Frequency Response of Finite-Impulse Response Systems

Summary

Ce script explore en profondeur la réponse en fréquence dans le contexte des systèmes à réponse impulsionnelle finie (FIR). Il définit la réponse en fréquence d'un système, mettant en évidence son application aux filtres FIR, et examine comment la réponse d'un système à un sinus complexe peut être analysée pour comprendre ses effets sur l'amplitude et la phase. L'approche repose sur les méthodes de Fourier, en montrant comment des sinusoïdes de différentes fréquences sont modifiées par des systèmes linéaires invariants dans le temps. Ce concept essentiel permet de caractériser les filtres et leurs comportements vis-à-vis des signaux d'entrée.

Takeaways

• 😀 La réponse en fréquence décrit le comportement d'un système lorsqu'un sinusoidal complexe lui est appliqué.
• 😀 La réponse en fréquence d'un filtre FIR est obtenue en analysant la réponse du système à un sinusoidal complexe.
• 😀 Un système linéaire et invariant dans le temps modifie l'amplitude et la phase d'un sinusoidal sans changer sa fréquence.
• 😀 Dans les filtres FIR, la sortie est une somme pondérée des valeurs actuelles et passées de l'entrée, avec des coefficients spécifiques.
• 😀 Lorsque l'entrée est un sinusoidal complexe, la sortie reste un sinusoidal du même fréquence, mais avec une amplitude et une phase modifiées.
• 😀 La linéarité du système permet de décomposer un signal d'entrée composé de plusieurs sinusoïdes en une somme de sorties individuelles, chacune modifiée par la réponse en fréquence.
• 😀 L'exemple d'un système de moyennage montre une atténuation des hautes fréquences, avec un gain maximal pour les basses fréquences.
• 😀 Un système de différence comme le filtre passe-haut montre un gain maximal pour les hautes fréquences et un faible gain pour les basses fréquences.
• 😀 La réponse en fréquence d'un système FIR peut être exprimée comme une somme de termes, chaque terme étant un coefficient multiplié par un facteur exponentiel complexe en fonction de la fréquence.
• 😀 À partir de la réponse en fréquence, on peut dériver l'impulsion de réponse d'un système FIR en comparant les termes de l'expression avec celle d'un filtre FIR général.

Q & A

Qu'est-ce que la réponse en fréquence d'un système FIR ?

La réponse en fréquence d'un système FIR décrit comment le système réagit aux signaux d'entrée sinusoidaux complexes de différentes fréquences. Elle est obtenue en analysant la réponse du système à une sinusoïde complexe et peut être exprimée sous forme d'une somme pondérée des valeurs passées d'entrée.

Quel rôle joue la réponse en fréquence dans les systèmes linéaires et invariants dans le temps (LTI) ?

Dans les systèmes linéaires et invariants dans le temps, la réponse en fréquence permet de prédire comment un système affecte un signal sinusoidal. Si un sinusoidal d'une certaine fréquence est introduit, le système produira également un sinusoidal de la même fréquence, avec des gains d'amplitude et des décalages de phase potentiels.

Comment obtenir la réponse en fréquence d'un filtre FIR ?

La réponse en fréquence d'un filtre FIR est obtenue en introduisant une sinusoïde complexe d'une certaine fréquence dans le système et en exprimant la sortie en fonction de l'entrée. Cette réponse peut être représentée par une somme pondérée des termes exponentiels de l'entrée.

Que se passe-t-il lorsque l'entrée d'un système est une somme de deux sinusoïdes complexes ?

Lorsqu'une entrée consiste en une somme de deux sinusoïdes complexes, la linéarité du système garantit que la sortie est la somme pondérée des réponses dues à chacune des sinusoïdes. La sortie sera une combinaison linéaire des sinusoïdes, modifiée par la réponse en fréquence du système.

Quelles informations fournit la magnitude de la réponse en fréquence ?

La magnitude de la réponse en fréquence indique le gain du système pour une fréquence donnée. Elle décrit l'amplitude à laquelle chaque fréquence de l'entrée est amplifiée ou atténuée par le système. Par exemple, pour des fréquences faibles, la magnitude peut être proche de 1, tandis que pour des fréquences élevées, elle peut être proche de 0.

Comment la phase de la réponse en fréquence affecte un signal ?

La phase de la réponse en fréquence détermine le décalage de phase appliqué à une entrée sinusoidale. Ce décalage modifie la synchronisation de l'oscillation de l'entrée, ce qui peut altérer l'alignement temporel du signal de sortie par rapport à l'entrée.

Pourquoi les filtres FIR sont utilisés pour lisser les signaux ?

Les filtres FIR, en particulier ceux qui réalisent une moyenne, sont utilisés pour lisser les signaux car ils atténuent les fluctuations rapides des signaux à haute fréquence tout en conservant les composantes à basse fréquence. Cela permet de réduire le bruit et d'obtenir une version plus lisse du signal.

Que se passe-t-il lorsqu'un signal à haute fréquence est traité par un système FIR d'average ?

Lorsqu'un signal à haute fréquence est traité par un système FIR d'average, le gain du système pour cette fréquence sera très faible, ce qui conduit à l'atténuation des hautes fréquences. Le système tend à lisser les variations rapides du signal.

Comment le gain de la réponse en fréquence varie-t-il pour des sinusoïdes à différentes fréquences ?

Le gain de la réponse en fréquence varie en fonction de la fréquence de la sinusoïde d'entrée. Pour les fréquences proches de zéro, le gain est proche de 1, ce qui signifie que le système passe le signal sans le modifier de manière significative. Pour des fréquences proches de 1/2, le gain devient faible, voire nul, ce qui signifie que ces fréquences sont atténuées ou bloquées par le système.

Comment peut-on retrouver l'impulsion d'un filtre FIR à partir de sa réponse en fréquence ?

Pour retrouver l'impulsion d'un filtre FIR à partir de sa réponse en fréquence, on compare les termes de la réponse en fréquence avec la forme générale de la réponse en fréquence d'un filtre FIR. Les coefficients de la réponse en fréquence sont associés aux différentes puissances de l'exponentielle, et on peut les utiliser pour déterminer les valeurs des coefficients de l'impulsion.