la componen.

Highlights

Se discuten tres operaciones con transformaciones lineales: suma, multiplicación por un escalar y composición.

La suma de transformaciones y multiplicación por un escalar son operaciones sencillas en comparación con la composición.

La composición de transformaciones es menos intuitiva pero se explica que implica aplicar primero una transformación y luego otra.

Es importante tener en cuenta el orden de las transformaciones al realizar la composición.

Para la suma de transformaciones, ambas deben tener el mismo dominio y co-dominio.

Se proporciona un ejercicio para obtener la regla de correspondencia de las transformaciones en el inciso a.

Se describe el proceso para la multiplicación de una transformación por un escalar en el inciso b.

Se solicita realizar una operación de multiplicación y suma con transformaciones en el inciso c.

Se enfatiza la necesidad de que las bases coincidan para la multiplicación por un escalar.

Se resuelven ejemplos prácticos para ilustrar cómo se calculan las matrices asociadas a las transformaciones.

Se establece un teorema que relaciona la matriz de una transformación con la suma de las matrices de las transformaciones individuales.

Se aclara que la multiplicación por un escalar no tiene restricciones y se puede aplicar a cualquier transformación.

Se discute la composición de transformaciones y sus requisitos, como que el co-dominio de una transformación debe coincidir con el dominio de la siguiente.

Se proporciona un ejemplo que muestra que la composición de transformaciones no es conmutativa.

Se resalta la importancia del orden en la aplicación de las transformaciones en la composición.

Se resuelve un ejercicio para encontrar la regla de correspondencia en caso de composición de dos transformaciones específicas.

Se destaca que la composición de transformaciones es un tema complejo que requiere atención en el orden de las operaciones.

Se concluye con una revisión de los conceptos clave y la importancia de la práctica para comprender las transformaciones lineales.

Transcripts

bueno pues pasemos a su tema 3.4 álgebra

las transformaciones lineales vamos a

tener tres operaciones con las

transformaciones que son las mismas

operaciones que ustedes estudian en sus

clases de cálculo para las funciones

suma de transformaciones multiplicación

por un escalar y composición de

transformaciones

las primeras dos son las más sencillas

la edición de transformaciones se define

como si suma una transformación en temas

o una transformación t aplicada a un

vector v es lo mismo que aplicar la

transformación en el vector web más la

transformación t aplicada al vector v

fácil luego multiplicación por una

escalar también fácil

alfa por la transformación s aplicada a

un vector huguet es lo mismo que alfa

por el resultado de ese dv

ya la tercera no está tan tan intuitiva

pero van a ver que igual es sencilla la

composición de dos transformaciones

sería de composición s aplicado un

vector v aquí lo que me dice la

composición en realidad es que primero

aplique ese en el que está del lado

derecho de la composición primero aplico

a ese al vector v y el resultado de esa

transformación me da un nuevo vector al

cual le aplicó la transformación t

eso es la composición primero aplicar

una transformación y luego la otra nada

más hay que tener cuidado ahí con con el

orden en el que vamos aplicando las las

transformaciones vamos a empezar con

estas dos que son las más sencillas

ejercicio 1 obtener la regla de

correspondencia de las transformaciones

inciso a demás ese inciso b 4 t y si

sucede 3 d menos 2 es la transformación

que por un lado me dice que va de r 2

y la transformación es se va también de

r2 r3 aunque es importante para que

podamos aplicar la suma de

transformaciones es que ambas

transformaciones tengan mismo dominio y

mismo condominio si estaba de red osa r3

está también de medir de r2 r3 si no no

las puedo sumar esa es la única

restricción y luego aquí abajo me dan la

regla de correspondencia tanto para ti

como para s

aquí me traje ya las reglas de

correspondencia para que vayamos

siguiendo en el inciso a es nada más

sumar la transformación tema esta

transformación es luego aquí colocó a un

elemento genérico a un vector genérico

del espacio vectorial de origen si la

transformación va de 2 a r2 colocó aquí

un vector perdón de r2 r3 coloca aquí un

vector de r 2 x con malla

y por definición de adición de

transformaciones esto es lo mismo que

aplicarte por separado al vector x como

ayer o aplicar ese más aplicar ese por

separado al vector x como ayer

aplicamos entonces sus respectivas

reglas de correspondencia para tape para

ese entonces me queda que temas ese de x

como ayer es igual a td x com ayer si

ven aquí nada más reescribir lo que

decía la vela de correspondencia para ti

y aquí s de x como ayer lo mismo

reescribir lo que decía la regla de

correspondencia para s

luego me quedan

dos vectores de r 3 sumados entonces

somos mis vectores de manera usual

desarrollo mi expresión y me queda que

el tema se s de x coma ya es igual a

suma de estos dos vectores recuerden que

es componente con componentes sería x +

jr menos 3 x + jr

cuánto daría ahí menos 2 x + 2 y luego

según la componente 2 x 4 x pues sería 6

x y 30 componentes 3 y 3 y listo ya esta

es la suma de las transformaciones como

ven el resultado me da una nueva regla

de correspondencia

que se aplica a un vector de r 2x y me

da como resultado un vector de r 3

entonces la suma de transforma de las

transformaciones también va de r2 r3

en el inciso b me pide hacer una

multiplicación por un escalar en este

caso el escalar vale 4 entonces 4 por la

transformación t otra vez aquí colocó un

vector del origen de la transformación

de 2x como ayer es igual a 4 por el

resultado de aplicar la transformación

en x con mayor entonces lo primero que

hago es aplicarte a x como ayer

me quedaría cuatro cortes por x como

ayer es igual a 4 x con bayern lo saco

de aquí de la regla de correspondencia

de pensa entonces nada más copio x más

bien como 2x con mayer y luego eso lo

multiplicó por mi escalar o sea por 4

me quedaría entonces qué

4t de x como ayer

es igual

en escalar por un vector de re 3 es

multiplicar el escalar por todas las

componentes o sea 4 x 4 y el coma 8 x

coma

4

y listo esto sería la 9 nueva regla de

correspondencia de multiplicar la

transformación t por el escalar 4

y así soccer es una combinación de

operaciones aquí me pide multiplicar a

la transformación de x 3 y restarle dos

veces la transformación s si esto

siguiendo la definición de de suma y

multiplicación por un escalar sería lo

mismo que escribir tres porte aplicado a

x como ayer menos dos por s aplicado a x

con malla

y por definición de multiplicación por

un escalar este 3 que está multiplicando

a la transformación puede salir al igual

que este 2

quedaría de esta forma y vamos a

desarrollar el lado derecho de la

igualdad

y aquí lo primero que hago es sustituir

el tal cual la transformación de x como

ayer en esta regla de correspondencia y

aquí s de x como ayer esta regla de

correspondencia

y ahí están este es

tve y este es sdv y ya nada más

multiplico cada uno de los vectores con

su respectivo escalar el primero me

quedaría 3x más 3,2 por 36 x 3 y el

segundo me quedaría como menos

factorizar menos o trabajarlo como

ustedes quieran 2 por 36 x

+ 2,8 x 4 y ya que hago mi suma en este

caso resta de vectores de r 3 y eso ya

sería el resultado de 3 t menos 2 sd x

como ayer en este caso quedaría como 3 x

menos menos 6 x 9 x luego 3 - 2 john

mayer coma luego 6 x 8 x menos 28

y finalmente 33 menos 4 y menos ya

listas una transformación nueva que va

de r2 r3

y nada más para recapitular hay que

tener en cuenta entonces que para la

adicción

para que proceda la edición entre dos

transformaciones tanto el pse como tema

deben de tener

mismo dominio y mismo condominio si no

no se puede sumar

y aquí para la multiplicación por un

escalar como nada más trabajo con una

transformación no hay restricciones

podemos multiplicar la transformación

por un escalar cualquiera que sea del

campo del espacio vectorial

ejercicio dos obtendrá las transporta

las matrices asociadas a las

transformaciones ese ítem del ejemplo

anterior referidas a las bases

de r 2 y b de r 3

origen y destino tanto para ese como

aparato recordemos que ambas leyes iban

desde r2 hasta de represa me piden las

matrices asociadas a ambas

transformaciones luego vamos a obtener

la matriz asociada

a la transformación temas s recuerden

que esto me da una nueva regla de

correspondencia y vamos a determinar qué

relación hay entre las matrices

individuales dt y s con la matriz

asociada a temas es este ejercicio

y se los voy a dejar más que nada para

que practiquen ustedes el procedimiento

de obtener matrices asociadas a

transformaciones es que así deben

mecanizar el procedimiento y les voy a

dar las soluciones de las matrices

asociadas para que comparen con sus

resultados si por ejemplo para el caso

de la matriz asociada te dé a ave que

tendríamos que hacer tendríamos que

aplicar la transformación t a los

vectores de la base a que eran de r2 y

el resultado como combinación lineal de

los vectores de la base ve y sacan mis

escalares para la primera columna al

hacer la segunda columna esta matriz va

a tener solamente dos columnas si se

fijan aquí en a

tenemos dos vectores entonces primero

aplicamos a este vector obtenemos una

columna luego te a este vector obtenemos

una segunda columna y ya se acabó no ya

no tenemos más vectores aquí para

transformar por lo tanto la matriz que

haría

de dos columnas y tres renglones alfa

beta gamma alfa beta gamma

para eso estaríamos un procedimiento

similar nada más que aplicando la

transformación s a los vectores de a y

el resultado como combinación lineal

debe también me queda una matriz de dos

columnas y tres renglones alfa beta y

gamma

ahora para obtener la matriz asociada a

temas s vamos a aplicar aquí la regla de

correspondencia que obtuvimos en el

inciso a del ejercicio anterior habíamos

llegado a qué temas s es igual a menos 2

x + dosier con 6 x + 3g

hagan de cuenta que esta transformación

se llama ahora terreno rx con esto y así

vamos aplicando esta nueva regla de

correspondencia a los vectores de a y el

resultado como a combinación de los debe

para este caso sí sí vamos a hacer el

procedimiento rápidamente entonces mi

columna uno sería temas s aplicado al

primer vector de aunque era 10 siguiendo

esta regla de correspondencia

cuánto daría extracto t de temas s de 10

es menos 2,6 como hacer luego esto como

combinación lineal de los vectores de la

base ver que eran vectores de r 3 si se

dan cuenta si no aplicó mi

transformación no puedo igualar o sea no

puedo igualar un vector de r 2 con

vectores de r 3 pero ya que aplicó la

transformación mis resultados si es un

vector de r3 que si puede igualar con

vectores de estrés ok entonces también

ahí de esta forma si se me olvida este

paso de aquí me voy a dar cuenta que

algo está fallando

entonces desarrollamos estas operaciones

me quedaría alfa master o veta más dama

toma alza más beta más 0 gama como 0

alfa menos 2 beta menos tres más

aplicó igualdad de vectores en r3 alfa

más llama igual a menos 2 al geta igual

a 6 en los 2 beta menos tres gamas igual

a cero y resuelvo mi sistema de

ecuaciones para obtener los valores de

alfa beta y gamma

esta sería la primera columna en la

matriz para la columna 2 luego es

similar pero aplicando temas s al

segundo vector de la base a que era uno

y menos uno cuanto a esta transformación

por favor

eso como combinación lineal de los

vectores de la base de desarrollo de

estas operaciones vamos a llegar a lo

mismo que la primera columna

y resolvemos el sistema de ecuaciones

para alfa beta y gamma que sería la

segunda columna de la matriz por lo

tanto la matriz asociada a

transformación temas s se compone de dos

columnas alfa beta gamma alfa beta gamma

lista ahora qué relación tiene esta

matriz de temas s con la matriz de t y

con la matriz de s si las comparamos

aquí es un poquito difícil porque no

tenemos pisaron como para ir anotando

pero pueden verificar muy fácilmente que

la matriz de temas es el se obtiene de

sumar la matriz de t más la matriz de s

si lo ven sumamos terminó con términos

llegamos a a todos estos componentes de

la matriz

aquí el único requisito para poder hacer

estas operaciones es que las bases todas

coincidan aquí tenemos a ver y también a

ave y aquí también a ave

aquí en esta de positiva obtuvimos con

el procedimiento tradicional la matriz

asociada a temas s pero ya sabiendo que

es la suma de las otras dos pudimos

haberla obtenido directamente sumando la

matriz de pe y la matriz vez sin

necesidad de hacer todo esto

y bueno esto no es algo particular o

casualidad del ejercicio que acabamos de

resolver sino que en general podemos

establecer este teorema que la matriz de

a a b de temas s es igual a la matriz de

a 20 más la matriz de ave asociada a s

en cuanto a la multiplicación por un

escalar sucede algo similar

tenemos la matriz de ave asociada

a veces te el escalar es como si saliera

no tenemos alfa por la matriz asociada a

la transformación de solita

pasemos a la tercera operación que

podemos hacer con transformaciones que

es la composición de transformaciones

para entender la composición de

transformaciones conviene apoyarse de

los conjuntos y conjuntos de espacios

vectoriales por ejemplo tenemos la

transformación de que va del espacio o

al espacio v

aquí está t dv tenemos la transformación

es que va del espacio v al espacio w

y luego esa composición te recuerden que

de la definición de composición de

transformaciones este me dice que

primero aplico t primero aplico t y

luego aplicó es por lo tanto esa

composición te va a ir directamente

desde eeuu

hasta wv dominio y con dominio de la

composición entonces aquí lo que quiero

que veamos son los requisitos para que

una composición proceda no con todas las

transformaciones podemos hacer

composición necesitamos que se cumpla lo

siguiente

necesitamos que el co dominio de la

transformación del ubr sea el mismo que

el dominio de la transformación ese aquí

está con dominio de vettel es igual al

dominio de la transformación s si se

cumple eso entonces procede la

composición si aquí te su co dominio es

diferente a este al dominio de ese

entonces simplemente no no se puede

aplicar la composición

de forma escrita tenemos que para que la

composición de dos transformaciones

proceda es necesario que el contra

dominio con dominio de la transformación

que se aplica primero en este caso te

sea igual al dominio de la

transformación que se aplica a

continuación en este caso ese vamos a

verlo con un ejemplo

tenemos dos transformaciones en este

caso se llaman h

jr h tiene como dominio a r3 y co

dominio a r 4 y r tiene como dominio ar4

y con dominio con dominio ar5 me

preguntan si existe la composición h con

el h composición r y si existen r

composición h

aquí les digo que conviene hacer sus sus

conjuntos para no tener que memorizar la

la frasecita esta de que el condominio

coincida con el dominio estratagema si

hacen los conjuntos de espacio según la

composición si hacemos h composición r

cual aplicaríamos primero h o r

hace composiciones reductores significa

que aplicamos r al vector v y al

resultado le aplicamos h así entonces

primero aplicamos r&r de dónde a dónde

va va del conjunto del espacio vectorial

de r 4 ar5

posteriormente tenemos que aplicar h y h

de dónde a dónde va va desde el 3 hasta

el 4 y aquí claramente vemos que estos

dos no son iguales por lo tanto no se va

a poder hacer la composición no existe h

composición r

vamos con el otro inciso al revés es

recomposición h aquí cual se aplica

primero h h y h como vemos aquí va desde

r3 hasta r 4 ya que aplicamos h

aplicamos ere que va de r 4-5 estos dos

son iguales por lo tanto procede la

composición y la composición varía desde

r 3 hasta 0 5 sí o sea va a tener

dominio en r3 y con dominio en r 5 sin

pasar por r 4 existe y recomposición h

va de los 3 a de 25

y muy importante recalcar aquí la

composición de transformaciones no es

conmutativa como acabamos de ver no

solamente no es lo mismo es

recomposición h que haya composición r

sino que en un caso ni siquiera existe

la composición entonces no es lo mismo

hay que tener aquí el chiste de las

composiciones y es que tengamos cuidado

con el orden en la que estamos aplicando

las transformaciones si ese es el único

detalle aquí a tener en cuenta

y ahora pues ya pasemos al ejemplo

tenemos transformación este y ese tema

de red osa r 4 y str4 aire 2 aquí me dan

sus respectivas reglas de

correspondencia y me preguntan la regla

de correspondencia en caso de que

existan de de composición s y de ese

composición t

sabemos que no es conmutativa la

composición entonces no podemos decir

que esto va a ser lo mismo que esto van

a ser dos problemas separados comenzamos

entonces con

de composición es y tenemos composición

s sabemos que se aplica primero es el

que va de r 402 ahí está

luego aplicamos té que va de r2 a r4

ahí están estos dos son iguales por lo

tanto procede la composición y va a ir

de r 4 a 4

ahora que ya determinamos que sí existe

vamos a obtener su regla de

correspondencia

para obtener la regla de correspondencia

vamos a aplicar primero la definición de

composición si tenemos de composición

ese primero aplicamos ese y el resultado

le aplicamos usted ahora como sé que

vector voy a colocar aquí ya que vector

le voy a aplicar la composición pues me

fijo aquí en lo que determinamos con el

esquema anterior que la composición y va

desde r4 hasta r4 entonces aquí colocó a

un vector genérico de ere 4 de esa forma

ya sé que poner aquí

y lo aplicamos la regla de

correspondencia de ese el que se aplica

primero aquí a revista les coloque las

reglas de correspondencia

y tendríamos

estoy desarrollando esto digamos t

s de x y z y lo único que hago es copiar

el resultado con la regla de

correspondencia otra forma de saber qué

vector vamos a colocar aquí es

observando la composición que se aplica

primero como vemos es el se aplica un

vector de 4 entonces si yo no le pongo

aquí un vector de 4 no se puede hacer la

regla de correspondencia entonces a

fuerzas requerimos aquí un vector de r 4

una vez que ya aplique s pasamos a

aplicar t y aquí es muy importante que

observemos al vector que resuelto en

términos de sus componentes tenemos

primero al componente y según la

componente este sería el x que tenemos

aquí y todo esto sería el y así vamos a

aplicar la regla de correspondencia dos

veces la primera componente dos veces

todo esto

más la segunda todo esto y así me voy si

aplicamos entonces la regla de

correspondencia tendríamos estos nichos

bien vamos siguiendo esta regla dos

veces la primera componente más la

segunda componente más todo esto luego

coma

- la segunda componente que está todo

esto lo colocó aquí

coma

la primera componente así tal cual igual

y está nada más escribo todo esto que

coman menos tres veces la primera

componente - la segunda componen ahí

está nada más que y sustituyendo y ahora

lo único que nos queda es hacer todas

estas operaciones simplificar un poquito

aquí el vector de tal forma que pueden

verificar que llegaríamos a

este resultado que corresponde

a la regla de correspondencia de

composición es y listo

ese sería la composición de las

transformaciones

ya tenemos la primera parte del

ejercicio que era de composición s ahora

vamos con

esa composición aquí se aplica primer

hotel que va de r2 ar4 que ésta y luego

aplicamos ese que va de ere 4 a r2 en

este caso también procede la composición

pero a diferencia del caso anterior que

la composición y badr 4 r 4 en este caso

va de r 2 r2 de nada que ver con t

composición es un resultado totalmente

distinto entonces vamos a obtener la

regla de correspondencia esa composición

de aquí como sé que vector poner pues me

fijo en el dominio de la composición el

dominio de la composición es r 2

entonces la composición se aplica a un

vector de r 2 por eso con lo que aquí de

composición en esa composición tdx con

malla y por definición de composición

primero aplicó tele y luego aplicó s

y me quedaría desarrollando este lado

como ese

por copió la regla de correspondencia de

té que está ya revista 12 x más bien

coma menos 10 como x forma

en los 3 x menos

ahora a este nuevo vector de r 4 vamos a

aplicarle la regla de correspondencia de

eso entendiendo también que aquí todo

esto es la primer componente la segunda

tercera y todo esto es la cuarta así

vamos a ir aplicando la regla

me quedaría entonces por ejemplo

siguiendo aquí lo que nos marca s sería

2

por la primera componente 2 x más bien

luego - la segunda componente menos y

luego más la cuarta componente al menos

13 x menos y coma

cuatro veces

la segunda componente 4 x menos llevan

checando que todo esté bien luego más

la tercera componente o sea x - la

cuarta componente 11 a menos 3 x

- desarrollamos un poquito nos quedaría

4 x + 12 más

- 3x 9,4 y más x más 3x magia por lo

tanto esa composición de x como ayer nos

quedaría como x más 12,4 x menos 3 y

listo este sería el resultado de la

composición